Тор рассекается по окружностям плоскостью

Гирш Антон Георгиевич

(Universität Kassel)

Аннотация

Начертательная, как и элементарная геометрия, своими абстракциями изучает реальный мир. Но евклидова геометрия реального мира сопряжена с псевдоевклидовой геометрией и они составляют одну сопряжённую пару. Как следствие, каждая реальная фигура сопряжена с некоторым мнимым образом. Доклад, кроме некоторых научных фактов, показывает присутствие в геометрических конструкциях мнимых образов, проявляющих себя как сингулярности или как ГМТ в сопряжённых парах реальное – мнимое.

Ключевые слова: вращение; ось; окружность; сфера; тор; мнимое сопровождение; сингулярность; двойные точки.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Введение

Видео:Метод эксцентрических сферСкачать

1. Круговой тор

Поверхность получается от вращения окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось не пересекает образующую окружность, то поверхность называют открытым тором; если ось пересекает образующую окружность, то поверхность называют закрытым тором; и, если ось вращения проходит через центр образующей окружности, то поверхность есть сфера.

Открытый тор ассоциируется с бубликом, закрытый тор – с яблоком.

У равнение образующей окружности: (x — R) 2 +z 2 = r 2 (1)
Переход к уравнению тора делается подстановкой x=Sqrt(x 2 + y 2 ) в уравнении (1). После приведения подобных, получают уравнение поверхности тора:

(x 2 + y 2 + z 2 + R 2 — r 2 )2 — 4R 2 (x 2 + y 2 ) = 0, (2)

где r – радиус образующей окружности, R – радиус направляющей окружности.

Каждый круговой тор имеет на оси вращения две узловые точки, удалённые от центра поверхности на расстояние l = Sqrt(r 2 + R 2 ).

Открытый тор имеет две мнимые узловые точки на оси вращения, закрытый тор имеет две действительные узловые точки, которые в частном случае могут слиться в одну. Действительно, положив в уравнении (2) x = 0, y = 0, получим z 2 = r 2 — R 2 . В случае R = r две двойные точки сливаются в одну.

Исследование тора сечениями.

1. Произвольное плоское сечение кругового тора есть кривая четвёртого порядка, что следует и из степени уравнения (2). Плоская кривая порядка распадается на кривые более низкого порядка, если кривая содержит более чем двойных точек. Число возможных двойных точек алгебраической кривой порядка по MacLaurin d=(n — 1)(n — 2)/2. Нераспадающаяся кривая четвёртого порядка может иметь до трёх двойных точек. Если кривая имеет одной точкой больше, то она распадается. Четыре двойные точки – это двойные точки N₁ и N₂ на оси вращения и циклические точки I₁ и I₂.
2. Осевое сечение тора (меридиан) распадается на две окружности – в плоскости сечения лежат обе пары названных двойных точек.
3. Нормальное к оси сечение тора (параллели) распадается на две концентрические окружности, проходят через циклические точки.
4. Сечение тора дважды касательной плоскостью распадается на две окружности Вилларсо – в плоскости сечения лежат две точки касания и циклические точки.
5. Сечение тора плоскостями, параллельными оси вращения есть нераспадающиеся кривые четвёртого порядка – кривые Персея. Когда плоскость получает касание внутренней части поверхности, кривая приобретает узел и переходит в лемнискату Бута. При соотношении параметров тора R = 2r лемниската Бута переходит в лемнискату Бернулли [2].

Три вида точек поверхности тора.

В точке поверхности определяется Гауссова кривизна K = k₁k₂. Знак Гауссовой кривизны определяет характер строения поверхности вблизи рассматриваемой точки. При K > 0, где k₁ и k₂ имеют одинаковые знаки, точку называют эллиптической, при K

1. Внешняя область поверхности тора имеет в каждой точке K > 0. Точки поверхности, достаточно близкие к эллиптической точке, все расположены по одну сторону от плоскости, касательной в данной точке.
2. Внутренняя область поверхности тора в каждой точке имеет K
3. Линия пересечения названного цилиндра (R) с тором разделяет поверхность на эллиптическую и гиперболическую области и сама состоит из параболических точек

Площадь поверхности и объём тора.

Тор служит идеальным примером для приложения двух знаменитых формул Гульдина [1]:

1. Площадь S поверхности вращения равна произведению длины l образующего контура на длину окружности, описываемой центром тяжести образующего контура, S = l · 2πR: → S = 2πr · 2πR = 4π 2 rR.
2. Объём V тела вращения равен произведению площади s образующего контура на длину окружности, описываемой центром тяжести образующего контура, V = s · 2πR: → V = 2πr 2 · 2πR = 4π 2 r 2 R.

Видео:Построение линии пересечения поверхности конуса с проецирующей плоскостьюСкачать

2. Мнимое сопровождение тора

Показ этой конструкции объяснит происхождение мнимых двойных точек на оси вращения тора. Итак, образующая окружность c(r) имеет мнимое расширение в форме равнобочной гиперболы h(r), рис.1а. Равносторонняя гипербола h при своём вращении вокруг оси заметает поверхность, которая распадается на четыре части, рис.1b (на рисунке для наглядности мнимый образ показан сплошной линией, а действительная фигура – штриховой). Ветвь гиперболы h, удалённая от оси вращения a, заметает поверхность, похожую на однополостный гиперболоид. Ветвь гиперболы h, пересекающая оси вращения a, заметает поверхность, распадающуюся на три составляющие: веретено N₁N₂ и два гиперболических конуса, с вершинами N₁ и N₂, рис.1b. Для гиперболы h с уравнением (x — R) 2 — z 2 = r 2 точки N₁ и N₂ имеют координаты z₁₂=Sqrt(R 2 — r 2 ). В евклидовом пространстве мнимые образы не имеют изображения, но их сингулярности продолжают проявляться – на оси вращения открытого тора проявляют себя две двойные точки N₁ и N₂, которые и указаны в предложении, п.1.

* Guldin T. (1635), швейцарский математик, во французской транскрипции читается Гюльден [1].

Видео:Взаимное пересечение поверхностей/ (способ секущих плоскостей)/ Задача 49./ Рабочая тетрадь.Скачать

. 3. Сфера от вращения окружности

Сфера образуется вращением окружности вокруг оси, нормально проецирующейся на плоскость окружности в её диаметр. Центр сферы нормально проецируется на плоскость образующей окружности в её центр. Радиус сферы равен длине отрезка от центра сферы до периферийной точки образующей окружности.

В общем случае образующая окружность при вращении вокруг оси заметает только сферический пояс. Но это при геометрическом или, если угодно, физическом вращении. При аналитическом вращении, т.е. при написании уравнения поверхности вращения по данной оси и данному уравнению образующей окружности, получается уравнение полной сферы. Не сферического пояса! Отметим, что в аналитической геометрии не бывает уравнения отрезка линии или отсека поверхности, а есть уравнения полных образов – прямой, сферы, тора и др., которые задаются их элементами. В [5] было показано, как сферический пояс завершается до полной сферы в комплексном пространстве за счёт её мнимого расширения.

Пусть ось расположена параллельно образующей окружности c(r) на расстоянии от плоскости. Покажем вывод уравнения сферы рис.2.

Уравнение образующей окружности:

Каждая точка A окружности c(r) описывает в плоскости y параллель радиуса ρ с центром на оси a, уравнение параллели x 2 + y 2 = ρ 2 , где ρ 2 = b 2 + y_A 2 . Сделав подстановку значения ρ 2 в уравнение параллели, поучают: x 2 + y 2 = b 2 + y_A 2 , или, y_A 2 = x 2 + y 2 — b 2 . Точка A пробегает всю образующую окружность c(r), потому выражение для y_A подставляют в уравнение (3) и получают уравнение сферы Ω:

x 2 + y 2 +z 2 = r 2 + b 2 . (4)

1. Радиус полученной сферы Ω больше радиуса образующей окружности c, r 2 + b 2 > r 2 . Очевидно, окружность c при своём вращении вокруг оси a не может заполнить всю поверхность сферы Ω (Это к вопросу «полярных шапочек», которые при геометрическом вращении остаются незаполненными [5].)
2. Конструкция рис.2 позволяет в качестве образующей брать и мнимую окружность c(ir). Если действительная образующая окружность при своём вращении вокруг оси a заметает действительную сферу Ω(R = Sqrt(r 2 + b 2 ), то мнимая образующая окружность c(ir) также может определить действительную сферу Ω(R = Sqrt(b 2 — r 2 ). Но определяемая сфера может быть и мнимой и даже выродиться в точку без того, чтобы образующая окружность выродилась в точку и совпала с осью вращения. Радиус конструируемой сферы зависит от соотношения параметров r и b в выражении Sqrt(b 2 — r 2 ):
   a) b > r , сфера Ω действительная, рис.3а;

c) b = r, сфера Ω вырождается в точку, рис.3с.

Видео:Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Заключение

Мир геометрии огромен. Каждый, имеющий отношение к геометрии, с необходимостью сориентирован на самообразование и постижению мира геометрии. К миру геометрии относятся и мнимые образы. Мнимые образы выводят на комплексные числа, по поводу чего негодовал великий Я.Штейнер, называя их «иероглифами анализа» не без оснований. Но мнимые образы существуют помимо формул анализа – они суть часть геометрии. Впервые мнимые точки осознал В.Понселе в 1812 г., сидя в русском плену в Саратове и, что важно, совсем без формул анализа. Вычислительная геометрия часто показывает количества, большие числа реальных фигур, потому что учитывает и мнимые образы.

Пример с тором, который изучен вдоль и поперёк, показывает сингулярность – пару двойных точек на оси вращения, которые в зависимости от соотношения параметров тора могут быть действительными, мнимыми или слиться в одну. А дилемма сферический пояс – полная сфера, вообще повод для размышлений. Её разрешение требует подключения живой мысли и здесь только машинной графикой не обойтись.

Видео:Задача 64Скачать

Список литературы

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986. – 544 с.
2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1975. – 872 с.
3. Иванов Г.С., Дмитриева И.М. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями. // Геометрия и графика, Т.3, №2. DOI: 10. 127/12163.
4. Гирш А. Г. Мнимости в геометрии. // Геометрия и графика, Т.2, №2. DOI: 10. 12737/5583.
5. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. – М.: ООО «ИПЦ «Маска»», 2008. – 213 с.
6. Гирш А.Г. Комплексная геометрия – евклидова и псевдоевклидова: ООО «ИПЦ «Маска»», 2013. – 216 с.
7. http://www.anhirsch.de Антон Георгиевич Гирш (Dr. A.Hirsch) – Сайт.

Видео:Начертательная геометрия. Лекция 11. Часть 2.Скачать

Рисунки к докладу

а) Гипербола h, сопутствующая образующей окружности c. b) Гипербола h заметает поверхность, содержащую узловые точки

Вращение окружности c(r) вокруг оси a. Вывод уравнения

Задание сферы Ω(R) образующей окружностью c(r) и осью вращения a

Вопросы и комментарии к выступлению:

Мария Валентиновна, спасибо, что заглянули на эту страничку. Вопрос неполный — конус общего вида или вращения? Если вращения, то всегда есть такая ось вращения сферы, которая пройдёт через вершину конуса. Через эту точку проходит и проекция ЛПП. А программа, вопрос конечно интересный, зависит от пакета, но если есть идея решения, то напишется и программа.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Геометрические тела. Тор (тороид).

Тор (тороид) — поверхность вращения, которая получается методом вращения образующей окружности вокруг оси, которая лежит в плоскости этой окружности, но при этом не проходит через её центр. Причем ось вращения может пересекать окружность, касаться ее и располагаться вне окружности.

В 1-х двух случаях тор является закрытым, в последнем — открытым, или кольцом.

Красным обозначена образующая окружность.

Тор – это поверхность 4-го порядка.

Видео:СФЕРА с вырезомСкачать

Ось тора.

Ось тора может располагаться вне образующей окружности или касаться её.

Видео:Построение недостающих проекции сквозного отверстия в сфереСкачать

Свойства тороида.

• Площадь поверхности тора: .
• Объём тела, который ограничивается тором: .
• Тор с вырезанным диском («проколотый») можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, т.е. серией диффеоморфизмов). Причем 2-е окружности на нём, которые пересекаются перпендикулярно («параллель» и «меридиан») меняются местами друг с другом:

• 2 «дырявых» тора, переплетенных между собой, можно продеформировать таким образом, чтобы 1-н из торов «поглотил» другой.
• Наименьшее количество цветов, которое необходимо для раскрашивания участков тора таким образом, чтобы соседние оказались разных цветов, является семь.

Видео:Линия пересечения плоскостейСкачать

Сечения тороида.

1. При сечении тора бикасательной плоскостью кривая четвёртого порядка, которая образуется, является вырожденной: пересечение называется объединением 2-х окружностей являющимися окружностями Вилларсо:

2. Открытый тор можно представить в виде поверхности вращения окружности зацепленной за ось вращения.

3. 1-но из сечений открытого тора — лемниската Бернулли, остальные кривые линии называются графическими линиями и являются кривыми Персея (спирические линии, сечения тора плоскостью, которая параллельна его оси)

4. Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью выглядят как эллипс (кривая второго порядка). Кривая, которая получается т.о., выражается алгебраическим уравнением четвертого порядка.

Видео:Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)Скачать

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СФЕРЫ И ТОРА ПЛОСКОСТЬЮ. ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ СРЕЗА НА ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

Плоскость всегда пересекает сферу по окружности, которая проецируется в виде отрезка прямой, в виде эллипса или в виде окружности в зависимости от положения секущей плоскости по отношению к плоскости проекций. Так, на рис. 9.10 изображены проекции линий пересечения сферы и плоскостей горизонтальной а (а») и фронтальной Т1(ч‘). Они пересекают сферу по окружностям с центрами С(С»,

С, С «‘) и Ci(C», С)’, С«‘) с проекциями в виде окружности и отрезка прямой. В примере, приведенном на рис. 9.11, горизонтальная и профильная проекции линии пересечения сферы фронтально-проеци- рующей плоскостью — эллипсы, длины больших осей которых С ‘D‘ и С ‘»D равны величине диаметра окружности (А «В»). Малые оси эллипсов А’В’ и А ‘»В получают проецированием. На рис. 9.11 показано построение проекций некоторых точек. Проекции С’ и D’ построены на горизонтальной проекции параллели радиуса 0’1′, построенной с помощью проекции 1″. Проекция С и D построены на профильной проекции окружности, проведенной на сфере через проекции С «(D «) так, что плоскость окружности параллельна плоскости проекций. Проекция Е’ является точкой касания эллипса (горизонтальной проекции окружности среза) и экватора сферы. Она построена в проекционной связи на горизонтальной проекции экватора по фронтальной проекции Е». Горизонтальная проекция М’

произвольной точки на линии среза построена с помощью параллели радиуса О ‘2’, фронтальная проекция которой проходит через проекции М» и 2″. Проекция F» является точкой касания эллипса (профиль-

ной проекции окружности среза) и профильной проекции очерка сферы.

Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения, то задачу решают способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.

Кривую линию пересечения тора плоскостью в общем случае строят с помощью вспомогательных плоскостей, пересекающих тор и секущую плоскость. При этом подбирают плоскости, пересекающие тор по окружности, т.е. расположенные перпендикулярно оси тора или проходящие через его ось.

В примере на рис. 9.12 показано применение вспомогательных плоскостей Yi(Yi») и bW)* перпендикулярных оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью а(а'»). Тор на рис. 9.12 имеет два изображения — фронтальную проекцию и половину профильной проекции. Полуокружность радиуса R₂ (профильная проекция линии пересече-

ния тора вспомогательной плоскостью у₂) касается проекции плоскости ос (следаа'»)- Тем самым определяются профильная проекция 3 и по ней фронтальная проекция 3 « одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса — профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью уь Она пересекает профильную проекцию плоскости а (след а”’) в двух точках 5″‘ и 7′» — профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные построения, можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения натурального вида фигуры сечения. Фигура сечения тора плоскостью, параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния А и /₂ на фронтальной проекции для нанесения точек 5₀, 7₀ и 3₀.

Точки 6о, 8₀ и 4о построены как симметричные. Построенная кривая пересечения поверхности тора плоскостью выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка.

Кривые пересечения тора с плоскостью, параллельной оси, приведены на рис. 9.13. Они имеют общее название — кривые Персея (Персей — геометр Древней Греции). Это кривые четвертого порядка. Вид кривых зависит от величины расстояния от секущей плоскости до оси тора.

Многие детали приборов и машин имеют в своей основе форму тела вращения со сложной формой поверхности. Такое тело можно рассматривать как состоящее из частей элементарных тел вращения — цилиндра, конуса, сферы и тора или кругового кольца. Детали из такого тела вращения часто конструируют путем среза части тела плоскостью, параллельной оси. При этом в пересечении поверхности тела с плоскостью среза образуются сложные линии, построение которых и рассмотрено ниже. Зти линии, являющиеся частным случаем линии пересечения поверхности вращения с плоскостью (плоскость параллельна оси), называются линиями среза.

Пример чертежа такого тела с построенными линиями среза приведен на рис. 9.14. На чертеже оставлены некоторые вспомогательные линии построений и точки. При выполнении построений прежде всего устанавливают границы заданных поверхностей вращения и определяют элементарные поверхности — цилиндр, конус, сфера, тор. Для этого достаточно мысленно или на черновике дополнить участки поверхностей, как показано на рис. 9.15. На рисунке все поверхности для наглядности раздвинуты вдоль оси вращения.

Разграничение участков элементарных поверхностей позволяет определить характер отдельных участков линий среза и правильно выбрать количество и расположение вспомогательных секущих плоскостей, необходимых для построения промежуточных точек на линии среза.

На чертеже границами поверхностей вращения являются линии касания или пересечения элементарных поверхностей. Их проекции в виде отрезков прямых, перпендикулярных оси вращения, проводят через проекции точек сопряжения или пересечения образующих. Так, на рис. 9.14 граница между сферой и конусом проведена через точку сопряжения дуги радиусом R_t и образующей конуса. Эта точка определена с помощью перпендикуляра из проекции О « центра сферы к образующей конуса. Граница между конусом и тором с радиусом образующей R₂ проведена через точку касания образующей конуса и дуги радиуса R₂. Точка сопряжения определена с помощью перпендикуляра, проведенного из центра дуги радиуса R₂ к образующей конуса. Граница между тором с радиусом образующей R₂ и тором с радиусом образующей R_> проведена через точку сопряжения дуг радиуса R₂ и R₂. Точка сопряжения найдена с помощью прямой, соединяющей центры дуг. Границы между тором с радиусом образующей /?₃ и цилиндром, между этим же цилиндром и тором с радиусом образующей Л| проведены через точки сопряжения дуг указанных радиусов с образующей цилиндра. Они проходят и через центры дуг.

Построенные границы элементарных поверхностей можно рассматривать и как линии пересечения поверхности вращения плоскостями, перпендикулярными оси, в данном случае — профильными плоскостями. Профильные проекции этих линий — окружности. В пересечении их с профильными проекциями плоскостей среза отмене

чают профильные проекции характерных точек на линии среза. Пример построения профильной проекции D и по ней фронтальной проекции /)»отмечен на рис. 9.14. По положению проекций В'», С», Е F'» строят фронтальные проекции В», С», Е», F» точек линии

среза. Проекции А «, К» (их проекции А К»‘ совпадают) построены по горизонтальным проекциям А’, К’.

В данном примере линия среза и ее фронтальная проекция состоят из следующих участков: на сфере радиуса Л, — дуги окружности радиуса А » Она конусе — части гиперболы с вершиной М на торе с радиусом образующей R₂ — части кривой Персея, аналогичной кривой сечения А— А (см. рис. 9.13); на торе с радиусом образующей Л₃ — части кривой Персея, аналогичной кривой сечения Б— Б (см. рис. 9.13); на цилиндре — отрезков прямых, параллельных оси; на торе с радиусом образующей Л, — части кривой Персея, аналогичной кривой сечения Г—Г (см. рис. 9.13). Зная вид линии среза и положение проекций характерных и крайних точек линий, можно ограничиться построением проекций минимального количества промежуточных точек. В данном примере на рис. 9.14 показано построение проекций «промежуточной» точки на участке К «F», а также построенные проекции «промежуточных» точек на участках В «С», C»D«, D»E». Следует отметить, что точка 1″ симметрична точке С «, а точка 2″ наиболее удаленная от оси.

🎬 Видео

Задачи 4.3.10 и 4.3.11.Скачать

Лекция 15. Пересечение поверхности с плоскостью и прямойСкачать

Линия пересечения двух поверхностей вращения (Метод вспомогательных сфер)Скачать

Начертательная геометрия. Лекция 16. Часть 1.Скачать

Лекция 12. Пересечение поверхностей метод плоскостейСкачать

Начертательная геометрия. Пересечение поверхностей. Задача 54 гСкачать

2.2 Способ секущих плоскостей. Пересечение поверхностейСкачать

Начертательная геометрия. Пересечение поверхностей. Задача 54вСкачать

Ракитская Мария Валентиновна (21 февраля 2016 г. 16:23)	Здравствуйте, Антон Георгиевич! Спасибо за доклад. Можно задать вопрос? Недавно ко мне обратился студент с такой задачей: Есть сфера, из точки вне сферы на сферу направляется конус (но ось конуса не проходит через центр сферы). Необходимо построить линию пересечения. Графически эту задачу решить легко. Как бы помочь студенту находить решение этой задачи в условиях программирования. С уважением к Вам, М.В.
Гирш Антон Георгиевич (25 февраля 2016 г. 14:25)