Основные тригонометрические тождества и формулы.
Основные тригонометрические тождества.
Формулы приведения.
Формулы периодических углов.
Формулы суммы и разности углов.
Формулы двойного угла.
Формулы половинного угла (формулы понижения степени).
Формулы произведения тригонометрических функций.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций.
Универсальная тригонометрическая подстановка (УТП).
Обратные тригонометрические функции (аркфункции).
Простые тригонометрические уравнения.
Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.
Вот что мы видим на этом рисунке:
Видео:🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать
А теперь подробно о тригонометрическом круге:
Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.
Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.
Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Всё это легко увидеть на нашем рисунке.
Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :
Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:
Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).
Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.
Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.
Легко заметить, что
Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:
где — целое число. То же самое можно записать в радианах:
Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,
Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать
Тригонометрический круг. Основные значения тригонометрических функций
Если вы уже знакомы с тригонометрическим кругом , и хотите лишь освежить в памяти отдельные элементы, или вы совсем нетерпеливы, – то вот он, тригонометрический круг :
Мы же здесь будем все подробно разбирать шаг за шагом + показать
Тригонометрический круг – не роскошь, а необходимость
Тригонометрия у многих ассоциируется с непроходимой чащей. Вдруг наваливается столько значений тригонометрических функций, столько формул… А оно ведь, как, – незаладилось вначале, и… пошло-поехало… сплошное непонимание…
Очень важно не махать рукой на значения тригонометрических функций, – мол, всегда можно посмотреть в шпору с таблицей значений.
Если вы постоянно смотрите в таблицу со значениями тригонометрических формул, давайте избавляться от этой привычки!
Нас выручит тригонометрический круг ! Вы несколько раз поработаете с ним, и далее он у вас сам будет всплывать в голове. Чем он лучше таблицы? Да в таблице-то вы найдете ограниченное число значений, а на круге – ВСЕ!
К примеру, скажите, глядя в стандартную таблицу значений тригонометрических формул , чему равен синус, скажем, градусов, или .
Никак. можно, конечно, подключить формулы приведения… А глядя на тригонометрический круг, легко можно ответить на такие вопросы. И вы скоро будете знать как!
А при решении тригонометрических уравнений и неравенств без тригонометрического круга – вообще никуда.
Знакомство с тригонометрическим кругом
Давайте по порядку.
Сначала выпишем вот такой ряд чисел:
И, наконец, такой:
Конечно, понятно, что, на самом-то деле, на первом месте стоит , на втором месте стоит , а на последнем – . То есть нас будет больше интересовать цепочка .
Но как красиво она получилась! В случае чего – восстановим эту «лесенку-чудесенку».
И зачем оно нам?
Эта цепочка – и есть основные значения синуса и косинуса в первой четверти.
Начертим в прямоугольной системе координат круг единичного радиуса (то есть радиус-то по длине берем любой, а его длину объявляем единичной).
От луча «0-Старт» откладываем в направлении стрелки (см. рис.) углы .
Получаем соответствующие точки на круге. Так вот если спроецировать точки на каждую из осей, то мы выйдем как раз на значения из указанной выше цепочки.
Это почему же, спросите вы?
Не будем разбирать все. Рассмотрим принцип, который позволит справиться и с другими, аналогичными ситуациями.
Треугольник АОВ – прямоугольный, в нем . А мы знаем, что против угла в лежит катет вдвое меньший гипотенузы (гипотенуза у нас = радиусу круга, то есть ).
Значит, АВ= (а следовательно, и ОМ=). А по теореме Пифагора
Надеюсь, уже что-то становится понятно?
Так вот точка В и будет соответствовать значению , а точка М – значению
Аналогично с остальными значениями первой четверти.
Как вы понимаете, привычная нам ось (ox) будет осью косинусов , а ось (oy) – осью синусов . Про тангенс и котангенс позже.
Слева от нуля по оси косинусов (ниже нуля по оси синусов) будут, конечно, отрицательные значения.
Итак, вот он, ВСЕМОГУЩИЙ тригонометрический круг , без которого никуда в тригонометрии.
А вот как пользоваться тригонометрическим кругом, мы поговорим в следующей статье.
🔍 Видео
✓ Тригонометрия: с нуля и до ЕГЭ | #ТрушинLive #030 | Борис ТрушинСкачать
Тригонометрия с нуляСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля за 30 минутСкачать
Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Как решить пункт б) в задании 13 профиля ЕГЭ. ТригонометрияСкачать
Вся тригонометрия к ЕГЭ за 20 минут | Математика ЕГЭ — Эрик ЛегионСкачать
Формулы приведения с нуля за 15 минут!Скачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля | ЕГЭ профильная математикаСкачать
Тригонометрическая окружность. Задание 13 | Математика ЕГЭ | УмскулСкачать
Тригонометрическая окружность в ЕГЭ. Как запомнить? | УмскулСкачать
Тригонометрическая окружность для непонимающихСкачать
Тригонометрия 3. Шпаргалка. Стандартные углыСкачать
ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИСкачать
Вся Тригонометрия для Чайников, 10 класс, урок 1Скачать
КОГДА ПИСАТЬ +Пк, а когда +2Пк? (Задание 13 по Тригонометрии ЕГЭ 2024 по Математике Профиль)Скачать