Вписанный угол окружности — это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности.
Угол ABC — вписанный угол. ∠ABC опирается на дугу AC, заключённую между его сторонами.
- Теорема о вписанном угле
- Следствия из теоремы
- Углы, связанные с окружностью
- Вписанные и центральные углы
- Теоремы о вписанных и центральных углах
- Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
- Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
- Вписанный угол. Теорема о вписанном угле. 8-й класс
- 🎥 Видео
Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать
Теорема о вписанном угле
Теорема:
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:
∠ABC = | 1 | AC. |
2 |
При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности.
Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.
Соединим точку A с центром круга (точкой O). Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором AO = OB, как радиусы одной окружности. Следовательно, ∠A = ∠B, как углы при основании равнобедренного треугольника.
Так как ∠AOC — внешний угол равнобедренного треугольника, то:
а так как углы A и B равны, то
∠B = | 1 | ∠AOC. |
2 |
Но ∠AOC — центральный угол, значит ∠AOC = AC, следовательно ∠B измеряется половиной дуги AC:
∠ABC = ∠B = | 1 | AC. |
2 |
Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла.
Проведём диаметр BD. Угол ABC разбился на два угла: ∠1 и ∠2.
Точка D разделяет дугу AC на две дуги: AD и DC. По доказательству, рассмотренному в первом случае:
∠1 = | 1 | AD и ∠2 = | 1 | DC. |
2 | 2 |
Следовательно, весь угол ABC будет измеряться половиной дуги AC:
∠1 + ∠2 = | 1 | AD + | 1 | DC |
2 | 2 |
∠ABC = | 1 | AC. |
2 |
Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла.
Проведём диаметр BD.
Но ∠ABD измеряется половиной дуги AD , а ∠CBD измеряется половиной дуги CD. Следовательно,
∠ABC = | 1 | (AD — CD), |
2 |
∠ABC = | 1 | AC. |
2 |
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№27 - Теорема о вписанном угле.)Скачать
Следствия из теоремы
1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности.
Половина окружности содержит 180°, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90°.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Углы, связанные с окружностью
Вписанные и центральные углы |
Углы, образованные хордами, касательными и секущими |
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью |
Видео:73. Теорема о вписанном углеСкачать
Вписанные и центральные углы
Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
Теоремы о вписанных и центральных углах
Фигура | Рисунок | Теорема | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
Угол, образованный пересекающимися хордами | |||
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга | |||
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания | |||
Угол, образованный касательной и секущей | |||
Угол, образованный двумя касательными к окружности |
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами |
Формула: |
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга |
Формула: |
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания |
Формула: |
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей |
Формула: |
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности |
Формулы: |
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать Доказательства теорем об углах, связанных с окружностьюТеорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5). Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана. Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6). В этом случае справедливы равенства и теорема 1 в этом случае доказана. Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7). В этом случае справедливы равенства что и завершает доказательство теоремы 1. Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 8. Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 9. Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 10. Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 11. Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 12. Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство Видео:Геометрия. Теорема о вписанном углеСкачать Вписанный угол. Теорема о вписанном угле. 8-й классРазделы: Математика Класс: 8 Цели урока:
Структура урока:
I. Организационный момент. II. Актуализация знаний и умений. Задание на готовом чертеже: Найдите угол АВС, если АС = 70° . Нельзя ли указать угол, связанный с АС, зная который можно найти АВС? Таким углом является АОС. АОС = 70° (материал предыдущего урока). Приложение 2 Так как треугольник АВО равнобедренный (АО = ВО радиусы окружности), то ВАО = АВО. Следовательно, АОС = 2АВО, откуда АВО = 35° . Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. АВС вписанный: 2) сторона ВА пересекает окружность; 3) сторона ВС пересекает окружность. III. Формирование новых знаний и умений. Какие из углов, изображенных на рисунке 1, являются вписанными? (слайд презентации) Укажите изображенные на рисунке 2 вписанные углы (слайд презентации). Вписанные углы 4 и 5 образуют угол, также являющийся вписанным. Выполненное в начале урока задание привело нас к выводу: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Теперь это утверждение нам нужно доказать. Учитель на доске, а учащиеся в тетрадях выполняют рисунок, делают записи. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. угол ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу АС.
(Оформление доказательства учащиеся выполняют самостоятельно). Рассмотрим случай, когда луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС. Например, со стороной ВС. В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому АОС равен дуге АС. Так как АОС – внешний угол равнобедренного треугольник АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то АОС = 1 + 2 = 2 * 1. Отсюда следует, что 2 * 1 = АС или АВС = 1 = 1/2 АС. Вопрос к учащимся: А какие еще могут быть рассмотрены случаи расположения луча ВО относительно угла АВС? (Доказательство теоремы во втором и третьем случаях учащиеся рассматривают самостоятельно, при этом учитель показывает, как эти случаи сводятся к первому случаю.) Следствие 1: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой. IV. Закрепление нового материала. 1. Решить устно: № 653 Найдите вписанный угол АВС, если дуга АС, на которую он опирается, равна: а) 48° ; б) 57° ; в) 90° ; г) 124° ; д) 180° ; По данным рисунка найдите х.
2. Решить письменно: № 655, № 656, № 658. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов. Хорда АВ стягивает дугу, равную 115° , а хорда АС – дугу в 43° . Найдите угол ВАС. Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая АD, проходящая через центр О (D – точка на окружности, О – лежит между А и D). Найдите ВАD и АDВ, если ВD = 110° 20′ . Вопросы к учащимся: — Какой угол называется центральным? — Чему равна градусная мера центрального угла? — Какой угол называется вписанным? — Чему равна градусная мера вписанного угла? — Что можно сказать о градусной мере вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу? — Чему равна градусная мера вписанного угла, опирающегося на полуокружность? VI. Домашнее задание: п. 71; вопросы 11-13 (стр.187), № 657, № 660. 11. Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле. 12. Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 13. Докажите, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой. Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140° , а большая точкой М делится в отношении 6 : 5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32° . Большая дуга окружности, заключенная между сторонами этого угла, равна 100° . Найдите меньшую дугу. 🎥 ВидеоВПИСАННЫЙ УГОЛ окружности ТЕОРЕМА 8 класс АтанасянСкачать Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать Вписанные и центральные углыСкачать Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать Угол, вписанный в окружность. Теорема о величине вписанного в окружность угла. Геометрия 8-9 классСкачать Теорема о вписанном угле | Геометрия 7-9 класс #71 | ИнфоурокСкачать Вписанный угол равен половине центрального углаСкачать Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать Углы, вписанные в окружность. Практическая часть. 9 класс.Скачать 70 Теорема о вписанном углеСкачать |