Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Прямая линия. Параллельные прямые. Основные понятия.

Две прямые называются параллельными, если, находясь в одной плоскости, они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Параллельность прямых на письме обозначают так: AB || СE

Возможность существования таких прямых доказывается теоремой.

Теорема.

Через всякую точку, взятую вне данной прямой, можно провести параллельную этой прямой.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Пусть AB данная прямая и С какая-нибудь точка, взятая вне ее. Требуется доказать, что через С можно провести прямую, параллельную AB. Опустим на AB из точки С перпендикуляр СD и затем проведем СE ^ СD, что возможно. Прямая CE параллельна AB.

Для доказательства допустим противное, т.е., что CE пересекается с AB в некоторой точке M. Тогда из точки M к прямой СD мы имели бы два различных перпендикуляра MD и , что невозможно. Значит, CE не может пересечься с AB, т.е. СE параллельна AB.

Следствие.

Аксиома параллельных линий.

Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Так, если прямая СD, проведенная через точку С параллельна прямой AB, то всякая другая прямая СE, проведенная через ту же точку С, не может быть параллельна AB, т.е. она при продолжении пересечется с AB.

Доказательство этой не вполне очевидной истины оказывается невозможным. Ее принимают без доказательства, как необходимое допущение (postulatum).

Следствия.

1. Если прямая (СE) пересекается с одной из параллельных (СВ), то она пересекается и с другой (AB), потому что в противном случае через одну и ту же точку С проходили бы две различные прямые, параллельные AB, что невозможно.

2. Если каждая из двух прямых (A и B) параллельны одной и той же третьей прямой (С), то они параллельны между собой.

Действительно, если предположить, что A и B пересекаются в некоторой точке M, то тогда через эту точку проходили бы две различные прямые, параллельные С, что невозможно.

Теорема.

Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой параллельной.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Перпендикуляр EF, пересекаясь с AB, непременно пересечет и СD. Пусть точка пересечения будет H.

Предположим теперь, что СD не перпендикулярна к EH. Тогда какая-нибудь другая прямая, например HK, будет перпендикулярна к EH и, следовательно через одну и ту же точку H будут проходить две прямые параллельные AB: одна СD, по условию, а другая HK по доказанному раньше. Так как это невозможно, то нельзя допустить, что СВ была не перпендикулярна к EH.

Видео:Ералаш №8 "Аксиома"Скачать

Ералаш №8 "Аксиома"

Новое в блогах

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Пересекаются ли параллельные или Что говорил Лобачевский?

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Недавно в посте на околонаучные темы один из комментаторов завел разговор о геометрии Лобачевского (что он ее не понимает) и даже вроде попросил объяснить. Я тогда ограничилась утверждением, что понимаю. Объяснять эту теорию в ограниченных рамках комментария и одним текстом (без рисунков) показалось мне невозможным.

Однако, подумав, я все же решила попробовать дать небольшой популярный экскурс в эту теорию.

Немного предыстории. Геометрия со времен Евклида стала аксиоматической теорией, в которой большинство утверждений доказывалось на основе нескольких постулатов (аксиом). Считалось, что эти аксиомы «очевидны», т.е. отражают свойства реального (физического) пространства.

Одна из этих аксиом вызывала у ученых подозрение: а нельзя ли ее вывести из остальных постулатов? Современная формулировка этой аксиомы такова:

«Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной ей». То, что одну-то прямую можно провести, является не аксиомой, а теоремой.

При этом «параллельной» называется прямая, не пересекающая данную. Итак, суть аксиомы в том, что такая прямая – одна!

(Распространенное утверждение «Лобачевский доказал, что параллельные прямые могут и пересекаться» — конечно, является вопиюще неправильным! Ведь это бы противоречило их определению!)

Лобачевский, как и многие до него, решил доказать, что это утверждение можно вывести из других аксиом. Для этого он, как это часто делается в математике, выбрал метод «от противного», т.е. предположил, что прямых, не пересекающих данную, больше одной и попытался вывести из этого противоречие с другими фактами. Но чем дальше он развивал теорию, тем больше убеждался, что никакого противоречия не предвидится! Т.е. получалось, что теория с «неправильным» постулатом тоже имеет право на существование!

Конечно, в первое время его выкладки не признавали, смеялись над ним. Именно поэтому великий Гаусс (который пришел к тем же выводам) не рискнул опубликовать свои результаты. Но со временем пришлось признать, что ЧИСТО ЛОГИЧЕСКИ теория Лобачевского ничем не хуже евклидовой.

Один из остроумных способов убедиться в этом – придумать такие «прямые», которые ведут себя как «прямые» Лобачевского. И математики нашли такой пример, и не один.

Пожалуй, самой простой является модель Пуанкаре. Вы можете сами построить ее нехитрыми приборами.

Начертите не листке бумаги прямую. Возьмите циркуль и, ставя его иглу на эту прямую, нарисуйте полуокружности, находящиеся с одной стороны от прямой. Теперь сотрите прямую (и с ней – концевые точки полуокружностей). Так вот, эти полуокружности «без концов» и будут вести себя, как прямые в геометрии Лобачевского!

Действительно, выделим одну полуокружность и точку вне нее. Есть достаточно много полуокружностей, которые не пересекаются с исходной и все проходят через данную точку. Среди них выделяются две: они касаются нашей исходной «прямой» в концевых точках (которые мы, как Вы помните, стерли) Т.е. реального пересечения не происходит. Эти две окружности задают «границы», между которыми находятся все прямые, не пересекающие данную. Их – бесконечное количество.

Можно заметить, что треугольники в этой модели не такие, как на плоскости (евклидовой): сумма их углов меньше 180 градусов! Впрочем, чем меньше треугольник, тем больше сумма его углов. В «малом», на небольших расстояниях, геометрия Лобачевского практически совпадает с геометрией Евклида. Поэтому, вообще говоря, мы не сможем «экспериментально» отличить одну от другой, если окажется, что доступные нам (космические) расстояния– малы для этой цели.

Впрочем, в наше время ни физики, ни, тем более, математики, не пытаются воспринимать геометрию Лобачевского как модель «реального», физического пространства. Математики поняли, что все, что они могут сказать: если верны такие-то аксиомы, то верны и такие-то теоремы. Ну, а что такое «множества», «точки», «прямые», «углы», «расстояния», и т.п. – этого мы не знаем! Прямо как у Станислава Лема: «Сепульки – это объекты для сепулькирования»

«Говорят, Бертран Рассел определил математику как науку, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим, и насколько правильно то, что мы говорим. Известно, что математика широко применяется во многих других областях науки. [ … ] Таким образом, одна из главных функций математического доказательства – создание надежной основы для проникновения в суть вещей.»

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать

Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, но не принадлежит прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. Говорят, что прямые Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяпересекаются в точке М.
Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Это можно записать так: Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются— знак принадлежности точки прямой, «Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяперпендикулярны (рис. 12), то пишут Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аТеорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяb.
  2. Если Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 = 90°, то а Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяАВ и b Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аТеорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяb.
  3. Если Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяОFА = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2). Из равенства этих треугольников следует, что Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяЗ = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются4 и Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются5 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются6.
  6. Так как Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются5 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются6 следует, что Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются6 = 90°. Получаем, что а Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяFF1 и b Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяFF1, а аТеорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются
2) Заметим, что Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 и Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3 следует, что Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аТеорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяAOF = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 + Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3 + Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяl + Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 = 180° и Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3 + Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 = 180° следует, что Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аТеорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяF и Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аТеорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3. Кроме того, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3 и Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3 следует, что Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются4 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяBAF. Действительно, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются4 и Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяFAC равны как соответственные углы, a Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяFAC = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 + Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 = 180° (рис. 97, а).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 + Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3= 180°.

4) Из равенств Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются= Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3 и Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 + Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3 = 180° следует, что Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 + Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяBAF + Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сТеорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Так как Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 = 90°, то и Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 = 90°, а, значит, сТеорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяпараллельны, то есть Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, лучи АВ и КМ.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются, то Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются(рис. 161).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, перпендикулярную прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи строят другую перпендикулярную прямую Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, затем — третью прямую Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи т. д. Поскольку прямые Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяперпендикулярны одной прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, то из указанной теоремы следует, что Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, параллельной прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются, то Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсятретьей прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3 иТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются5,Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются4 иТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 иТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются8,Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 иТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 иТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются6,Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3 иТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются7,Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 иТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются5,Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются4 иТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются8 — соответственные углы;
  • Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3 иТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются6,Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются4 иТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются5 — внутренние односторонние углы;
  • Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 иТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются7,Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 иТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются— данные прямые, АВ — секущая, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 (рис. 166).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Доказать: Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи продлим его до пересечения с прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 по условию, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяBMK =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяANM =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяBKM = 90°. Тогда прямые Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 (рис. 167).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Доказать: Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи секущей Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяl +Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 = 180° (рис. 168).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Доказать: Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи секущей Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяAOB = Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяBAO=Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяBAK = 26°, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяBAC = 2 •Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяADK +Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1=Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2. Так как Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются||Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются.

Реальная геометрия

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяпроходит через точку М и параллельна прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются||Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются(рис. 187).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Доказать: Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются||Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются.

Доказательство:

Предположим, что прямые Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, параллельные третьей прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются||Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2,Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3 =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются4. Доказать, что Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. Так как Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, то Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, которая параллельна прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, которые параллельны прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, АВ — секущая,Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 иТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Доказать: Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2.

Доказательство:

Предположим, чтоТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, параллельные прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются— секущая,Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 иТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 — соответственные (рис. 196).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Доказать:Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются— секущая,Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 иТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Доказать:Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяl +Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 +Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3 = 180°. По свойству параллельных прямыхТеорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяl =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3 как накрест лежащие. Следовательно,Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяl +Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются, т. е.Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 = 90°. Согласно следствию Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются, т. е.Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 = 90°.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяАОВ =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяABD =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяADB =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяпараллельны, то пишут: Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются(рис. 211).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются2 =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются3. Значит,Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются1 =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются2.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи АВТеорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются, то расстояние между прямыми Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, А Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются, С Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются, АВТеорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются, CDТеорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяCAD =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяравны (см. рис. 285). Прямая Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, проходящая через точку А параллельно прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, которая параллельна прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсябудет перпендикуляром и к прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяBAD +Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Тогда Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, параллельную прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Тогда Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются|| Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяравноудалены от прямых Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяна расстояние Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, то есть расстояние от точки М до прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяравно Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. Но через точку К проходит единственная прямая Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, параллельная Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. Значит, точка М принадлежит прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются.

Таким образом, все точки прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяравноудалены от прямых Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются. Прямая Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяТеорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются— параллельны.

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяи Теорема о том что параллельные прямые не пересекаютсяесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Теорема о том что параллельные прямые не пересекаются

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространстве

24. Параллельные линии могут пересекаться. Такое возможно?Скачать

24. Параллельные линии могут пересекаться. Такое возможно?

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т2. Теорема о двух прямых, перпендикулярных к третьей.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т2. Теорема о двух прямых, перпендикулярных к третьей.

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Параллельные прямыеСкачать

Параллельные прямые

Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | ИнфоурокСкачать

Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | Инфоурок

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||
Поделиться или сохранить к себе: