Точка 2пн на окружности (3 видео) | Курс школьной геометрии

Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

Содержание

Обозначаем числа (2π), (π), (frac), (-frac), (frac)
Обозначаем числа (frac), (frac), (frac)
Обозначаем числа (frac), (-frac), (frac)
Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac) ,(frac), (-frac), (-frac)
Числам с разницей в (2πn), где (n∈Z) (то есть (n) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.
Точке, которой соответствует (0), также соответствуют все четные количества (π) ((±2π),(±4π),(±6π)…).
Точке, которой соответствует (π), также соответствуют все нечетные количества (π) ((±π),(±3π),(±5π)…).
Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
А теперь подробно о тригонометрическом круге:
Урок «Числовая окружность»
💥 Видео

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Обозначаем числа (2π), (π), (frac), (-frac), (frac)

Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен (1). Значит, длина окружности равняется (2π) (вычислили по формуле (l=2πR)). С учетом этого отметим (2π) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от (0) по числовой окружности расстояние равно (2π) в положительном направлении, а так как длина окружности (2π), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу (2π) и (0) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

Теперь обозначим на числовой окружности число (π). (π) – это половина от (2π). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от (0) в положительном направлении половину окружности.

Отметим точку (frac) . (frac) – это половина от (π), следовательно чтобы отметить это число, нужно от (0) пройти в положительном направлении расстояние равное половине (π), то есть четверть окружности.

Обозначим на окружности точки (-) (frac) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

Нанесем (-π). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число (frac) . Для этого дробь (frac) переведем в смешанный вид (frac) (=1) (frac) , т.е. (frac) (=π+) (frac) . Значит, нужно от (0) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки (-2π),(-) (frac) .

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Обозначаем числа (frac), (frac), (frac)

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями (x) и (y). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки (frac) , (frac) и (frac) .
(frac) – это половина от (frac) (то есть, (frac) (=) (frac) (:2)) , поэтому расстояние (frac) – это половина четверти окружности.

(frac) – это треть от (π) (иначе говоря, (frac) (=π:3)), поэтому расстояние (frac) – это треть от полукруга.

(frac) – это половина (frac) (ведь (frac) (=) (frac) (:2)) поэтому расстояние (frac) – это половина от расстояния (frac) .

Вот так они расположены друг относительно друга:

Замечание: Расположение точек со значением (0), (frac) ,(π), (frac) , (frac) , (frac) , (frac) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Обозначаем числа (frac), (-frac), (frac)

Обозначим на окружности точку (frac) , для этого выполним следующие преобразования: (frac) (=) (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=π+) (frac) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние (π), а потом еще (frac) .

Отметим на окружности точку (-) (frac) . Преобразовываем: (-) (frac) (=-) (frac) (-) (frac) (=-π-) (frac) . Значит надо от (0) пройти в отрицательную сторону расстояние (π) и еще (frac) .

Нанесем точку (frac) , для этого преобразуем (frac) (=) (frac) (=) (frac) (-) (frac) (=2π-) (frac) . Значит, чтобы поставить точку со значением (frac) , надо от точки со значением (2π) пройти в отрицательную сторону расстояние (frac) .

Видео:🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac) ,(frac), (-frac), (-frac)

Запишем (10π) в виде (5 cdot 2π). Вспоминаем, что (2π) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку (10π), нужно от нуля пройти расстояние равное (5) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке (0), просто сделаем пять оборотов.

Из этого примера можно сделать вывод:

Числам с разницей в (2πn), где (n∈Z) (то есть (n) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

То есть, чтобы поставить число со значением больше (2π) (или меньше (-2π)), надо выделить из него целое четное количество (π) ((2π), (8π), (-10π)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

Точке, которой соответствует (0), также соответствуют все четные количества (π) ((±2π),(±4π),(±6π)…).

Теперь нанесем на окружность (-3π). (-3π=-π-2π), значит (-3π) и (–π) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в (-2π)).

Кстати, там же будут находиться все нечетные (π).

Точке, которой соответствует (π), также соответствуют все нечетные количества (π) ((±π),(±3π),(±5π)…).

Сейчас обозначим число (frac) . Как обычно, преобразовываем: (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=3π+) (frac) (=2π+π+) (frac) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа (frac) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное (π+) (frac) (т.е. половину окружности и еще четверть).

Отметим (frac) . Вновь преобразования: (frac) (=) (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=5π+) (frac) (=4π+π+) (frac) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное (π+) (frac) – и мы найдем место точки (frac) .

Нанесем на окружность число (-) (frac) .
(-) (frac) (= -) (frac) (-) (frac) (=-10π-) (frac) . Значит, место (-) (frac) совпадает с местом числа (-) (frac) .

Обозначим (-) (frac) .
(-) (frac) (=-) (frac) (+) (frac) (=-5π+) (frac) (=-4π-π+) (frac) . Для обозначение (-) (frac) , на числовой окружности надо от точки со значением (–π) пройти в положительную сторону (frac) .

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.

Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .

И синус, и косинус принимают значения от до .

Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

Видео:Тригонометрическая окружность для непонимающихСкачать

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

Видео:Точки на числовой окружностиСкачать

Урок «Числовая окружность»

Краткое описание документа:

Видеоуроки относятся к наиболее эффективным средствам обучения, особенно таких школьных дисциплин, как математика. Поэтому автор данного материала собрал в единое целое только полезную, важную и грамотную информацию.

Данный урок рассчитан на 11:52 минут. Практически столько же времени требуется учителю на уроке для объяснения нового материала по данной теме. Хотя главным достоинством видеоурока будет тот факт, что обучающиеся будут внимательно слушать то, о чем говорит автор, не отвлекаясь на посторонние темы и разговоры. Ведь если обучающиеся будут слушать не внимательно, то упустят важный момент урока. А если материал будет объяснять учитель сам, то его обучающиеся смогут легко отвлечь от главного своими разговорами на отвлеченные темы. И, конечно, становится понятно, какой способ будет боле рационален.

Начало урока автор посвящает повторению тех функций, с которыми обучающиеся знакомились ранее в курсе алгебры. И первыми предлагается начать изучать – тригонометрические функции. Чтобы их рассматривать и изучать требуется новая математическая модель. И этой моделью становится числовая окружность, которая, как раз, и заявлена в теме урока. Для этого вводится понятие единичной окружности, задается ее определение. Далее на рисунке автор показывает все компоненты такой окружности, и что пригодится обучающимся для дальнейшего обучения. Дугами обозначаются четверти.

Затем автор предлагает рассмотреть числовую окружность. Здесь же он делает замечание, что удобнее использовать единичную окружность. На этой окружности показано, как получается точка M, если t>0, t 0(тэ больше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины t. Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).