Доказательства равенства треугольников медиана

№ 7. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.

Сделаем дополнительные построения:

Доказательства равенства треугольников медиана

Продолжим AD до точки K, так, что DK = AD. Продолжим A1D1 до точки K1, так, что D1K1 = A1D1. В ΔADC и ΔDBK: AD = DK

∠ADC = ∠BDK (как вертикальные) BD = DC (т.к. AD — медиана)

Таким образом, ΔADC = ΔDBK по 1-му признаку, и ∠DAC = ∠DKB АС = BK.

Доказательства равенства треугольников медиана Решебник по геометрии за 7 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №7
к главе «§ 3. Признаки равенства треугольников».

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Признаки равенства треугольников

Доказательства равенства треугольников медиана

О чем эта статья:

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательства равенства треугольников медиана

При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 накладывается на сторону AB, AC — на сторону A1C1.

Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.

Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательства равенства треугольников медиана

Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1, вершины В и В1 лежат по одну сторону от А1С1.

Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.

AB накладывается на A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1.

CB накладывается на C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.

Вершина B совпадает с вершиной B1.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательства равенства треугольников медиана

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

  1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
    Доказательства равенства треугольников медиана
  2. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
    Доказательства равенства треугольников медиана
  3. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
    Доказательства равенства треугольников медиана
  4. Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
    Доказательства равенства треугольников медиана
  5. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
    Доказательства равенства треугольников медиана

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Доказательства равенства треугольников медиана

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Доказательства равенства треугольников медиана

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Доказательства равенства треугольников медиана

Доказательства равенства треугольников медиана

Поскольку отрезок BD является медианой, то

Доказательства равенства треугольников медиана

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Доказательства равенства треугольников медиана

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Доказательства равенства треугольников медиана

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Доказательства равенства треугольников медиана

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Доказательства равенства треугольников медиана

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Доказательства равенства треугольников медиана

Доказательства равенства треугольников медиана

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Доказательства равенства треугольников медиана

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Доказательства равенства треугольников медиана

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна Доказательства равенства треугольников медианаплощади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

🔍 Видео

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Первый признак равенства треугольников. 7 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессора

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольников

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т7. Второй признак равенства треугольников.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т7. Второй признак равенства треугольников.

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

ТРЕУГОЛЬНИКИ / ИХ ВИДЫ / ВЫСОТА,БИССЕКТРИСА,МЕДИАНА / 1 И 2 ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВСкачать

ТРЕУГОЛЬНИКИ / ИХ ВИДЫ  / ВЫСОТА,БИССЕКТРИСА,МЕДИАНА / 1 И 2 ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Геометрия 7 класс (Урок№14 - Второй и третий признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№14 - Второй и третий признаки равенства треугольников.)

Второй признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Второй признак равенства треугольников. 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: