Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Т.е. существует такой параллельный перенос, при котором начало и конец одного вектора совмещается с началом и концом другого вектора соответственно.
Если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.
Видео:№748. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Равны ли векторы?Скачать
Теорема о равных векторах
Видео:№770. Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через векторы а и b , если:Скачать
Равные векторы
В различных школьных учебниках определение равных векторов даётся по-разному.
В классическом учебнике Погорелова А. В. понятие равных векторов вводится с помощью параллельного переноса.
Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом.
(то есть существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого).
Например, изображенные на рисунке
Равенство векторов обозначают так:
(Свойства равных векторов)
1) Равные векторы сонаправлены и имеют равные длины.
2) Равные векторы имеют равные координаты.
3) От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
1) 1-е свойство вытекает непосредственно из определения равных векторов и свойств параллельного переноса.
2) Пусть дан вектор
с началом в точке A(x1; y1) и концом в точке B(x2; y2).
По определению равных векторов, вектор
равный данному, получен из
Если этот параллельный перенос задан формулами
Найдём координаты каждого из векторов:
То есть координаты равных векторов
Что и требовалось доказать.
Таким образом, координаты задают длину и направление вектора, но не фиксируют его.
3) Пусть даны вектор
и точка C. Существует и притом единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку C — параллельный перенос на вектор
При таком параллельном переносе вектор
переходит в вектор
По определению равных векторов,
Что и требовалось доказать.
На практике, если требуется отложить от некоторой точки вектор, равный данному, удобно это делать с помощью параллелограмма (если точка, от которой откладывается вектор, не лежит на прямой, содержащей этот вектор).
Например,
отложенный от точки C, равен вектору
(Признаки равенства векторов)
1) Если векторы сонаправлены и имеют одинаковые длины, то они равны.
2) Если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.
1) Пусть векторы
сонаправлены и имеют одинаковые длины.
Параллельный перенос, который переводит точку A в точку C, совмещает луч CD с лучом AB (поскольку векторы одинаково направлены). А так как длины отрезков CD и AB равны, то точка D при этом совместится с точкой B. Таким образом, этот параллельный перенос вектор
переводит в вектор
По определению равных векторов,
Что и требовалось доказать.
2) Пусть векторы
Параллельный перенос, заданный формулами
переводит точку A в точку A′, точку B — в точку B′, то есть совмещает векторы
А это означает, что
Что и требовалось доказать.
В учебнике Атанасяна Л. С. и др. дано другое определение равных векторов.
Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Векторы: основные определения и понятия
Скалярная величина — величина, которая может быть охарактеризована числом. Например, длина, площадь, масса, температура и т.д.
Вектором называется направленный отрезок $overline$; точка $A$ — начало, точка $B$ — конец вектора (рис. 1).
Вектор обозначается либо двумя большими буквами — своим началом и концом: $overline$ либо одной малой буквой: $overline$.
Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым. Чаще всего нулевой вектор обозначается как $overline $.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).
Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости (рис. 4).
Два вектора всегда компланарны.
Подробная теория про длину вектора по ссылке.
Длина нулевого вектора равна нулю.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.
Векторы называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.
Иначе говоря, два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины:
В произвольной точке $M$ пространства можно построить единственный вектор $overline $, равный заданному вектору $overline$.
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Равные вектора
То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:
a = b — так как их координаты равны, a ≠ c — так как их координаты не равны, b ≠ c — так как их координаты не равны.
Проверим равенство компонентов векторов ax = bx = 1 ay = by => 8 = 2 n => n = 8/2 = 4
Ответ: при n = 4 вектора a и b равны.
Примеры пространственных задач на равенство векторов
a = c — так как их координаты равны, a ≠ b — так как их координаты не равны, b ≠ c — так как их координаты не равны.
Проверим равенство компонентов векторов ax = bx = 1 ay = by = 2 az = bz => 4 = 2 n => n = 4/2 = 2
Ответ: при n = 2 вектора a и b равны.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool. Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Видео:Геометрия - 9 класс (Урок№1 - Понятие вектора. Равенство векторов)Скачать
Теорема о равенстве векторов если ab cd ac bd
Противолежащие стороны параллелограмм равны.
Доказательство.
На рисунке изображён параллелограмм ABCD. Докажем, что АВ = CD и ВС = AD .
Проведём диагональ АС. Рассмотрим треугольники ABC и ACD .
В этих треугольниках сторона AC общая, углы 1 и ∠3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей AC,
углы ∠ 2 и ∠4 равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.
Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по второму признаку равенства треугольников. Отсюда АВ = CD и ВС = AD .
Докажите теорему:
Противолежащие стороны параллелограмм равны.
Доказательство.
На рисунке изображён параллелограмм ABCD. Докажем, что АВ = _______ и ВС = _____.
Проведём диагональ АС. Рассмотрим треугольники ABC и _______ .
В этих треугольниках сторона ______ общая, углы 1 и ____ равны как __________________________ при _________________ прямых ____ и _____ и секущей ____, углы ____ и _____ равны как ____________________________ при ____________________ прямых ___________ и секущей _____.
Следовательно, треугольники ______ и ________ равны по _______________ признаку равенства треугольников. Отсюда АВ = ________ и ВС = _____.
💥 Видео
№750. Докажите, что если векторы АВ и СD равны, то середины отрезков AD и ВС совпадают.Скачать
№172. На рисунке 96 AC=AD, AB⊥CD. Докажите, что BC=BD и ∠ACB=∠ADB.Скачать
Например, изображенные на рисунке
Например,
Пусть векторы
