Точка о центр вписанной окружности прямая во вторично пересекает (5 видео)

Задание 16. ЕГЭ. Точка О – центр вписанной в треугольник АВС окружности.

Задание. Точка О – центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Е.

а) Докажите, что ∠ЕОС = ∠ЕСО.

б) Найдите площадь треугольника АСЕ, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6√3, ∠АВС = 60 0 .

Решение:

а) Докажите, что ∠ЕОС = ∠ЕСО.

Так как точка О – центр вписанной в треугольник ΔАВС окружности, то она является точкой пересечения биссектрис CО, ВО и AО треугольника ΔАВС.

Угол ∠ЕОС – внешний угол треугольника ΔВОС, тогда ∠ЕОС равен сумме двух углов треугольника ΔВOС, не смежных с ним, т. е.

∠ЕОС = ∠ВСО + ∠СВО

Так как СО – биссектриса угла ∠С треугольника ΔАВС, то

Так как BО – биссектриса угла ∠B треугольника ΔАВС, то

Угол ∠ECО равен: ∠ECО = ∠АСO + ∠ECA

Угол ∠АСO = ∠ВCО (CО – биссектриса).

Угол ∠ECA – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗAE.

На дугу ᴗAE также опирается угол ∠AВE = ∠CВO (BО – биссектриса).

Значит, ∠ECО = ∠ВCО + ∠CBО, т.е.

Следовательно, ∠ЕОС = ∠ЕСО.

б) Найдите площадь треугольника АСЕ, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6√3, ∠АВС = 60 0 .

Около треугольника ΔCВE описана окружность с радиусом R = 6√3 и ∠CВE =∠CВО = 30 0 , тогда для треугольника ΔCBE справедливо равенство

Угол ∠CBE – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗCE,

угол ∠EВA – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗAE.

Так как ∠СВЕ = ∠ЕВА, то ᴗCE = ᴗAE и хорды СЕ и АЕ равны, т. е. СЕ = АЕ = 6√3.

Угол ∠АBС = 60 0 – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗАEС и ᴗАEС = 120 0 .

Значит, дуга ᴗАВС = 360 0 — ᴗАEС = 360 0 – 120 0 = 240 0 .

Угол ∠АЕС – вписанный в окружность угол равен половине дуги ᴗАВC, на которую он опирается, т. е. угол ∠АЕС = 120 0 .

Площадь треугольника ΔАСЕ равна

Ответ: 27√3

Содержание

Репетитор по математике
Стоимость занятий
Видеокурсы подготовки к ЕГЭ-2021
Группа Вконтакте
Преимущества
Педагогический стаж
Собственная методика
Гарантированный результат
Индивидуальная работа
Подготовка к ЕГЭ. Решение сложных заданий ЕГЭ-2019 по математике профильный уровень
Презентация к уроку
Условия заданий и методические рекомендации по их решению.
🔍 Видео

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Репетитор по математике

Меня зовут Виктор Андреевич, — я репетитор по математике . Последние десять лет я занимаюсь только преподаванием. Я не «натаскиваю» своих учеников. Моя цель — помочь ребенку понять предмет, научить его мыслить, а не применять шаблоны, передать свои знания, а не просто «добиться результата».

Предусмотрен дистанционный формат занятий (через Skype или Zoom). На первом же уроке оцениваем уровень подготовки ребенка. Если ребенка устраивает моя подача материала, то принимаем решение о дальнейшем сотрудничестве — составляем расписание и индивидуальный план работы. После каждого занятия дается домашнее задание — оно всегда обязательно для выполнения. [в личном кабинете родители могут контролировать успеваемость ребенка]

Стоимость занятий

Набор на 2020/2021 учебный год открыт. Предусмотрен дистанционный формат.

Видеокурсы подготовки к ЕГЭ-2021

Решения авторские, то есть мои (автор ютуб-канала mrMathlesson — Виктор Осипов). На видео подробно разобраны все задания.

Теория представлена в виде лекционного курса, для понимания методик, которые используются при решении заданий.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Группа Вконтакте

В группу выкладываются самые свежие решения и разборы задач. Подпишитесь, чтобы быть в курсе и получать помощь от других участников.

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

Преимущества

Педагогический стаж

Сейчас существует много сайтов, где вам подберут репетитора по цене/опыту/возрасту, в зависимости от желаний. Но большинство анкет там принадлежат либо студентам, либо школьным учителям. Для них репетиторство — дополнительный временный заработок, из этого формируется отношение к деятельности. У студентов нет опыта и желания совершенствоваться, у школьных учителей — нет времени и сил после основной деятельности. Я занимаюсь только репетиторством с 2010 года. Все свои силы и знания трачу на совершенствование только в этой области.

Собственная методика

За время работы я накопил огромное количество материала для подготовки к итоговым экзаменам. Ребенку не будет даваться неадаптированная школьная программа. С каждым я разберу поэтапно специфичные примеры, темы, способы решений, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ и ОГЭ. При этом это не будет «натаскиванием» на решение конкретных задач, но полноценная структурированная подготовка. Естественно, если таковые найдутся, устраню «пробелы» и в школьной программе.

Гарантированный результат

За время моей работы не было ни одного случая, где не прослеживалась бы четкая тенденция к улучшению знаний у ученика. Ни один откровенно не «завалил» экзамен. Каждый вырос в «понимании» математики в сравнении со своим первоначальным уровнем. Естественно, я не могу гарантировать, что двоечник за полгода подготовится на твердую «пять». Но могу с уверенностью сказать, что я подготовлю ребенка на его максимально возможный уровень за то время, что осталось до экзамена.

Индивидуальная работа

Все дети разные, поэтому способ и форма объяснения корректируются в зависимости от уровня понимания ребенком предмета. Индивидуальная работа с каждым учеником — каждому даются отдельные задания, теоретический материал.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Подготовка к ЕГЭ. Решение сложных заданий ЕГЭ-2019 по математике профильный уровень

Класс: 11

Презентация к уроку

В данной работе предлагаются решения сложных заданий (№13 – №19) ЕГЭ-2019 по математике профильный уровень. Представленный здесь материал предназначен для подготовки к ЕГЭ учащихся, имеющих навыки в решении заданий подобного уровня сложности.

Задания №13, №14, №15, №17 могут быть предложены сильным учащимся обычных классов, а вот задания №16, №18, №19 целесообразно решать только с учащимися физико-математических классов, причем задание №19 под буквой «в» под силу только тем, кто имеет определенную подготовку в решении олимпиадных задач.

В задании №18 предлагается два метода решения (аналитический и координатно-параметрический), а так же отдельные этапы решений заданий №15 и №18 рассмотрены двумя способами.

Для оформления всех решений использована мультимедиа презентация, где материал представлен наглядно в ярком, интересном и доступном виде, что для учителя и учащихся будет ценно и полезно. Эту презентацию можно применять как на уроке, так и для индивидуальной работы.

Условия заданий и методические рекомендации по их решению.

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Задание №13 считается одним из самых легких среди заданий второй части ЕГЭ. Применяя основное тригонометрическое тождество и формулу приведения, получаем в левой части данного уравнения тригонометрическое выражение относительно sinx, которое можно способом группировки разложить на множители. Но гораздо легче будет привести подобные слагаемые и решить это уравнение, как квадратное относительно sinx.

Решить простейшее тригонометрическое уравнение предлагается с помощью числовой окружности. Важно, чтобы учащиеся имели хорошие навыки в работе с этой математической моделью.

Тогда и отбор корней лучше всего сделать на числовой окружности. Для этого нужно построить другую окружность, на которой изобразить данный отрезок и точки, соответствующие корням тригонометрического уравнения.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На ребрах AB и SC отмечены точки К и М соответственно, причем АК:КВ = SM:MC = 1:5. Плоскость α содержит прямую КМ и параллельна прямой ВС.

а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

Стереометрическая задача №14 является одной из самых сложных, не смотря на то, что она оценена всего лишь 2 баллами. В лучшем случае учащимися выполняется только первая часть задачи на доказательство, тогда, как вторая часть под силу лишь не многим.

В предложенной задаче нужно сначала построить сечение пирамиды, плоскостью, проходящей через две точки и параллельно указанному ребру. Тогда линии пересечения секущей плоскости с соответствующими гранями должны быть параллельны этому ребру. Далее необходимо найти условия для применения признака параллельности прямой и плоскости.

Во второй части задачи нужно найти угол между плоскостью сечения и боковой гранью пирамиды. Здесь нужно хорошо знать признак перпендикулярности прямой и плоскости, свойства параллельных прямых, перпендикулярных плоскости, уметь находить линейный угол двугранного угла.

Решите неравенство

Это не сложное 2-балльное задание. При решении логарифмического неравенства важно найти ОДЗ и, применяя свойства логарифмов и монотонность логарифмической функции, перейти к рациональному неравенству, которое легко решается методом интервалов.

Точка О – центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.

а) Докажите, что ОР = СР.

б) Найдите радиус описанной около треугольника АВС окружности, если расстояние от точки Р до прямой АС равно 18, а угол АВС равен 60°.

Данная планиметрическая задача является не такой уж и сложной для тех, кто хорошо знает, где находится центр вписанной в треугольник окружности, свойства биссектрисы, вписанных углов, свойства и признаки равнобедренного треугольника, теорему синусов для нахождения радиуса описанной около треугольника окружности.

15-го января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 2 млн. рублей?

Эта стандартная задача на дифференцированный платеж. Здесь важно иметь навыки решения задач такого типа. В работе предлагается табличный способ решения задачи, где все величины и данные и искомые обозначаются переменными, устанавливается между ними зависимость, а числовые данные подставляются в самом конце, чтобы получить уравнение с одной переменной и решить его.

Найдите все значения а, при каждом из которых имеет ровно два различных корня уравнение

Лучше всего решать это уравнение с параметром графическим методом. В знаменателе данной дроби нужно увидеть уравнение окружности и записать его в явном виде. Построив в координатной плоскости xOa графики параболы и окружности, легко можно найти значения параметра а, удовлетворяющие условию задачи.

Но можно решить это уравнение и аналитическим методом.

Последовательность (а_n) состоит из 100 натуральных чисел. Каждый следующий член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего, либо больше него на 90.

а) Может ли такая последовательность быть образована ровно четырьмя различными числами?

в) Какое наименьшее значение может принимать самое большое из чисел в такой последовательности?

В этой задаче вполне решаемые первые два пункта.

В пункте а) можно просто подобрать четыре числа, удовлетворяющие условию задачи и обязательно нужно показать и несколько следующих членов последовательности.

В пункте б) важно обосновать, что все числа в последовательности нечетные и образуют арифметическую прогрессию.

Решение в пункте в) сложное, здесь применяется метод: оценка плюс пример.