Признак равнобедренного треугольника атанасян

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Повторение. Равнобедренный треугольник и его свойства

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Равнобедренный треугольник.
• Свойства и признак равнобедренного треугольника.
• Биссектрисы, медианы, высоты треугольника.
• Решение задач на нахождение элементов треугольника.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противопложной стороны.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

1. Атанасян Л.С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б.Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. — М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т.М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т.М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. — М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М.А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М.А. — М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Две равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием равнобедренного треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны;

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Признак равнобедренного треугольника:

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

• В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны 60°.
• В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан совпадают. Эта точка называется центром равностороннего треугольника.

Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противопложной стороны.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Периметр равнобедренного треугольника равен 24 см, боковая сторона 10 см. Найдите основание.

Решение: ∆ABC равнобедренный, AB = BC = 10 см.

AC = 24 – 20 = 4 (см).

№ 2. ∆ABC равнобедренный. AM, CM биссектрисы, ∠B = 80°. Найти ∠AMC, который образуют биссектрисы углов при основании.

1. ∠A = ∠ B = (180° – 80°) : 2 = 50°
2. Так как AM, CM биссектрисы, то ∠MAC = ∠MCA = 50°: 2 = 25°.
3. ∠AMC = 180° – 25° – 25° = 130°

Геометрия 7 класс (Атанасян А.С.) Презентация «Урок повторения предметных знаний по темам: «Признаки равенства треугольников» и «Равнобедренный треугольник»»».
презентация к уроку по геометрии (7 класс) по теме

В презентации представлен материал по обощению тем «Признаки равенства треугольников» и «Равнобедренный треугольник» — 7 класс ГЕОМЕТРИЯ. Можно использовать на уроке Геометрии в 7 классе при закреплении и повторении данных тем.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

О КАКОЙ ФИГУРЕ ИДЕТ РЕЧЬ ? Из трёх точек состоит из века в век, Потому что так придумал человек. Не лежат при этом точки на прямой, Хоть и хочется друг к другу им домой. Три отрезка их всю жизнь соединяют. И вершинами те точки называют, А отрезки сторонами величают.

ЗАКОНЧИТЕ ФОРМУЛИРОВКУ Треугольник – это … Равнобедренный треугольник – это такой …

ЦЕЛЬ УРОКА: Повторение и закрепление пройденного материала по теме: «Признаки равенства треугольников», «Равнобедренный треугольник» и при необходимости коррекция изученных способов действий — понятий, алгоритмов.

ВСЕ ЛИ ВЕРНО В ДАННЫХ ФОРМУЛИРОВКАХ. 1.Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 3.Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, соединенные последовательно отрезками. 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса проведенная к стороне является медианой и высотой.

СКОЛЬКО ПРИЗНАКОВ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ МЫ ИЗУЧИЛИ ?

РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ Какое условие необходимо добавить, чтобы доказать равенство треугольников по первому признаку. 2 1

УСТНО: 1. КАКУЮ ФИГУРУ ВЫ ВИДИТЕ НА РИСУНКЕ ? 2.КАКОЙ ВИД ТРЕУГОЛЬНИКА ИЗОБРАЖЕН НА РИСУНКЕ ? 3. ПО КАКИМ ПРИЗНАКАМ ОПРЕДЕЛИЛИ ВИД ТРЕУГОЛЬНИКА ? 4. ЧЕМ ЯВЛЯЕТСЯ ВМ ? 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ УГЛА ТРЕУГОЛЬНИКА. 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕДИАНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА. 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА. 8. КАКИЕ СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ВЫ ЗНАЕТЕ ?

А В С 7 7 4 3 6 6 R T S R K M L 3 5 7 K P Какие треугольники, изображенные на рисунке, являются равнобедренными?

НАЙДИТЕ УГЛЫ Т,Р,М. R T S Q P R R K M S = 65˚ T = 65˚ P = 2 0 ˚ Q = M= 4 5˚ R = 2 0 ˚ 4 5˚

Найдите градусную меру АВ D 70° С D А В К ?

НАЙТИ УГОЛ АВ D

НАЙДИТЕ ВЕЛИЧИНУ УГЛА DOK , ЕСЛИ OK — БИССЕКТРИСА УГЛА AOD , ∠ DOB =52°. ОТВЕТ ДАЙТЕ В ГРАДУСАХ.

1. Найдите величину угла AOK , если OK — биссектриса угла AOD , ∠ DOB = 64°. Ответ дайте в градусах. 2. Найдите величину угла AOK , если OK — биссектриса угла AOD , ∠ DOB = 36°. Ответ дайте в градусах. 3. Найдите величину угла AOK , если OK — биссектриса угла AOD , ∠ DOB = 78°. Ответ дайте в градусах.

Как разделить правильный треугольник на равные 4 треугольника, чтобы в каждом был колодец ?

Вопросы к кроссворду. Формулировка принимаемая путем доказательства. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону. Геометрическая фигура, образованная двумя лучами выходящими из одной точки. Геометрическая фигура, состоящая из трех точек , не лежащих на одной прямой, соединенные последовательно отрезками. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. 6. Луч делящий угол пополам. 7. Инструмент для черчения окружностей и их дуг.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ П. 11 с.22,п. 15,18, 19,20.№ 146. В электронном дневнике

1 картинка — 2 картинка — 3 картинка – 1 картинка — 2 картинка — 3 картинка –

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок геометрии в 7-классе (класс педагогической поддержки) Тема: Признаки равенства треугольников

На данном уроке планируется: обобщить и закрепить понятие равенства треугольников; отрабатывать полученные знания и навыки в процессе решения задач; продолжить дальнейш.

Зачет по теме: «Признаки равенства треугольников» ( Геометрия 7 класс)

Материалы к зачету по теме: «Признаки равенства треугольников».

Презентация к уроку обобщения и систематизации знаний по теме признаки равенства треугольников

Оказание помощи ученикам в развитии в себе способности действовать целесообразно, мыслить рационально и эффективно проявлять свои интеллектуальные умения в окружающей среде.

Открытый урок геометрии 7 класс по тема «Признаки равенства треугольников»

Данный урок прведён в 7 классе .Тип:: обобщение и систематизация знаний.Цель: создание условия для выявления уровня овладения .

Открытый урок геометрии 7 класс по тема «Признаки равенства треугольников»

Данный урок прведён в 7 классе .Тип:: обобщение и систематизация знаний.Цель: создание условия для выявления уровня овладения .

Урок- ярмарка по русскому языку в 5 классе на тему: «Части речи» (повторение- обобщение знаний начальной школы).

урок предназначен для повторения материала начальной школы «Урок- ярмарка по русскому языку в 5 классе на тему: «Части речи».» , в игровой, доступной для учеников форме. Можно ис.