Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Какие из следующих утверждений верны?

1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.» — верно, oколо треугольника можно описать окружность, притом только одну.

2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Выражение «не более одной» означает, что окружностей не может быть больше одной. Выражение «не менее одной» означает, что окружностей не может быть меньше одной. В частности, «ровно одна окружность» удовлетворяет как условию «не более одной», так и условию «не менее одной».

Утверждение «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности» можно сформулировать так: «В любой треугольник можно вписать хотя бы одну окружность». Если бы это утверждение было неверным, это означало бы, что существуют треугольники, в которые нельзя вписать хотя бы одну окружность, но таких треугольников не существует, поэтому утверждение является верным.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружностиСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружностиФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружностиВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Точка пересечения медиан в треугольнике

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности.

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникТочка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности
Равнобедренный треугольникТочка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности
Равносторонний треугольникТочка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности
Прямоугольный треугольникТочка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности.

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности.

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Произвольный треугольник
Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности
Равнобедренный треугольник
Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности
Равносторонний треугольник
Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности
Прямоугольный треугольник
Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности
Произвольный треугольник
Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности.

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности.

Равнобедренный треугольникТочка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Равносторонний треугольникТочка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникТочка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Видео:Центром вписанной в треугольник окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центром вписанной в треугольник окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности– полупериметр (рис. 6).

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

с помощью формулы Герона получаем:

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Точка пересечения биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляровСкачать

Точка пересечения биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров

Центр вписанной в треугольник окружности

Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? Что можно сказать о центре окружности, вписанной в многоугольник?

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC.

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

окр. (O; r) — вписанная.

O — точка пересечения биссектрис ∆ ABC.

Обозначим точки касания вписанной в треугольник окружности со сторонами AC, BC и AB соответственно M, K. F.

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружностиСоединим отрезками центр окружности с точками A, M и F.

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Точка пересечения медиан треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

(как радиусы, проведенные в точки касания). Следовательно, треугольники AOF и AOM — прямоугольные.

У них общая гипотенуза AO, катеты OF=OM (как радиусы).

Следовательно, треугольники AOF и AOM равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠OAF=∠OAM.

Значит, точка O лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины A.

Аналогично из равенства треугольников BOF и BOK, COM и COK доказывается, что точка O лежит на биссектрисах треугольника ABC, проведенных из вершин B и C.

Следовательно, центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечении биссектрис этого треугольника.

Что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы можно основать непосредственно на свойстве биссектрисы угла.

1) OM=OF=OK (как радиусы),

2) OM⊥AC, OM⊥AB, OK⊥BC (как радиусы, проведённые в точку касания).

Значит точка O равноудалена от сторон углов BAC, ABC и ACB.

Так как любая точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе, то AO, BO и CO — биссектрисы треугольника ABC, O — точка их пересечения.

Аналогично, центр вписанной в многоугольник окружности (если в него можно вписать окружность) лежит в точке пересечения биссектрис этого многоугольника.

📸 Видео

№366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точкаСкачать

№366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точка

Точка пересечения медиан.Скачать

Точка пересечения медиан.

Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.Скачать

Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точкиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точки

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой ЭйлераСкачать

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой Эйлера

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Задание 16 ОГЭ 2022 математика | Точка пересечения медиан треугольникаСкачать

Задание 16 ОГЭ 2022 математика | Точка пересечения медиан треугольника

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольникаСкачать

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольника

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис Трушин

Центр вписанной окружности #ShortsСкачать

Центр вписанной окружности #Shorts

Точка пересечения биссектрис и точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольникеСкачать

Точка пересечения биссектрис и точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике
Поделиться или сохранить к себе: