Треугольники с общей стороной в окружности

Треугольник вписанный в окружность

Треугольники с общей стороной в окружности

Содержание
  1. Определение
  2. Формулы
  3. Радиус вписанной окружности в треугольник
  4. Радиус описанной окружности около треугольника
  5. Площадь треугольника
  6. Периметр треугольника
  7. Сторона треугольника
  8. Средняя линия треугольника
  9. Высота треугольника
  10. Свойства
  11. Доказательство
  12. Треугольники. Признаки равенства треугольников
  13. Первый признак равенства треугольников
  14. Второй признак равенства треугольников
  15. Третий признак равенства треугольников
  16. Задачи и решения
  17. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  18. Типы треугольников
  19. По величине углов
  20. По числу равных сторон
  21. Вершины углы и стороны треугольника
  22. Свойства углов и сторон треугольника
  23. Теорема синусов
  24. Теорема косинусов
  25. Теорема о проекциях
  26. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  27. Медианы треугольника
  28. Свойства медиан треугольника:
  29. Формулы медиан треугольника
  30. Биссектрисы треугольника
  31. Свойства биссектрис треугольника:
  32. Формулы биссектрис треугольника
  33. Высоты треугольника
  34. Свойства высот треугольника
  35. Формулы высот треугольника
  36. Окружность вписанная в треугольник
  37. Свойства окружности вписанной в треугольник
  38. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  39. Окружность описанная вокруг треугольника
  40. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  41. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  42. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  43. Средняя линия треугольника
  44. Свойства средней линии треугольника
  45. Периметр треугольника
  46. Формулы площади треугольника
  47. Формула Герона
  48. Равенство треугольников
  49. Признаки равенства треугольников
  50. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  51. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  52. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  53. Подобие треугольников
  54. Признаки подобия треугольников
  55. Первый признак подобия треугольников
  56. Второй признак подобия треугольников
  57. Третий признак подобия треугольников

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Треугольники с общей стороной в окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Треугольники с общей стороной в окружности

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольников

Треугольники. Признаки равенства треугольников

Треугольник − это геометрическая фигура, образованная соединением отрезками трех, не лежащих на одной прямой точек .

Эти точки называются вершинами треугольника. Отрезки, соединяющие эти точки называются сторонами треугольника.

Треугольники с общей стороной в окружности

Треугольник обозначается знаком ⊿. Например треугольник ABC обозначается так: ⊿ABC. Этот же треугольник можно обозначать так: ⊿BAC, ⊿CBA и т.д.

Углы треугольника обозначают так ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA. Эти же углы коротко обозначают также ∠A, ∠B, ∠C, соответственно. Углы треугольника принято также обозначать греческими буквами α, β, γ и т.д. Стороны тркеугольника обозначают так AB, BC, AC. Принято также стороны обозначать одной строчной буквой, причем сторона напротив угла A ,обозначается буквой a, сторона напротив угла Bb, сторона напротив угла Cc. Сумма трех сторон треугольника называется периметром треугольника.

Как известно, две треугольники называются равными, если при наложении друг на друга их можно совместить. На Рис.2 представлены два треугольника ABC и A1B1C1. Треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершины и стороны этих треугольников попарно совместились. Очевидно, что при этом совместятся и соответствующие углы.

Треугольники с общей стороной в окружности

Вышеизложенное можно сформулировать так:

Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так:

Треугольники с общей стороной в окружности

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Первый признак равенства треугольников

Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

Треугольники с общей стороной в окружности

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1 (Рис.3). Пусть AB=A1B1, =A1С1 и ∠A=∠A1. Докажем, что Треугольники с общей стороной в окружности.

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Треугольники с общей стороной в окружности

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1 (Рис.4). Пусть AB=A1B1, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1. Докажем, что Треугольники с общей стороной в окружности.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Треугольники с общей стороной в окружности

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1. Пусть AB=A1B1, AC=A1C1 и BC=B1C1. Докажем, что Треугольники с общей стороной в окружности. Приложим треугольник ABC к треугольнику A1B1С1 так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A1, вершина B совмещалась с вершиной B1, а вершины С и С1 находились по разные стороны от прямой A1B1.

Треугольники с общей стороной в окружности

Возможны три варианта: луч CC1 проходит внутри угла ACB(Рис.6); луч CC1 совпадает с одной из сторон угла ACB (Рис.7); луч CC1 проходит вне угла ACB(Рис.8). Рассмотрим эти три случая по отдельности.

Треугольники с общей стороной в окружностиТреугольники с общей стороной в окружности.

Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 ∠ACB=∠A1C1B1 и по первому признаку равенства треугольников Треугольники с общей стороной в окружности. Теорема доказана.

Треугольники с общей стороной в окружности

Вариант 2 (Рис.7). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольник BСС1 равнобедренный. Тогда ∠1=∠2. Имеем: AC=A1C1, BC=B1C1, ∠1=∠2 и по первому признаку равенства треугольников Треугольники с общей стороной в окружности. Теорема доказана.

Треугольники с общей стороной в окружности

Вариант 3 (Рис.8). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольники AСС1 и BСС1 равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и Треугольники с общей стороной в окружностии, следовательно:

Треугольники с общей стороной в окружностиТреугольники с общей стороной в окружности.

Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 Треугольники с общей стороной в окружностии по первому признаку равенства треугольников Треугольники с общей стороной в окружности. Теорема доказана.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Задачи и решения

Задача 1. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E − на отрезке AD, причем AC=AD и AB=AE. Докажите, что ∠CBD=∠DEC (Рис.9).

Треугольники с общей стороной в окружности

Доказательство. AC=AD, AE=AB, ∠CAD общий для треугольников CAE и DAB. Тогда, по первому признаку равенства треугольников (теорема 1) ⊿ACE=⊿ADB. Следовательно ∠DBA=∠AEC. Поскольку углы CBD и DBA смежные, то CBD=180°−∠DBA. Аналогично CED=180°-∠AEC. То есть ∠CBD=∠DEC. Конец доказательства .

Задача 2. По данным рисунка рис.10 докажите, что OP=OT, ∠P=∠T

Треугольники с общей стороной в окружности

Доказательство. OC=OB, ∠TCO=∠PBO=90°. Углы TOC и POB вертикальные (следовательно равны) тогда, повторому признаку равенства треугольников (теорема 2), ⊿TCO=⊿PBO. Конец доказательства .

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Типы треугольников

По величине углов

Треугольники с общей стороной в окружности

Треугольники с общей стороной в окружности

Треугольники с общей стороной в окружности

По числу равных сторон

Треугольники с общей стороной в окружности

Треугольники с общей стороной в окружности

Треугольники с общей стороной в окружности

Видео:Задача Рвенство треугольников, вписанных в окружностьСкачать

Задача Рвенство треугольников, вписанных в окружность

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Треугольники с общей стороной в окружности

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Медианы треугольника

Треугольники с общей стороной в окружности

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Три окружностиСкачать

Три окружности

Биссектрисы треугольника

Треугольники с общей стороной в окружности

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Высоты треугольника

Треугольники с общей стороной в окружности

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Треугольник и окружность // ФАКТ ДЛЯ ОГЭСкачать

Треугольник и окружность // ФАКТ ДЛЯ ОГЭ

Окружность вписанная в треугольник

Треугольники с общей стороной в окружности

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Вписанная окружностьСкачать

Вписанная окружность

Окружность описанная вокруг треугольника

Треугольники с общей стороной в окружности

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Треугольники с общей стороной в окружности

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Математика за минуту: Формула радиуса вневписанной окружности в произвольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Формула радиуса вневписанной окружности в произвольный треугольник.

Периметр треугольника

Треугольники с общей стороной в окружности

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Треугольники с общей стороной в окружности

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Треугольники с общей стороной в окружности

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Поделиться или сохранить к себе: