Теорема 1 . В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).
Проведём биссектрисы углов DAC и ECA , которые являются внешними углами треугольника ABC . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O . Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC , который является внутренним углом треугольника ABC , не смежным с внешними углами DAC и ECA . С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF , OG и OH на прямые AB , AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC , то справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство
Замечание 1 . В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства
откуда вытекает, что точки F , G и H лежат на одной окружности с центром в точке O .
Определение . Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник , или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).
Замечание 2 . У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.
Замечание 3 . Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B , а окружность касается стороны b . Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b , и обозначать её радиус символом rb .
Теорема 2 . Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC . Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.
Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство
где a, b, c – стороны треугольника ABC . Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A . Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C . Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B . Отсюда получаем:
где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC . Теорема 2 доказана.
Теорема 3 . Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b , вычисляется по формуле
где буквой S обозначена площадь треугольника ABC , а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC .
Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства
Следовательно, справедливо равенство
что и требовалось доказать.
Следствие . Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:
Теорема 4 . Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:
Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности
,
что и требовалось доказать.
Теорема 5 . Площадь треугольника можно вычислить по формуле
Доказательство . Перемножим формулы
что и требовалось доказать.
Теорема 6 . Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:
Доказательство . Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим
Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Вневписанная окружность треугольника.
Определение.
Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжения двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника.
Теорема 1.
Центр окружности, вневписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис двух внешних и одного внутреннего угла треугольника.
Доказательство.
BF — биссектриса ∠JBG, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.
СF — биссектриса ∠JСH, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.
Следовательно, точка F равноудалена от сторон ∠BAC.
Таким образом, точка F — центр окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AB и AC. По определению данная окружность называется вневписанной окружностью треугольника.
Теорема 2.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вневписанной окружности и противолежащей стороны, делит треугольник на два треугольника равного периметра.
Доказательство.
BJ=BG, GC=CH и AJ=AH (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности).
PΔABC=AB+ BC +AC=AB+ BG + GC +AC=AB+ BJ + AC +CH=AJ+AH.
Так как AJ=AH, то PΔABC/2=AJ=AH и PΔABC/2+AG=AJ+AG=AH+AG=AB+BG+GA=AC+CG+GA.
Следовательно, отрезок AG поделил треугольник ABC на два треугольника равного периметра PΔABC/2+AG.
Видео:Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.Скачать
Как построить треугольник по центрам его вневписанных окружностей
Задача: Постройте треугольник по центрам его вневписанных окружностей.
Пусть Iа — центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений двух других сторон искомого треугольника АBС, а Ib и Ic — два других аналогичных центра:
Необходимо восстановить треугольник ABC по точкам Ia, Ib, Ic. Нетрудно показать, что основания высот треугольника IaIbIc совпадают с вершинами треугольника ABC (покажите!). Следовательно, проведя высоты в треугольнике IaIbIc, мы получим вершины треугольника ABC.
📺 Видео
№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать
Вневписанная окружность | Теоремы об окружностях - 3Скачать
Математика за минуту: Формула радиуса вневписанной окружности в произвольный треугольник.Скачать
✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Вневписанная окружностьСкачать
Вневписанная окружностьСкачать
#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать
Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать
Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать
Егэ c4. Вневписанная окружностьСкачать
Вневписанная окружность. (Геометрические конструкции)Скачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
15 Соотношение между высотами и радиусами вписанной и вневписанных окружностейСкачать
Вся геометрия треугольника в одной задаче. Планиметрия. ЕГЭ 2023 математика задача 16Скачать
Вневписанная окружность треугольникаСкачать
Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольникеСкачать
Радиус описанной окружностиСкачать
