Вписанные четырехугольники и их свойства |
Теорема Птолемея |
Видео:Теоремы об окружностях для четырехугольниковСкачать
Вписанные четырёхугольники и их свойства
Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .
Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .
Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .
Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).
Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.
Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
Теорема 2 доказана.
Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.
Фигура | Рисунок | Свойство | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около параллелограмма | Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около ромба | Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около трапеции | Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около дельтоида | Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Произвольный вписанный четырёхугольник |
Окружность, описанная около параллелограмма | |||||||||||||||||||
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | |||||||||||||||||||
Окружность, описанная около ромба | |||||||||||||||||||
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | |||||||||||||||||||
Окружность, описанная около трапеции | |||||||||||||||||||
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | |||||||||||||||||||
Окружность, описанная около дельтоида | |||||||||||||||||||
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | |||||||||||||||||||
Произвольный вписанный четырёхугольник | |||||||||||||||||||
Окружность, описанная около параллелограмма |
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Теорема Птолемея
Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).
Докажем, что справедливо равенство:
Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).
Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
откуда вытекает равенство:
(1) |
Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Окружность, вписанная в четырехугольник
Определение 1. Окружность называют вписанным в четырехугольник, если окружность касается всех сторон четырехугольника.
На рисунке 1 окружность вписан в четырехугольник ABCD. В этом случае говорят также, что четырехугольник описан около окружности.
Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.
Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что ( small AB+CD=AD+BC ).
Точки M, N, Q, P − точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности через одну точку, равны (статья Касательная к окружности теорема 2), то
( small AM=AQ=a, ) ( small BM=BN=b, ) ( small CN=CP=c, ) ( small DQ=DP=d ) |
( small AB+CD ) ( small=AM+BM+CP+DP ) ( small =a+b+c+d, ) | (1) |
( small AD+BC) ( small=AQ+DQ+BN+CN) ( small=a+d+b+c. ) | (2) |
Из равенств (1) и (2), следует:
( small AB+CD=AD+BC. ) |
Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Доказательство. Пусть задан выпуклый четырехугольник ABCD и пусть ( small AB+CD=AD+BC. ) (Рис.3). Докажем, что в него можно вписать окружность.
Проведем биссектрисы углов A и B четырехугольника ABCD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC, AD. Следовательно существует окружность с центром в точке O, которая касается этих трех сторон.
Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.
Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.
Проведем касательную C1D1 к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.
Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC1D1. Следовательно, по теореме 1, имеем:
( small AB+C_1D_1=AD_1+BC_1. ) | (3) |
Но по условию данной теоремы:
( small AB+CD=AD+BC. ) | (4) |
Вычтем из равенства (4) равенство (3):
( small CD-C_1D_1) (small=AD-AD_1+BC-BC_1 ) |
( small CD-C_1D_1=DD_1+CC_1 ) |
( small CD=DD_1+CC_1+C_1D_1) |
Получили, что в четырехугольнике CC1D1D длина одной стороны равна сумме длин трех остальных сторон, что невозможно (см. задачу 1 статьи Четырехугольник).
Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.
Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).
Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона CD не может иметь две общие точки с построенной окружностью.
Следовательно, предполагая, что построенная окружность не касается стороны CD, мы пришли к противоречию. Таким образом, если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Если в четырехугольник вписан окружность, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника. Эта точка является центром вписанной в четырехугольник окружности. Для нахождения этой точки достаточно найти точку пересечениия биссектрис двух соседних углов данного четырехугольника.
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Выпуклый четырехугольник
Определения
Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.
Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины.
Различают выпуклые и невыпуклые четырехугольники.
Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.
В школьном курсе рассматриваются только выпуклые четырехугольники. Поэтому далее “выпуклый четырехугольник” будем сокращенно называть “четырехугольник”.
Теорема
Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна (360^circ) .
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник (ABCD) и проведем его диагональ (AC) . Она разбила четырехугольник на два треугольника. Сумма углов любого треугольника равна (180^circ) , следовательно:
[begin 360^circ=180^circ+180^circ=(angle DAC+angle D+angle ACD) + (angle CAB+angle B+angle ACB)=\ =angle D+angle B +(angle DAC+angle CAB)+(angle ACD+angle ACB)=angle D+angle B+angle A+angle C end]
Теорема Вариньона
Выпуклый четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом.
Доказательство*
С доказательством данной теоремы рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Средняя линия треугольника”.
Проведем диагонали четырехугольника (ABCD) . Рассмотрим (triangle ABC) : (MN) – средняя линия этого треугольника, следовательно, (MNparallel AC) .
Рассмотрим (triangle ADC) : (PK) – средняя линия этого треугольника, следовательно, (PKparallel AC) .
Таким образом, (MNparallel ACparallel PK) .
Аналогичным образом доказывается, что (MPparallel BDparallel NK) .
Следовательно, по определению (MNKP) – параллелограмм.
Теорема
Если в четырехугольнике (ABCD) диагонали взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны: [AB^2+CD^2=BC^2+AD^2]
Доказательство
По теореме Пифагора:
Из равенств видно, что (AB^2+CD^2=x^2+a^2+y^2+b^2=BC^2+AD^2)
Замечание
Все известные четырехугольники, изучаемые в школьной программе, подчиняются следующей схеме:
Таким образом, любой четырехугольник из этой схемы обладает свойствами всех предыдущих четырехугольников, из которых он следует.
Например, прямоугольник обладает свойствами параллелограмма и произвольного выпуклого четырехугольника; квадрат обладает свойствами прямоугольника, параллелограмма, выпуклого четырехугольника.
🔥 Видео
Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать
9 класс. Геометрия. ОГЭ. Окружность. Четырехугольники.Скачать
Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Геометрия Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можноСкачать
8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать
Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать
11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать
Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать
8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать
Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать
11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать
ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать
ЕГЭ 2022 Планиметрия Теорема Птолемея. Вписанный четырёхугольникСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать