Треугольник вписанный в параболу

Научно-практическая конференция учащихся и педагогов

«Первые шаги в науку»

Изучение свойств треугольников, вписанных в параболу

Выполнил:

ученик 11 класса

ГУО«Речицкий районный лицей»

ГУО«Речицкий районный лицей»

2. Парабола и аналитическая геометрия……………………………………. 6

3. Парабола и треугольник……………………………………………………. 8

4. Об одном свойстве параболы………………………………………………..11

В школьной программе заметное место уделяется построению графиков функций. Моя работа посвящена изучению параболы. Я думаю, она будет интересна и поучительна всем тем, кто увлечен таким предметом, как математика. Линию такую как парабола, мы изучали в 8 классе. В курсе аналитической геометрии, она имеет другую формулу и график. Свойства, которые я буду исследовать, найдут применение в различных предметах. Исследование начинается с элементарных фактов и заканчивается весьма удивительными вещами. В своей работе я буду наблюдать за параболой, около которой будет описан или в которую вписан треугольник. А также рассмотрю интересные задачи олимпиадного уровня. В основном упор будет делаться на задачи с треугольниками, так как там можно увидеть интересные вещи, которые могут быть исследованы в других работах. Тема моей исследовательской работы актуальна и может быть полезна школьникам старших классов, учителям, а также учащимся физико-математического направления, и просто тем, кто увлечен математикой.

1. Парабола в алгебре

Парабола – это график квадратичной функции вида y=ax2+bx+c. Ее также можно представить видом . Координаты вершины

(m, n) ее можно определить:, . Направление ветвей на графике зависит от коэффициента а, если a>0, то ветви направлены вверх, а если a

Аспирантский реферат

Пример . Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям (x-3) 2 + (y-3) 2 y?

Решение. Первое неравенство системы определяет внутренность круга, не включая границу, т.е. окружность с центром в точке (3,3) и радиуса . Второе неравенство задает полуплоскость, определяемую прямой, уравнение которой x = y, причем, так как неравенство строгое, точки самой прямой не принадлежат полуплоскости, а все точки ниже этой прямой принадлежат полуплоскости. Поскольку мы ищем точки, удовлетворяющие обоим неравенствам, то искомая область — внутренность полукруга.

Пример. Вычислить длину стороны квадрата, вписанного в эллипс, уравнение которого x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

Решение. Пусть М(с, с) — вершина квадрата, лежащая в первой четверти. Тогда сторона квадрата будет равна 2 с . Т.к. точка М принадлежит эллипсу, ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, откуда
c = ab/ ; значит, сторона квадрата — 2ab/ .

Пример. Зная уравнение асимптот гиперболы y = ± 0,5 x и одну из ее точек М(12, 3 ), составить уравнение гиперболы. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена

Решение. Запишем каноническое уравнение гиперболы: x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = 1. Асимптоты гиперболы задаются уравнениями y = ± 0,5 x, значит, b/a = 1/2, откуда a=2b. Поскольку М — точка гиперболы, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. 144/a 2 — 27/b 2 = 1. Учитывая, что a = 2b, найдем b: b 2 =9 Þ b=3 и a=6. Тогда уравнение гиперболы — x 2 /36 — y 2 /9 = 1.

Пример. Вычислить длину стороны правильного треугольника ABC, вписанного в параболу с параметром р , предполагая, что точка А совпадает с вершиной параболы. Определённый интеграл

Решение. Каноническое уравнение параболы с параметром р имеет вид y 2 = 2рx, вершина ее совпадает с началом координат, и парабола симметрична относительно оси абсцисс. Так как прямая AB образует с осью Ox угол в 30 o , то уравнение прямой имеет вид: y = x. большим количеством графиков

Следовательно, мы можем найти координаты точки B, решая систему уравнений y 2 =2рx, y = x, откуда x = 6р, y = 2 р. Значит, расстояние между точками A(0,0) и B(6р,2 р) равно 4 р.

В параболу с параметром, равным p , вписан равносторонний треугольник ABC ?

Геометрия | 5 — 9 классы

В параболу с параметром, равным p , вписан равносторонний треугольник ABC .

ОДНА ВЕРШИНА ТРЕУГОЛЬНИКА совпадает с вершиной параболы.

Найдите сторону треугольника.

По — видимому, речь идет о канонической форме уравнения параболы

Пусть координата одной из вершин (x, y), тогда сторона треугольника равна 2 * х, и из теоремы Пифагора

x ^ 2 + y ^ 2 = (2 * x) ^ 2 ;

(2 * p) ^ 2 * x ^ 4 = 3 * x ^ 2 ;

x ^ 2 = 3 / (2 * p) ^ 2 ;

Сторона треугольника равна√3 / р.

Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются вершинами другого равностороннего треугольника?

Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются вершинами другого равностороннего треугольника.

Найдите площадь правильного треугольника вписаного в квадрат со стороной а, при условии, что одна из вершин треугольника совпадает с вершиной квадрата?

Найдите площадь правильного треугольника вписаного в квадрат со стороной а, при условии, что одна из вершин треугольника совпадает с вершиной квадрата.

Из вершины С треугольника ABC проведена медиана CD, которая отсекает от него равносторонний треугольник ACD?

Из вершины С треугольника ABC проведена медиана CD, которая отсекает от него равносторонний треугольник ACD.

Найдите угол ACB.

Ромб вписан в прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 так, что одна из его вершин совпадает с вершиной острого угла тре — угольника, а три другие лежат на сторонах треугольника?

Ромб вписан в прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 так, что одна из его вершин совпадает с вершиной острого угла тре — угольника, а три другие лежат на сторонах треугольника.

Найдите площадь ромба.

Стороны равностороннего треугольника равны 3м?

Стороны равностороннего треугольника равны 3м.

Найдите расстояние до плоскости этого треугольника от точки, удаленной от каждой из его вершин на 2м.

Сторона равностороннего треугольника равна 3 см?

Сторона равностороннего треугольника равна 3 см.

Точка А равноудалена от вершин треугольника и находится на расстоянии 1 чём от плоскости треугольника.

Найдите расстояние от точки А до вершин треугольника.

Дан прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3 см Найдите площадь квадрата , вписанного в этот треугольник ( вершина квадрата совпадает с вершиной прямого угла треугольника?

Дан прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3 см Найдите площадь квадрата , вписанного в этот треугольник ( вершина квадрата совпадает с вершиной прямого угла треугольника.

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность радиуса 4 см?

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность радиуса 4 см.

Найдите любую сторону треугольника.

Может ли точка пересечения высот треугольника совпадать с одной из вершин этого треугольника?

Может ли точка пересечения высот треугольника совпадать с одной из вершин этого треугольника?

Высота равностороннего треугольника ABC равна 8, 4 см ?

Высота равностороннего треугольника ABC равна 8, 4 см .

Найдите высоту треугольника AOB проведённую из вершины O если точка Оравноудалена от сторон треугольника абц.

Перед вами страница с вопросом В параболу с параметром, равным p , вписан равносторонний треугольник ABC ?, который относится к категории Геометрия. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.

3 угол равен 9 * Т. К сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 * То угол 3 = 90 — 81 = 9 *.

В треугольнике может быть только один тупой угол и против него лежит большая сторона, равная 3. По теореме о неравенстве треугольника большая сторона должна быть МЕНЬШЕ суммы двух других сторон. Значит третья сторона треугольника должна быть 2.

Рассмотрим треугольники АОD и ВОС 1. ∠ADO = ∠CBOкак внутр накрест лежащие 2. ∠DAO = ∠BCO как внутр накрест лежащие 3. AD = BC противолеж стороны паралл (след треугольники равны, по двум углам и стороне между ними) соответств стороны равны AO = CO.

Пусть ABCD – данный четырехугольник. По условию AO = OC, BO = OD. Так как углы (AOB) и (COD) равны как вертикальные, то по теореме 4. 1 треугольник AOB равен треугольнику COD, и, следовательно, углы (OAB) и (OCD) равны. Эти углы являются внутренн..

Параллелограмм состоит из двух одинаковых треугольников со сторонами 15, 17, 18 Площадь одного такого треугольника найдём по формуле Герона Полупериметр p = (15 + 17 + 18) / 2 = 50 / 2 = 25 S = √(25 * 10 * 8 * 7) = 5 * 4√35 = 20√35 Площадь всего пар..

Как — то так, а четвертое, незнаю.

Во — первых, геометрия знакомит нас с окружающей действительностью, в которой многие предметы напоминают различные геометрические фигуры, фактически мы живем в мире геометрии. Во — вторых в равной степени геометрия нужна и математику, и инженеру, и ..

1. Фронтально — проецирующая плоскость 2. Горизонтально — проецирующая плоскость 3. Профильно — проецирующая плоскость 4. Фронтальная плоскость уровня 5. Горизонтальная плоскость уровня 6. Профильная плоскость уровня.