Центр вписанной окружности равноудален от

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности равноудален от

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Центр вписанной окружности равноудален от
    • Четырехугольник
      Центр вписанной окружности равноудален от
    • Многоугольник
      Центр вписанной окружности равноудален от

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Вписанная окружностьСкачать

    Вписанная окружность

    Вписанная окружность

    Что такое вписанная окружность?Какими свойствами она обладает?

    Вписанная в выпуклый многоугольник окружность — это окружность, которая касается всех сторон этого многоугольника (то есть каждая из сторон многоугольника является для окружности касательной).

    Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника.

    Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным.

    В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной точке.

    Центр вписанной в многоугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

    Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника. Расстояние от центра до любой стороны равно радиусу вписанной окружности (По свойству касательной, сторона описанного многоугольника перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания).

    По свойству касательных, проведённых из одной точки, любая вершина описанного многоугольника равноудалена от точек касания, лежащих на сторонах, выходящих из этой вершины.

    Центр вписанной окружности равноудален отОкружность с центром в точке O и радиусом r вписана в пятиугольник ABCDE.

    ABCDE — описанный пятиугольник.

    O — точка пересечения биссектрис ABCD, то есть ∠EAO=∠BAO, ∠ABO=∠CBO, ∠BCO=∠DCO, ∠CDO=∠EDO, ∠AEO=∠DEO.

    Центр вписанной окружности равноудален отТочка O равноудалена от точек касания. Расстояние от точки O до любой из сторон равно радиусу: OK=OL=ON=OM=OP=r.

    Вершины ABCDE равноудалены от соответствующих точек касания:

    AM=AN, BN=BL, CL=CK, DK=DP, EP=EM.

    В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной в треугольник окружности называется инцентром.

    В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. В частности, в трапецию можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон.

    В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Около любого правильного многоугольника можно также описать окружность. Центр вписанной и описанной окружностей лежат в центре правильного многоугольника.

    Для любого описанного многоугольника радиус вписанной окружности может быть найден по формуле

    Центр вписанной окружности равноудален от

    где S — площадь многоугольника, p — его полупериметр.

    Кроме основной, существуют формулы для нахождения радиуса вписанной окружности в частных случаях (для правильных многоугольников, отдельных видов треугольников, трапеции, ромба и т.д.).

    Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    Вписанная окружность

    Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность. На рисунке 1 четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.

    Центр вписанной окружности равноудален от

    Теорема

    В любой треугольник можно вписать окружность.

    Доказательство

    Дано: произвольный Центр вписанной окружности равноудален отАВС.

    Доказать: в Центр вписанной окружности равноудален отАВС можно вписать окружность.

    Доказательство:

    1. Проведем биссектрисы углов А, В и С, которые пересекутся в точке О (следствие из свойства биссектрис). Из точки О проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (Рис. 2).

    Центр вписанной окружности равноудален от

    2. Точка О равноудалена от сторон Центр вписанной окружности равноудален отАВС (свойство биссектрис), поэтому ОК = ОL = ОМ. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны Центр вписанной окружности равноудален отАВС касаются этой окружности в точках К, L, М, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в Центр вписанной окружности равноудален отАВС. Теорема доказана.

    Замечание 1

    В треугольник можно вписать только одну окружность.

    Доказательство

    Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, значит в треугольник можно вписать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

    Замечание 2

    Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.

    Доказательство

    На рисунке 2 мы видим, что Центр вписанной окружности равноудален отАВС составлен из трех треугольников: АВО, ВСО и САО. Пусть АВ, ВС и АС основания треугольников АВО, ВСО и САО соответственно, тогда высотами данных треугольников окажутся отрезки ОК = ОL = ОМ = r ( r — радиус окружности с центром О). Следовательно, площади этих треугольников вычисляются по формулам: Центр вписанной окружности равноудален от. Тогда, по свойству площадей, площадь треугольника Центр вписанной окружности равноудален отАВС выражается формулой: Центр вписанной окружности равноудален от, где Центр вписанной окружности равноудален от— периметр Центр вписанной окружности равноудален отАВС. Что и требовалось доказать.

    Замечание 3

    Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

    Доказательство

    Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т.е. прямоугольник, не являющийся квадратом. В такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трех его сторон (Рис.3), но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т.к. диаметр окружности меньше большей стороны прямоугольника т.е. нельзя вписать окружность. Что и требовалось доказать.

    Центр вписанной окружности равноудален от

    Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

    В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

    Доказательство

    Рассмотрим четырехугольник АВСD, описанный около окружности (Рис. 4).

    Центр вписанной окружности равноудален от

    На рисунке 4 одинаковыми буквами обозначены равные отрезки касательных, т.к. отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Тогда АВ + СD = Центр вписанной окружности равноудален оти ВС + АD = Центр вписанной окружности равноудален от, следовательно, АВ + СD = ВС + АD.

    Верно и обратное утверждение:

    Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

    Доказательство

    Пусть в выпуклом четырехугольнике АВСD

    АВ + СD = ВС + АD. (1)

    Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон АD, АВ и ВС (свойство биссектрис), поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трех сторон (Рис. 5).

    Центр вписанной окружности равноудален от

    Докажем, что эта окружность касается также стороны СD и, значит, является вписанной в четырехугольник АВСD.

    Предположим, что это не так. Тогда прямая СD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (Рис. 6). Проведем касательную С1D1, параллельную стороне СD (С1 и D1 — точки пересечения касательной со сторонами ВС и АD).

    Центр вписанной окружности равноудален от

    Так как АВС1D1 — описанный четырехугольник, то по свойству его противоположных сторон

    АВ + С1D1 = ВС1 + AD1. (2)

    Но ВС1 = ВСС1С, АD1 = АDD1D, поэтому из равенства (2) получаем:

    С1D1 + С1С + D1D = ВС + АDАВ.

    Правая часть этого равенства в силу (1) равна СD. Следовательно, приходим к равенству

    т.е. в четырехугольник С1СDD1 одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, т.к. к аждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон. Значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны СD. Что и требовалось доказать.

    Поделись с друзьями в социальных сетях:

    🎬 Видео

    Вписанная окружность | Геометрия 7-9 класс #74 | ИнфоурокСкачать

    Вписанная окружность  | Геометрия 7-9 класс #74 | Инфоурок

    Пирамиды, в которых высота проходит через центр вписанной в основание окружностиСкачать

    Пирамиды,  в которых высота проходит через центр вписанной в основание окружности

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

    Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

    Пирамиды, в которых высота проходит через центр описанной около основания окружностиСкачать

    Пирамиды,  в которых высота проходит через центр описанной около основания окружности

    Вписанная окружность. Доказательства свойствСкачать

    Вписанная окружность. Доказательства свойств

    ✓ Три окружности | Планиметрия | Олимпиада Ломоносов-2020 | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Три окружности | Планиметрия | Олимпиада Ломоносов-2020 | Борис Трушин

    Центр вписанной окружности #ShortsСкачать

    Центр вписанной окружности #Shorts

    Описанная и вписанная окружности треугольникаСкачать

    Описанная и вписанная окружности треугольника

    Центр вписанной окружности.Скачать

    Центр вписанной окружности.

    Окружность, вписанная в треугольникСкачать

    Окружность, вписанная в треугольник

    #207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

    #207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

    Описанная и вписанная окружности треугольникаСкачать

    Описанная и вписанная окружности треугольника

    Вписанная окружностьСкачать

    Вписанная окружность

    №200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около мноСкачать

    №200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около мно

    Вторая замечательная точка треугольникаСкачать

    Вторая замечательная точка треугольника

    Вписанные и описанные окружности (в треугольник)Скачать

    Вписанные и описанные окружности (в треугольник)

    Вписанная окружность. Видеоурок по геометрии 8 классСкачать

    Вписанная окружность. Видеоурок по геометрии 8 класс
    Поделиться или сохранить к себе: