Найдите образ окружности z 1 при отображении

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Видео:Конформные отображенияСкачать

Глава 3. Конформные отображения

Видео:Отображения множествСкачать

Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции комплексного переменного

Пусть дана аналитическая в области $D$ функция $f(z)$. Возьмем точку $z_0in D$, пусть производная функции в этой точке не равна нулю $$f'(z_0)ne0.$$

Функция $w=f(z)$ отображает область $D$ на плоскости z на множество $E$ в плоскости $w$.

Точке $z_0in D$ соответствует точка $w_0=f(z_0)in E$.

Аргумент $arg f'(z_0)$ есть угол поворота касательной к любой кривой, проведенной через точку $z_0$ при ее отображении с помощью функции $w=f(z)$ на плоскость $w$.

Модуль $|f'(z_0)|$ можно рассматривать как величину масштаба в точке $z_0$ при отображении $w$. Если $|f'(z_0 )|>1$, то происходит растяжение бесконечно малого элемента, выходящего из точки $z_0$. Если $|f'(z_0 )| 0rightarrow |w| 0) rightarrow w_0=0. $$

Функция $w=z^n$ отображает расширенную комплексную плоскость $z$ на расширенную комплексную плоскость $w$.

Не является конформным при $z=0$, так как $$w’=n,z^ =0 ,, mbox z=0.$$

Не является однолистной, так как всякая точка $w$, отличная от $w=0$ и $w=infty$, имеет $n$ различных прообразов. Для однолистности отображения следует брать на плоскости $z$ лишь сектор вида $$kcdotdisplaystylefracleqslant mbox,zleqslant(k+1)cdotdisplaystylefrac,,, kin mathbb Z_.$$

Исследуем поведение функции около точки $z=0$. При помощи степенной функции $$ w=z^n $$ угол с вершиной в начале координат плоскости $z$ отображается в угол с вершиной в начале координат плоскости $w$ c раствором в $n$ раз большим: $$ z=rho e^,, rightarrow ,, w = z^n=rho^n e^. $$ Отображение будет взаимно однозначным, если раствор угла на плоскости $w$ будет не более $2pi$.

Найти в какую область преобразуется квадрат $$ 0le xle 1,quad 0le yle 1 $$ функцией $w=z^2+z-1$.

Решение. Выделим вещественную и мнимую части: $$ begin u=x^2-y^2+x-1, v=2xy+y. end $$

Определим образы участков границ данного квадрата: begin OA:quadleft<begin y=0, 0le xle1 endright.quadhboxquad left<begin u=x^2+x-1, v=0. endright. end это отрезок вещественной оси $-1le ule 1$. begin AB:quadleft<begin x=1, 0le yle1 endright.quadhboxquad left<begin u=1-dfrac9, 0le vle3 endright.hskip17.5pt end это часть параболы в первом квадранте.

Образы отрезков $BC$ и $CO$ также являются дугами парабол: beginlabel BC:quad u=frac14big(v^2-9big),quad 1le vle 3, end beginlabel CO:quad u=-1-v^2,quad 0le vle1. end Так как точка $z=displaystylefrac12(1+i)$ переходит в точку $w=i-displaystylefrac12$, то внутренность квадрата переходит во внутренность криволинейного четырехугольника.

Ответ: Внутренность квадрата переходит во внутренность криволинейного четырехугольника.

Видео:Конформные отображения с помощью линейной функцииСкачать

Радикал

Рассмотрим функцию begin w=sqrt[n], end обратную степенной функции $z=w^n$.

Примем, что $$w=infty mbox z=infty.$$

Во всех точках расширенной плоскости $z$, кроме точек $z=0$ и $z=infty$ (где эта функция соответственно равна $w=0$ и $w=infty)$, эта функция $n$-значна и все ее $n$ различных значений для каждого фиксированного $z=re^$ (не равные 0 и $infty$) дает формула: $$ w=sqrt[n]cdot e^ <itfrac> =sqrt[n]cdot e^ <itfrac>cdot e^<itfrac>quadhbox quad k=0,1,dots,n-1. $$

Через $w_k$ обозначим множество всех точек $w$, соответствующих данному фиксированному значению $k$. В результате получим $n$ функций $w_k$, $k=0,2,dots,n-1$, называемых ветвями многозначной функции $w=sqrt[n]$. $$ w_k= sqrt[n]cdot e^ <itfrac>cdot e^<itfrac>quadhbox quad k=0,1,dots,n-1. $$

Рассмотрим какую-нибудь ветвь $w_k$ функции и заставим точку $z$ описать в плоскости какую-нибудь замкнутую кривую.

Если эта кривая не содержит внутри себя точку $z=0$ (сплошная кривая на рисунке), то непрерывно изменяющийся аргумент точки $z$ вернется к прежнему значению с возвращением точки $z$ в исходное положение. В силу этого и ветвь $w_k$ радикала останется прежней (т.е. мы вернемся к прежнему значению корня в исходной точке).

Картина изменится, если кривая $l$ будет содержать внутри себя точку $z=0$ (пунктирная кривая на рисунке). В этом случае после полного обхода кривой $l$ аргумент точки $z$ в исходном положении увеличится на $pm 2pi k$ (в зависимости от того, совершается ли обход кривой против или по часовой стрелки), в силу чего мы от значения $w_k$ корня в исходной точке перейдем либо к значению $$ w_kcdot e^<itfrac>=w_,$$ либо к значению $$ w_kcdot e^<-itfrac>=w_. $$

Повторяя обход вокруг начала координат в том или ином направлении достаточное количество раз, мы можем перейти от исходной ветви $w_k$ радикала к любой другой ветви. Очевидно, что после $n$ обходов начала координат в одном направлении мы возвращаемся к исходной ветви радикала.

Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее переводит от одной ветви многозначной функции к другой ветви, называется точкой разветвления этой функции. Таким образом, точка $z=0$ будет точкой разветвления функции $w=sqrt[n]$.

Из сказанного следует, что мы можем выделить $n$ однозначных ветвей $w_k$ функции $w=sqrt[n]$ только в такой области $D$, которая не содержит ни одной замкнутой кривой, заключающей внутри себя точку $z=0$.

Расширенная плоскость $z$ с любым разрезом от точки $z=0$ до точки $z=infty$ и, в частности, с разрезом вдоль положительной части вещественной оси (левая часть рисунка) не содержит ни одной замкнутой кривой, обходящей точку $z=0$. На ней можно выделить $n$ однозначных ветвей $w_k$, $k=0,1,dots,n-1$, радикала, принимающих каждая одно из значений $sqrt[n]$.

Эти ветви будут однолистно отображать расширенную плоскость $z$ с разрезом вдоль положительной части вещественной оси на секторы $$ kfracn 0$.

Видео:Конформные отображения с помощью степенной функцииСкачать

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция обратна показательной, бесконечнозначна, все ее значения вычисляются по формуле $$ w=mboxz=mbox|z|+imboxz=mbox|z|+i(mboxz+2pi k),quad k=0,pm1,pm2,dots . $$ Дополнительно примем, что $w=infty$ при $z=0$ и $z=infty$.

Обозначив через $w_k$ множество всех точек $w$, соответствующих данному фиксированному значению $k$, получим бесконечное множество функций, которые называются ветвями многозначной функции $w=mboxz$ $$ w_k= mbox|z|+imboxz=mbox|z|+i(mboxz+2pi k),quad k=0,pm1,pm2,dots . $$

Бесконечнозначность логарифма связана с бесконечнозначностью его мнимой части $mboxz$. Поэтому область не должна допускать обхода начала координат по непрерывной кривой, так как при таком обходе значение $mboxz$ изменяется на $2pi$. Область указанного типа будет сектором концентрического кольца: $$ 0 0, 0 1$.

Для того чтобы лучше представить себе рассматриваемое отображение, положим $$ z=re^,quad w=u+iv $$ и произведя соответствующие замены в функции Жуковског и отделив вещественные и мнимые части, получим два вещественных равенства, зависящие от двух параметров $$ u=frac12left(r+frac1rright)cosvarphi,quad v=frac12left(r-frac1rright)sinvarphi. $$

Рассмотрим две упомянутые выше области $|z| 1$.

В области $|z| 0$ функция Жуковского отобразит на нижнюю полуплоскость $mathfrak w 0$.

Рассмотрим теперь в области $|z|>1$ окружности $|z|=r$, где $1 1$ на всю плоскость $w$ с разрезом вдоль вещественной оси от точки $w=-1$ до точки $w=1$. При этом верхний полукруг отображается на верхнюю полуплоскость, а нижний полукруг — на нижнюю полуплоскость.

Обратная к функции Жуковского функция $$ w=z+sqrt $$ двузначна, что обусловлено двузначностью квадратного корня. Каждую точку $z$ она отображает в две точки $w_1$ и $w_2$, связанные условием $w_1w_2=1$. Легко показать, что точки $z=-1$ и $z=1$ будут точками разветвления этой функции. Таким образом, в любой области, не содержащей замкнутых кривых, обходящих лишь одну из этих точек, можно выделить две однозначные ветви обратной функции. Этому условию, в частности, удовлетворяет вся плоскость $z$ с разрезом вдоль отрезка $[-1,1]$ вещественной оси. Ветви обратной функции однолистно отображают плоскость $z$ с указанным разрезом либо на круг $|w| 1$ и аналитичны.

Видео:Комплексная область Im(1/z)=1/2. ОкружностьСкачать

Тригонометрические функции

Видео:Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

Теорема Римана. Основные принципы конформных отображений

Теорема 1 (Римана).

Всякую односвязную область $D$ комплексной плоскости $z$, граница которой состоит более чем из одной точки, можно конформно отобразить на внутренность единичного круга $|w| tfkp/chapter3.txt · Последние изменения: 2022/01/13 22:15 — nvr

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

Конформные отображения. Дробно-линейная функция

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Конформные отображения. Дробно-линейная функция

Определение 1. Функция вида

где a, b, c, d – комплексные числа, называется дробно-линейной.

Отображение, задаваемое этой функцией, называется дробно- линейным.

Условие ad − bc ≠ 0 означает, что w ≠ const . Функция (1) осуществляет конформное отображение расширенной комплексной плоскости Z на расширенную комплексную плоскость w, так как производная

Для 0 c ≠ предполагаем, что

для c = 0 функция (1) становится линейной, т. е. w = az + b и w(∞) = ∞. Функция

является обратной к функции (1). Она также является дробно-линейной и однозначной на расширенной комплексной плоскости, т. е. здесь функция (1) является однолистной.

Каждое дробно-линейное отображение может быть получено в результате последовательного выполнения трех отображений: линейного, отображения w = 1/z и снова линейного отображения.

Дробно-линейные отображения переводят:

1) окружность или прямую в окружность или прямую (круговое свойство);

2) пару точек, симметричных относительно окружности, – в пару то- чек, симметричных относительно образа этой окружности (свойство сохранения симметрии). Здесь «окружность», в частности, может быть прямой, если под последней понимать окружность бесконечного радиуса.

Существует единственное дробно-линейное отображение, которое три разных точки z₁, z₂, z₃ переводит соответственно в три разные точки w₁, w₂, w₃. Это отображение задается формулой

Если одна из точек z_k или w_k (k =1, 2, 3) является бесконечно удаленной точкой, то в формуле (2) разности, в которые входит z_k или w_k, требуется заменить единицами.

Существует бесконечно много дробно-линейных отображений, которые заданную окружность γ отображают на заданную окружность Г, причем область D, для которой γ является границей, отображается на одну из областей, для которой Г является границей.

Для обеспечения единственности дробно-линейного отображения достаточно выполнение одного из условий:

1) заданная точка z₀ ∈ D отображается в заданную точку w₀ ∈ D’, а любая кривая, выходящая из точки z₀, поворачивается на заданный угол α w₀ = f (z₀), α = arg(f ‘(z₀));

2) точки z₀ ∈ D и z₁ ∈ γ отображаются соответственно в заданные точки w₀ ∈ D’ и w₁ ∈ Γ.

Пример 1. Найти образ окружности, заданной уравнением

x 2 + y 2 + 2x − 4y + 1 = 0,

при отображении w = 1/z.

Решение. На основании кругового свойства дробно-линейного отображения окружность переходит в окружность. Для ее нахождения на заданной окружности x 2 + y 2 + 2x − 4y + 1 = 0, выберем три точки, например: z₁ = −1 z₂ = 1 + 2i, z₃ = −3 + 2i, образами которых при отображении w = 1/z будут точки

Точками w₁, w₂, w₃ однозначно определяется образ данной окружности, уравнение которой:

Для отображения w = 1/z имеем

Выразив отсюда x = x(u, v), y = (u, v) и подставив в уравнение заданной окружности, получим искомый образ (3).

Пример 2. Найти образ области D при отображении , где D = <z, 0

Будем искать образ границы области D (рис. 1).

Сторона OA: y = 0, 0 ≤ x ≤ 1 отображается на отрицательную часть действительной оси (v = 0, − ∞

Рис. 1. Область D

Рис. 2. Образ области D

Сторона AB: x = 1, 0

Сторона BC: y =1, 1 ≥ x ≥ 0, отображается в линию, параметрическое уравнение которой имеет вид

Исключив параметр x, получим

Аналогично образ стороны CO определяется уравнением

В соответствии с принципом соответствия границ образом квадрата будет заштрихованная область на рис. 1.

Пример 3. Найти дробно-линейное отображение, которое точки z₁ = 1 и z₂ = −1 оставляет неподвижными, а точку z₃ = i переводит в точку w₃ = 0.

Найти образ полуплоскости Im(z) > 0 при данном отображении.

Решение. По условию имеем три пары соответствующих точек

Применяя формулу (2), получим искомое дробно-линейное отображение .

Найдем теперь образ верхней полуплоскости, границей которой является действительная ось. Согласно круговому свойству действительная ось отображается в окружность. Чтобы найти ее, на действительной оси выберем три точки, например: z₁ =1, z₂ = 0, z₃ = −1, образами которых бу- дут точки w₁ = 1, w₂ = −i, w₃ = −1. Они лежат на окружности |w| =1. По принципу соответствия границ получаем, что образом верхней полуплоскости будет область D’= <w, |w|

Пример 4. Найти дробно-линейное отображение, которое круг |z − 4i| u так, что w(4i) = −4, w(2i) = 0.

Решение. Условие задачи определяет две пары соответствующих точек. Третью пару найдем, пользуясь свойством симметрии дробно линейного отображения, согласно которому точки z₁ = 4i и z₃ = ∞, симметричные относительно окружности |z − 4i| = 2, перейдут в точки w₁ = −4 и w₃ = − 4i, симметричные относительно прямой u = v . Таким образом, найдена третья пара точек z₃ = ∞ и w₃ = −4i. По формуле (2) найдем искомое отображение .

Видео:Конформное отображение функции комплексной переменной (ФКП)Скачать

Найти образ окружности при отображении

Видео:Конформные отображения c помощью дробно-линейной функции: круговое свойствоСкачать

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Глава 3. Конформные отображения

Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать

Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции комплексного переменного

Пусть дана аналитическая в области $D$ функция $f(z)$. Возьмем точку $z_0in D$, пусть производная функции в этой точке не равна нулю $$f'(z_0)ne0.$$

Функция $w=f(z)$ отображает область $D$ на плоскости z на множество $E$ в плоскости $w$.

Точке $z_0in D$ соответствует точка $w_0=f(z_0)in E$.

Аргумент $arg f'(z_0)$ есть угол поворота касательной к любой кривой, проведенной через точку $z_0$ при ее отображении с помощью функции $w=f(z)$ на плоскость $w$.

Модуль $|f'(z_0)|$ можно рассматривать как величину масштаба в точке $z_0$ при отображении $w$. Если $|f'(z_0 )|>1$, то происходит растяжение бесконечно малого элемента, выходящего из точки $z_0$. Если $|f'(z_0 )| 0rightarrow |w| 0) rightarrow w_0=0. $$

Функция $w=z^n$ отображает расширенную комплексную плоскость $z$ на расширенную комплексную плоскость $w$.

Не является конформным при $z=0$, так как $$w’=n,z^ =0 ,, mbox z=0.$$

Не является однолистной, так как всякая точка $w$, отличная от $w=0$ и $w=infty$, имеет $n$ различных прообразов. Для однолистности отображения следует брать на плоскости $z$ лишь сектор вида $$kcdotdisplaystylefrac leqslant mbox,zleqslant(k+1)cdotdisplaystylefrac ,,, kin mathbb Z_.$$

Исследуем поведение функции около точки $z=0$. При помощи степенной функции $$ w=z^n $$ угол с вершиной в начале координат плоскости $z$ отображается в угол с вершиной в начале координат плоскости $w$ c раствором в $n$ раз большим: $$ z=rho e^ ,, rightarrow ,, w = z^n=rho^n e^ . $$ Отображение будет взаимно однозначным, если раствор угла на плоскости $w$ будет не более $2pi$.

Найти в какую область преобразуется квадрат $$ 0le xle 1,quad 0le yle 1 $$ функцией $w=z^2+z-1$.

Решение. Выделим вещественную и мнимую части: $$ begin u=x^2-y^2+x-1, v=2xy+y. end $$

Образы отрезков $BC$ и $CO$ также являются дугами парабол: begin label BC:quad u=frac14big(v^2-9big),quad 1le vle 3, end begin label CO:quad u=-1-v^2,quad 0le vle1. end Так как точка $z=displaystylefrac12(1+i)$ переходит в точку $w=i-displaystylefrac12$, то внутренность квадрата переходит во внутренность криволинейного четырехугольника.

Ответ: Внутренность квадрата переходит во внутренность криволинейного четырехугольника.

Видео:Конформные отображения c помощью дробно-линейной функции: отображение по трем точкамСкачать

Радикал

Рассмотрим функцию begin w=sqrt[n] , end обратную степенной функции $z=w^n$.

Примем, что $$w=infty mbox z=infty.$$

Во всех точках расширенной плоскости $z$, кроме точек $z=0$ и $z=infty$ (где эта функция соответственно равна $w=0$ и $w=infty)$, эта функция $n$-значна и все ее $n$ различных значений для каждого фиксированного $z=re^ $ (не равные 0 и $infty$) дает формула: $$ w=sqrt[n] cdot e^ > =sqrt[n] cdot e^ >cdot e^ >quadhbox quad k=0,1,dots,n-1. $$

Через $w_k$ обозначим множество всех точек $w$, соответствующих данному фиксированному значению $k$. В результате получим $n$ функций $w_k$, $k=0,2,dots,n-1$, называемых ветвями многозначной функции $w=sqrt[n] $. $$ w_k= sqrt[n] cdot e^ >cdot e^ >quadhbox quad k=0,1,dots,n-1. $$

Рассмотрим какую-нибудь ветвь $w_k$ функции и заставим точку $z$ описать в плоскости какую-нибудь замкнутую кривую.

Если эта кривая не содержит внутри себя точку $z=0$ (сплошная кривая на рисунке), то непрерывно изменяющийся аргумент точки $z$ вернется к прежнему значению с возвращением точки $z$ в исходное положение. В силу этого и ветвь $w_k$ радикала останется прежней (т.е. мы вернемся к прежнему значению корня в исходной точке).

Картина изменится, если кривая $l$ будет содержать внутри себя точку $z=0$ (пунктирная кривая на рисунке). В этом случае после полного обхода кривой $l$ аргумент точки $z$ в исходном положении увеличится на $pm 2pi k$ (в зависимости от того, совершается ли обход кривой против или по часовой стрелки), в силу чего мы от значения $w_k$ корня в исходной точке перейдем либо к значению $$ w_kcdot e^ >=w_ ,$$ либо к значению $$ w_kcdot e^ >=w_ . $$

Повторяя обход вокруг начала координат в том или ином направлении достаточное количество раз, мы можем перейти от исходной ветви $w_k$ радикала к любой другой ветви. Очевидно, что после $n$ обходов начала координат в одном направлении мы возвращаемся к исходной ветви радикала.

Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее переводит от одной ветви многозначной функции к другой ветви, называется точкой разветвления этой функции. Таким образом, точка $z=0$ будет точкой разветвления функции $w=sqrt[n] $.

Из сказанного следует, что мы можем выделить $n$ однозначных ветвей $w_k$ функции $w=sqrt[n] $ только в такой области $D$, которая не содержит ни одной замкнутой кривой, заключающей внутри себя точку $z=0$.

Расширенная плоскость $z$ с любым разрезом от точки $z=0$ до точки $z=infty$ и, в частности, с разрезом вдоль положительной части вещественной оси (левая часть рисунка) не содержит ни одной замкнутой кривой, обходящей точку $z=0$. На ней можно выделить $n$ однозначных ветвей $w_k$, $k=0,1,dots,n-1$, радикала, принимающих каждая одно из значений $sqrt[n] $.

Эти ветви будут однолистно отображать расширенную плоскость $z$ с разрезом вдоль положительной части вещественной оси на секторы $$ kfrac n 0$.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция обратна показательной, бесконечнозначна, все ее значения вычисляются по формуле $$ w=mbox z=mbox |z|+imboxz=mbox |z|+i(mboxz+2pi k),quad k=0,pm1,pm2,dots . $$ Дополнительно примем, что $w=infty$ при $z=0$ и $z=infty$.

Обозначив через $w_k$ множество всех точек $w$, соответствующих данному фиксированному значению $k$, получим бесконечное множество функций, которые называются ветвями многозначной функции $w=mbox z$ $$ w_k= mbox |z|+imboxz=mbox |z|+i(mboxz+2pi k),quad k=0,pm1,pm2,dots . $$

Для того чтобы лучше представить себе рассматриваемое отображение, положим $$ z=re^ ,quad w=u+iv $$ и произведя соответствующие замены в функции Жуковског и отделив вещественные и мнимые части, получим два вещественных равенства, зависящие от двух параметров $$ u=frac12left(r+frac1rright)cosvarphi,quad v=frac12left(r-frac1rright)sinvarphi. $$

Рассмотрим две упомянутые выше области $|z| 1$.

В области $|z| 0$ функция Жуковского отобразит на нижнюю полуплоскость $mathfrak w 0$.

Рассмотрим теперь в области $|z|>1$ окружности $|z|=r$, где $1 1$ на всю плоскость $w$ с разрезом вдоль вещественной оси от точки $w=-1$ до точки $w=1$. При этом верхний полукруг отображается на верхнюю полуплоскость, а нижний полукруг — на нижнюю полуплоскость.

Обратная к функции Жуковского функция $$ w=z+sqrt $$ двузначна, что обусловлено двузначностью квадратного корня. Каждую точку $z$ она отображает в две точки $w_1$ и $w_2$, связанные условием $w_1w_2=1$. Легко показать, что точки $z=-1$ и $z=1$ будут точками разветвления этой функции. Таким образом, в любой области, не содержащей замкнутых кривых, обходящих лишь одну из этих точек, можно выделить две однозначные ветви обратной функции. Этому условию, в частности, удовлетворяет вся плоскость $z$ с разрезом вдоль отрезка $[-1,1]$ вещественной оси. Ветви обратной функции однолистно отображают плоскость $z$ с указанным разрезом либо на круг $|w| 1$ и аналитичны.

Видео:Найти пример отображения на верхнюю полуплоскостьСкачать

Тригонометрические функции

Видео:Конформные отображения с помощью показательной и логарифмической функцийСкачать

Теорема Римана. Основные принципы конформных отображений

Теорема 1 (Римана).

Всякую односвязную область $D$ комплексной плоскости $z$, граница которой состоит более чем из одной точки, можно конформно отобразить на внутренность единичного круга $|w| tfkp/chapter3.txt · Последние изменения: 2022/01/13 22:15 — nvr

Видео:Построение областей по заданным условиямСкачать

Конформные отображения. Дробно-линейная функция

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Конформные отображения. Дробно-линейная функция

Определение 1. Функция вида

где a, b, c, d – комплексные числа, называется дробно-линейной.

Отображение, задаваемое этой функцией, называется дробно- линейным.

Условие ad − bc ≠ 0 означает, что w ≠ const . Функция (1) осуществляет конформное отображение расширенной комплексной плоскости Z на расширенную комплексную плоскость w, так как производная

Для 0 c ≠ предполагаем, что

для c = 0 функция (1) становится линейной, т. е. w = az + b и w(∞) = ∞. Функция

является обратной к функции (1). Она также является дробно-линейной и однозначной на расширенной комплексной плоскости, т. е. здесь функция (1) является однолистной.

Каждое дробно-линейное отображение может быть получено в результате последовательного выполнения трех отображений: линейного, отображения w = 1/z и снова линейного отображения.

Дробно-линейные отображения переводят:

1) окружность или прямую в окружность или прямую (круговое свойство);

2) пару точек, симметричных относительно окружности, – в пару то- чек, симметричных относительно образа этой окружности (свойство сохранения симметрии). Здесь «окружность», в частности, может быть прямой, если под последней понимать окружность бесконечного радиуса.

Существует единственное дробно-линейное отображение, которое три разных точки z₁, z₂, z₃ переводит соответственно в три разные точки w₁, w₂, w₃. Это отображение задается формулой

Если одна из точек z_k или w_k (k =1, 2, 3) является бесконечно удаленной точкой, то в формуле (2) разности, в которые входит z_k или w_k, требуется заменить единицами.

Существует бесконечно много дробно-линейных отображений, которые заданную окружность γ отображают на заданную окружность Г, причем область D, для которой γ является границей, отображается на одну из областей, для которой Г является границей.

Для обеспечения единственности дробно-линейного отображения достаточно выполнение одного из условий:

1) заданная точка z₀ ∈ D отображается в заданную точку w₀ ∈ D’, а любая кривая, выходящая из точки z₀, поворачивается на заданный угол α w₀ = f (z₀), α = arg(f ‘(z₀));

2) точки z₀ ∈ D и z₁ ∈ γ отображаются соответственно в заданные точки w₀ ∈ D’ и w₁ ∈ Γ.

Пример 1. Найти образ окружности, заданной уравнением

x 2 + y 2 + 2x − 4y + 1 = 0,

при отображении w = 1/z.

Решение. На основании кругового свойства дробно-линейного отображения окружность переходит в окружность. Для ее нахождения на заданной окружности x 2 + y 2 + 2x − 4y + 1 = 0, выберем три точки, например: z₁ = −1 z₂ = 1 + 2i, z₃ = −3 + 2i, образами которых при отображении w = 1/z будут точки

Точками w₁, w₂, w₃ однозначно определяется образ данной окружности, уравнение которой:

Для отображения w = 1/z имеем

Выразив отсюда x = x(u, v), y = (u, v) и подставив в уравнение заданной окружности, получим искомый образ (3).

Пример 2. Найти образ области D при отображении , где D = 0 при данном отображении.

Решение. По условию имеем три пары соответствующих точек

Применяя формулу (2), получим искомое дробно-линейное отображение .

Найдем теперь образ верхней полуплоскости, границей которой является действительная ось. Согласно круговому свойству действительная ось отображается в окружность. Чтобы найти ее, на действительной оси выберем три точки, например: z₁ =1, z₂ = 0, z₃ = −1, образами которых бу- дут точки w₁ = 1, w₂ = −i, w₃ = −1. Они лежат на окружности |w| =1. По принципу соответствия границ получаем, что образом верхней полуплоскости будет область D’= 1) ил и сжатие (рис. 5). Тем самым, преобразование вида 0 любой круг можно сделать единичным кругом с центром в нуле (рис. 6), любую полуплоскость можосделать верхней полуплоскостью, любой отрезок прямой можно преобразовать в отрезок [0, 1) вещественной оси (рис. 7), любой луч — в положительный луч вещественной оси (рис. 8). б) Рис. 6 растяжение (им) О перенос в) поворот перенос рас гяжение Рис. 7 перенос поворот Рис.8 в) б) В) 4.

переводящее три различные точки z, zi, z3 в три различныеточт плоскости (рис.9). Рассмотрим пример, показывающий, как пользоваться приведенной ниже табли- цей.

Пример с решением:

Отобразить круг с разрезом по радиусу (рис. 10) взаимно однозначно и конформно на единичный круг с центром в нуле. 4 А. Применяя простейшие преобразования плоскости, приведем заданную область к области, имеющейся в таблице. 1. Переместим центр заданного круга в нулевую точку (см. рис. 11): .

Имеем: круг с разрезом 2. Повернем полученный круг по часовой стрелке на угол (см. рис. 12) . Имеем: круг с разрезом arg 3. Сожмем круг в три раза (см. рис. 13) Имеем: круг с разрезом Таким образом, исходная область приводится к имеющейся в таблице при помощи следующего преобразования Б. 1. Указанная область — круг с разрезом — приведена в таблице под № 30. Функция Жуковского КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ преобразует эту область в плоскость с разрезом по отрезку [-1, 5] вещественной оси (рис. 14). 2. Указанная область приведена в таблице под № 22.

Применяя дробно-линейное преобразование преобразуем эту область в плоасость с разрезом по лучу [0, +оо) вещественной оси (рис. 15).

3. Указанная область приведена в таблице под № 6. Извлекая квадратный корень преобразуем эту область в верхнюю полуплоскость Im z6 > 0 (рис. 16). 4. Указанная область приведона в таблице под Ng 11. Применяя дробно- линейное преобразование преобразуем эту область в единичный круге центром в нуле Последовательно выражая z* через z^-i, получим взаимно однозначное и конформное преобразование заданного на комплексной плоскости г круга с разрезом по радиусу на единичный круг комплексной плоек ости tr. р- Конформное отображение заданными областями определяется неоднозначно.

Пример с решением:

Отобразить полукруг (рис.18) взаимно однозначно и конформно на верхнюю полуплоскость Im w > 0. . Дробно-линейное отображение преобразует заданный полукруг в прямой угол 2. Указанная область приведена в таблице под Ne 4 (п = 2). Возводя в квадрат Б. Заданная область приведена в таблице за No 9. Искомое преобразование имеет вид чю- Оба отображения w -заданный полукруг в верхнюю полуплоскость переводит взаимно однозначно и конформно Организация таблицы и правила пользования ею.

Как будет показано в конце параграфа, такая стандартизация удобна для практического использования. Часто приводится только преобразование, сводящее заданную область к ранее рассмотренной. В этом случае дается ссылка на преобразование, переводящее полученную область в стандартную (единичный круг с центром в нуле или верхнюю полуплоскость). Основные элементарные функции.

Таблица Плоскость с разрезом по действительному лучу [О, Плоскость с разрезами Плоскость с разрезом по действительному лучу [0, +ю[ Плоскость с разрезом по отрезку 10, 1] Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +«>( Плоскость с разрезами по действительным лучам J -оо, 0] и (I, +оо[ Плоскость с разрезом по действительному лучу [0, +«>( Плоскость с разрезом по отрезку lu. zi] Плоскость с разрезом по отрезку (О, 1J № 21 1лоскость с разрезами ю лучам, лежащим ia прямой, проходящей через ачало координат по действительным лучам ]-«ю, 0] и (1.

Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +во( Плоскость с разрезом по дуге окружности Ixl — 1, lm z > О Плоскость с разрезом по дуге окруж ности III — I, Re z > О Плоскость с разрезом по действительн ому лучу (0, Плоскость с разрезом no дуге окруж ности Плоскость с разрезом по действительному лучу [С, + со [ № 25 Полуплоскость с разрезами Полуплоскость l с разрезом по отрезку [0, />

Плоскость с разрезом по действительному лучу [ — I, Полуплоскость с разрезом по отрезку Полуплоскость Im г > О с разрезами по отрезку [0, oi) и мнимому лучу №28 Полуплоскость с разрезом по ду| е окружности по действительным лучам |- по действительным лучам 1 — оо, -Л2] с разрезом по мнимому лучу Круг с разрезами Круг 1 с разрезом по отрезку (1/2, 1J №30 Плоскость с разрезом по отрезку 1 с разрезами по отрезкам, являющимися продолжениями его диаметра Внешность единичного круга Iwl > 1 с разрезами по отрезкам, лежащим на действительной оси Полуируг с разрезами -г2

Nfc 36 Круг Iwl с разрезом по отрезку [ -1/4, 1] Полукруг , с разрезом по отрезку (0, i/2) Полукруг , с разрезом по отрезку [//2, /) Круг с разрезами по отрезкам № 37 Полукруг с разрезами по отрезкам [0. al) и [Ы. /). где N? 38 Круг с разрезами по отрезкам 1-1. — угол с разрезами Угол с разрезом по действительному лучу Ах» г — т/4 с началом в точке 1 + / Полуплоскость Im W > 0 с разрезом по мнимому лучу с началом в точке 12/, +/•©( Nf39 Плоскость с разрезами по действительным лучам Угол с разрезом по действительному лучу Arg z — т/л с началом в точке Полоса с разрезами w — с*

Полуплоскость Im с разрезом по дуге окружности иг » с Полоса 0 т с разрезом по мнимому отрезку ( Полуплоскость Im с разрезом по дуге окружности w — е Полоса 0 разрезом по мнимому отрезку fW/2, TiJ N? Полоса Полуплоскость Im w > О с разрезами по мнимым с разрезами по дуге отрезкам [0, al и [Ы, «1, окружности w « t*, КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ М43 Полоса Плоскость с разрезом по действительному лучу (0. +«( №44 Полоса с разрезом Полуплоскость Im по действительному с разрезом по мнимому лучу I отрезку [О, /I

Полоса 0 Полоса с разрезом по действительному лучу I №46 Полоса Полоса 0 с разрезом по действительному лучу R №47 Область 1 Полоса 01 Область с удаленным кругом Re Полоса Полуплоскость Im z > О с удаленным круговым сегментом Угол №50 -Ш Полуплоскость Im с удаленным круговым сегментом Полуплоскость Im w > 0 № 51 Полуполоса Полуплоскость Im w > Полуплоскость Im Полуполоса с удаленными полукругами № 53

Полуполоса Полуполоса N? 54 Угол Полуплоскость Im w > 0 с удаленным сектором единичного круга Ne 55 Угол Im z с удаленным полукругом Полуполоса 0 Внешность параболы Полуплоскость Im w Внутренность параболы Полуплоскость Im № 58 Внешность гиперболы Полуплоскость Im w Внутренность правой ветви гиперболы Полуплоскость Iro W > О Внешность эллипса Внешность круга М > I

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

🎦 Видео

Физика - движение по окружностиСкачать

Образ функции комплексной переменнойСкачать