Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Вписанный угол окружности

Вписанный угол окружности — это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Угол ABC — вписанный угол. ∠ABC опирается на дугу AC, заключённую между его сторонами.

Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Теорема о вписанном угле

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

∠ABC =1Теорема об угле вписанном в окружность 8 классAC.
2

При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности.

Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Соединим точку A с центром круга (точкой O). Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором AO = OB, как радиусы одной окружности. Следовательно, ∠A = ∠B, как углы при основании равнобедренного треугольника.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Так как ∠AOC — внешний угол равнобедренного треугольника, то:

а так как углы A и B равны, то

∠B =1∠AOC.
2

Но ∠AOC — центральный угол, значит ∠AOC = Теорема об угле вписанном в окружность 8 классAC, следовательно ∠B измеряется половиной дуги AC:

∠ABC = ∠B =1Теорема об угле вписанном в окружность 8 классAC.
2

Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Проведём диаметр BD. Угол ABC разбился на два угла: 1 и 2.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Точка D разделяет дугу AC на две дуги: Теорема об угле вписанном в окружность 8 классAD и Теорема об угле вписанном в окружность 8 классDC. По доказательству, рассмотренному в первом случае:

1 =1Теорема об угле вписанном в окружность 8 классAD и 2 =1Теорема об угле вписанном в окружность 8 классDC.
22

Следовательно, весь угол ABC будет измеряться половиной дуги AC:

1 + 2 =1Теорема об угле вписанном в окружность 8 классAD +1Теорема об угле вписанном в окружность 8 классDC
22
∠ABC =1Теорема об угле вписанном в окружность 8 классAC.
2

Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Проведём диаметр BD.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Но ∠ABD измеряется половиной дуги AD , а ∠CBD измеряется половиной дуги CD. Следовательно,

∠ABC =1(Теорема об угле вписанном в окружность 8 классADТеорема об угле вписанном в окружность 8 классCD),
2
∠ABC =1Теорема об угле вписанном в окружность 8 классAC.
2

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№27 - Теорема о вписанном угле.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№27 - Теорема о вписанном угле.)

Следствия из теоремы

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности.

Половина окружности содержит 180°, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90°.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Углы, связанные с окружностью

Теорема об угле вписанном в окружность 8 классВписанные и центральные углы
Теорема об угле вписанном в окружность 8 классУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Теорема об угле вписанном в окружность 8 классДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:73. Теорема о вписанном углеСкачать

73. Теорема о вписанном угле

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголТеорема об угле вписанном в окружность 8 класс
Вписанный уголТеорема об угле вписанном в окружность 8 классВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголТеорема об угле вписанном в окружность 8 классВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголТеорема об угле вписанном в окружность 8 классДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголТеорема об угле вписанном в окружность 8 классВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаТеорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиТеорема об угле вписанном в окружность 8 классТеорема об угле вписанном в окружность 8 класс
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаТеорема об угле вписанном в окружность 8 классТеорема об угле вписанном в окружность 8 класс
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияТеорема об угле вписанном в окружность 8 классТеорема об угле вписанном в окружность 8 класс
Угол, образованный касательной и секущейТеорема об угле вписанном в окружность 8 классТеорема об угле вписанном в окружность 8 класс
Угол, образованный двумя касательными к окружностиТеорема об угле вписанном в окружность 8 классТеорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс
Формула: Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс
Формула: Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

В этом случае справедливы равенства

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

В этом случае справедливы равенства

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Геометрия. Теорема о вписанном углеСкачать

Геометрия. Теорема о вписанном угле

Вписанный угол. Теорема о вписанном угле. 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели урока:

  • сформировать понятие вписанного угла, изучить теорему о вписанном угле;
  • формирование навыков самостоятельной работы с учебником.

Структура урока:

  1. Постановка цели урока.
  2. Актуализация знаний и умений.
  3. Формирование понятия вписанного угла.
  4. Изучение теоремы о вписанном угле.
  5. Применение теоремы.
  6. Подведение итогов работы на уроке.
  7. Задание на дом.

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний и умений.

Задание на готовом чертеже:

Найдите угол АВС, если Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАС = 70° .

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Нельзя ли указать угол, связанный с Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАС, зная который можно найти Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАВС?

Таким углом является Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАОС.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАОС = 70° (материал предыдущего урока). Приложение 2

Так как треугольник АВО равнобедренный (АО = ВО радиусы окружности), то Теорема об угле вписанном в окружность 8 классВАО = Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАВО. Следовательно, Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАОС = 2Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАВО, откуда Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАВО = 35° .

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАВС вписанный:

2) сторона ВА пересекает окружность;

3) сторона ВС пересекает окружность.

III. Формирование новых знаний и умений.

Какие из углов, изображенных на рисунке 1, являются вписанными? (слайд презентации)

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Укажите изображенные на рисунке 2 вписанные углы (слайд презентации).

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Вписанные углы 4 и 5 образуют угол, также являющийся вписанным.

Выполненное в начале урока задание привело нас к выводу: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Теперь это утверждение нам нужно доказать.

Учитель на доске, а учащиеся в тетрадях выполняют рисунок, делают записи.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

угол ABC — вписанный угол,

опирающийся на дугу АС.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАВС = 1/2 Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАС.

(Оформление доказательства учащиеся выполняют самостоятельно).

Рассмотрим случай, когда луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС.

Например, со стороной ВС. В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАОС равен дуге АС. Так как Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАОС – внешний угол равнобедренного треугольник АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАОС = Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс1 + Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс2 = 2 * Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс1. Отсюда следует, что 2 * Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс1 = Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАС или Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАВС = Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс1 = 1/2 Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАС.

Вопрос к учащимся:

А какие еще могут быть рассмотрены случаи расположения луча ВО относительно угла АВС?

(Доказательство теоремы во втором и третьем случаях учащиеся рассматривают самостоятельно, при этом учитель показывает, как эти случаи сводятся к первому случаю.)

Следствие 1: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

IV. Закрепление нового материала.

1. Решить устно: № 653

Найдите вписанный угол АВС, если дуга АС, на которую он опирается, равна: а) 48° ; б) 57° ; в) 90° ; г) 124° ; д) 180° ;

По данным рисунка найдите х.

Теорема об угле вписанном в окружность 8 класс

2. Решить письменно: № 655, № 656, № 658.

Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.

Хорда АВ стягивает дугу, равную 115° , а хорда АС – дугу в 43° . Найдите угол ВАС.

Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая АD, проходящая через центр О (D – точка на окружности, О – лежит между А и D). Найдите Теорема об угле вписанном в окружность 8 классВАD и Теорема об угле вписанном в окружность 8 классАDВ, если Теорема об угле вписанном в окружность 8 классВD = 110° 20′ .

Вопросы к учащимся:

— Какой угол называется центральным?

— Чему равна градусная мера центрального угла?

— Какой угол называется вписанным?

— Чему равна градусная мера вписанного угла?

— Что можно сказать о градусной мере вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу?

— Чему равна градусная мера вписанного угла, опирающегося на полуокружность?

VI. Домашнее задание:

п. 71; вопросы 11-13 (стр.187), № 657, № 660.

11. Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.

12. Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

13. Докажите, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140° , а большая точкой М делится в отношении 6 : 5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ.

Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32° . Большая дуга окружности, заключенная между сторонами этого угла, равна 100° . Найдите меньшую дугу.

🎥 Видео

ВПИСАННЫЙ УГОЛ окружности ТЕОРЕМА 8 класс АтанасянСкачать

ВПИСАННЫЙ УГОЛ окружности ТЕОРЕМА 8 класс Атанасян

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Угол, вписанный в окружность. Теорема о величине вписанного в окружность угла. Геометрия 8-9 классСкачать

Угол, вписанный в окружность. Теорема о величине вписанного в окружность угла. Геометрия 8-9 класс

Теорема о вписанном угле | Геометрия 7-9 класс #71 | ИнфоурокСкачать

Теорема о вписанном угле | Геометрия 7-9 класс #71 | Инфоурок

Вписанный угол равен половине центрального углаСкачать

Вписанный угол равен половине центрального угла

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Углы, вписанные в окружность. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. Практическая часть. 9 класс.

70 Теорема о вписанном углеСкачать

70 Теорема о вписанном угле
Поделиться или сохранить к себе: