Теорема об описанной окружности и трапеции

Свойства трапеции, описанной около окружности: формулы и теоремы

Теорема об описанной окружности и трапеции

Трапеция — это геометрическая фигура с четырмя углами. При построении трапеции важно учитывать, что две противоположные стороны параллельны, а две другие, наоборот, не параллельны относительно друг друга. Это слово пришло в современность из Древней Греции и звучало как «трапедзион», что означало «столик», «обеденный столик».

Теорема об описанной окружности и трапеции

Эта статья рассказывает о свойствах трапеции, описанной около окружности. Также мы рассмотрим виды и элементы этой фигуры.

Содержание
  1. Элементы, виды и признаки геометрической фигуры трапеция
  2. Свойства трапеции, описанной около окружности
  3. Еще немного о свойствах трапеции, заключенной в окружность
  4. Трапеция. Свойства трапеции
  5. Свойства трапеции
  6. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
  7. Вписанная окружность
  8. Площадь
  9. Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
  10. Основные свойства трапеции
  11. Сторона трапеции
  12. Формулы определения длин сторон трапеции:
  13. Средняя линия трапеции
  14. Формулы определения длины средней линии трапеции:
  15. Высота трапеции
  16. Формулы определения длины высоты трапеции:
  17. Диагонали трапеции
  18. Формулы определения длины диагоналей трапеции:
  19. Площадь трапеции
  20. Формулы определения площади трапеции:
  21. Периметр трапеции
  22. Формула определения периметра трапеции:
  23. Окружность описанная вокруг трапеции
  24. Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
  25. Окружность вписанная в трапецию
  26. Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
  27. Другие отрезки разносторонней трапеции
  28. Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
  29. 💥 Видео

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Элементы, виды и признаки геометрической фигуры трапеция

Параллельные стороны в этой фигуре называют основаниями, а те, что не параллельны — боковыми сторонами. При условии, что боковые стороны одинаковой длины, трапеция считается равнобедренной. Трапеция, боковые стороны которой лежат перпендикулярно основанию под углом в 90°, называется прямоугольной.

У этой, казалось бы, незамысловатой фигуры имеется немалое количество свойств, ей присущих, подчеркивающих ее признаки:

  1. Если провести среднюю линию по боковым сторонам, то она будет параллельна основаниям. Этот отрезок будет равен 1/2 разности оснований.
  2. При построении биссектрисы из любого угла трапеции образуется равносторонний треугольник.
  3. Из свойств трапеции, описанной около окружности, известно, что сумма параллельных боковых сторон должна быть равна сумме оснований.
  4. При построении диагональных отрезков, где одна из сторон является основанием трапеции, полученные треугольники будут подобны.
  5. При построении диагональных отрезков, где одна из сторон является боковой, полученные треугольники будут иметь равную площадь.
  6. Если продолжить боковые линии и построить отрезок из центра основания, то образованный угол будет равен 90°. Отрезок, соединяющий основания, будет равен 1/2 их разности.

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

Свойства трапеции, описанной около окружности

Заключить окружность в трапецию возможно лишь при одном условии. Данное условие заключается в том, что сумма боковых сторон должна быть ровна сумме оснований. Например, при построении трапеции AFDM применимо AF + DM = FD + AM. Только в таком случае в трапецию можно заключить круг.

Теорема об описанной окружности и трапеции

Итак, подробнее о свойствах трапеции, описанной около окружности:

  1. Если в трапецию заключена окружность, то для того, чтобы найти длину ее линии, пересекающей фигуру пополам, необходимо найти 1/2 от суммы длин боковых сторон.
  2. При построении трапеции, описанной около окружности, образованная гипотенуза тождественна радиусу круга, а высота трапеции по совместительству является и диаметром круга.
  3. Еще одним свойством равнобедренной трапеции, описанной около окружности, является то, что ее боковая сторона сразу видна от центра окружности под углом 90°.

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Еще немного о свойствах трапеции, заключенной в окружность

Только равнобедренная трапеция может быть вписана в окружность. Это значит, что нужно соблюсти условия, при которых построенная трапеция AFDM будет отвечать следующим требованиям: AF + DM = FD + MA.

Теорема Птолемея гласит, что в трапеции, заключенной в окружность, произведение диагоналей тождественно и равно сумме умноженных противоположных сторон. Это значит, что при построении окружности, описанной около трапеции AFDM, применимо: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

На школьных экзаменах довольно часто встречаются задачи, требующие решения задач с трапецией. Большое количество теорем необходимо запоминать, но если выучить сразу не получиться — не беда. Лучше всего периодически прибегать к подсказке в учебниках, чтобы эти знания сами собой, без особого труда уложились в голове.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Теорема об описанной окружности и трапеции

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Теорема об описанной окружности и трапеции

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Теорема об описанной окружности и трапеции

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Теорема об описанной окружности и трапеции

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Теорема об описанной окружности и трапеции

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Теорема об описанной окружности и трапеции

3. Треугольники Теорема об описанной окружности и трапециии Теорема об описанной окружности и трапеции, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Теорема об описанной окружности и трапеции

Отношение площадей этих треугольников есть Теорема об описанной окружности и трапеции.

Теорема об описанной окружности и трапеции

4. Треугольники Теорема об описанной окружности и трапециии Теорема об описанной окружности и трапеции, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Теорема об описанной окружности и трапеции

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Теорема об описанной окружности и трапеции

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Теорема об описанной окружности и трапеции

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Теорема об описанной окружности и трапеции

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Теорема об описанной окружности и трапеции

Видео:Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.Скачать

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Теорема об описанной окружности и трапеции

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Теорема об описанной окружности и трапеции

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Теорема об описанной окружности и трапеции

Видео:Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть II)Скачать

Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть II)

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Теорема об описанной окружности и трапециии она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Теорема об описанной окружности и трапециии Теорема об описанной окружности и трапеции, то Теорема об описанной окружности и трапеции

Теорема об описанной окружности и трапеции

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Площадь

Теорема об описанной окружности и трапецииили Теорема об описанной окружности и трапециигде Теорема об описанной окружности и трапеции– средняя линия

Теорема об описанной окружности и трапеции

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Найти основания трапеции. Теорема Стюарта. ШОТЛАНДСКИЙ СЛЕД!Скачать

Найти основания трапеции. Теорема Стюарта. ШОТЛАНДСКИЙ СЛЕД!

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Теорема об описанной окружности и трапецииТеорема об описанной окружности и трапеции
Рис.1Рис.2

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m =a + b
2

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =hd =h
sin αsin β

Видео:Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =S
h

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
2 m2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

h =2S
a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h =S
m

Видео:Площадь трапеции и радиус описанной. ДАЕШЬ УСТНОЕ РЕШЕНИЕ!?Скачать

Площадь трапеции и радиус описанной. ДАЕШЬ УСТНОЕ РЕШЕНИЕ!?

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =d 2 + ab —a ( d 2 — c 2 )
a — b
d 2 =c 2 + ab —a ( c 2 — d 2 )
a — b

d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2

d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2

Видео:Средняя линия описанной трапеции. ВЫ ТОЧНО ПОПАЛИ!Скачать

Средняя линия описанной трапеции. ВЫ ТОЧНО ПОПАЛИ!

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S =( a + b )· h
2

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =d 1 d 2· sin γ=d 1 d 2· sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S =a + bc 2 —(( a — b ) 2 + c 2 — d 2)2
22( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =a + b√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |

где

p =a + b + c + d— полупериметр трапеции.
2

Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Видео:Хитрости в решении геометрических задач в ОГЭ по математике | Математика TutorOnlineСкачать

Хитрости в решении геометрических задач в ОГЭ по математике | Математика TutorOnline

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

где

p =a + c + d 1
2

a — большее основание

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r =h
2

Видео:Окружность и трапеция | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин +Скачать

Окружность и трапеция  | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин +

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =bKN = ML =aTO = OQ =a · b
22a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

💥 Видео

Теорема о средней линии трапецииСкачать

Теорема о средней линии трапеции
Поделиться или сохранить к себе: