Если две параллельные прямые пересекает третья, то образовавшиеся накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних равна 180°. Доказательство — от противного. Предположим, что прямые AC и BD параллельны и пересечены секущей AB, но образовавшиеся накрест лежащие углы CAB и DBA не равны. Тогда отложим от луча BA новый угол ABE, равный углу CAB. Новый луч BE и дополнительный к нему луч проведены пунктиром — получилась пунктирная прямая BE. Два равных угла CAB и ABE — это накрест лежащие углы при пересечении двух прямых AC и BE секущей AB. По признаку параллельности прямых это значит, что прямая BE параллельна прямой AC. У нас получилось, что через точку B проходят сразу две прямые BD и BE, параллельные одной и той же третьей прямой AC. Этого быть не может, следовательно предположение неверно, и два накрест лежащих угла CAB и DBA всё-таки равны. ЧТД.
Видео:Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Свойства параллельных прямых
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.
- Доказательство свойств параллельных прямых и их применение при решении задач.
- Формулирование теоремы об углах с соответственно параллельными сторонами.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Утверждение, обратное данной теореме– это утверждение, в котором условие является заключением теоремы, а заключение – условием теоремы.
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
- Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
- Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
- Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Ранее мы узнали и научились применять признаки параллельности прямых.
Рассмотрим утверждения, обратные к теоремам, выражающим признаки параллельности двух прямых.
В любой теореме есть две части: условие (это то, что дано)и заключение (это то, что требуется доказать).
Утверждением, обратным данному, называется утверждение, в котором условием является заключение, а заключением – условие.
Итак, вспомним один из признаков параллельности прямых. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы, образованные этими прямыми и секущей, равны (это условие), то прямые параллельны (заключение).
Сформулируем и докажем обратное утверждение.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы,образованные этими прямыми и секущей,равны.
∠1 и ∠2 – накрест лежащие.
Доказательство:( метод от противного):
Отложим ∠PMN =∠2 (накрест лежащие) → МР║b→ через точку М проходит 2 параллельные прямые прямой b (МР║b– доказательство;a║b– условие).→∠1=∠2.
Это противоречит теореме о единственности прямой параллельной данной и проходящей через точку.
Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
С пересекает а, значит, и пересекает параллельную ей прямую b(по следствию из аксиомы параллельных прямых).→ с – секущая к прямым а и b→∠1 = ∠2 = 90° (по только что доказанному свойству параллельных прямых).→ с ┴ b.
Что и требовалось доказать.
Вспомним ещё один признак параллельности двух прямых. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны(это условие), то прямые параллельны(заключение).
Сформулируем и докажем обратное утверждение
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы, образованные этими прямыми и секущей, равны.
Дано:
Доказать:
По условию a║b→∠1 = ∠3 (накрест лежащие углы). → ∠2 = ∠3 (вертикальные углы).
Значит, ∠1 = ∠2, что и требовалось доказать.
Вспомним ещё один признак параллельности двух прямых. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов, образованных этими прямыми и секущей, равна 180° (условие), то прямые параллельны (заключение).
Сформулируем и докажем обратное утверждение.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов, образованных этими прямыми и секущей, равна 180°.
Дано:a║b,
Доказать:
По условию a║b→∠1=∠2 ‑соответственные углы, (в силу предыдущей теоремы).
∠2+∠4=180° (по свойству смежных углов).
→ ∠1+∠4= 180°,что и требовалось доказать.
Материал для углубленного изучения темы.
Задача на доказательство.
Прямая m пересекает параллельные прямые а и b в точках А и В. Прямая р, проходящая через середину отрезка АВ, точку О, пересекает прямые а и b в точках С и D.
Докажем, что ОС=ОD.
По условию дано: а ║b, рՈа= А, рՈb = В, mՈа = D, mՈb = C.
Доказать: ОС = ОD.
Доказательство: рассмотрим, образовавшиеся при построении, треугольники AOD и BOC. Они равны по 2 признаку равенства треугольников, т.к. АО=ВО (О– середина отрезка АВ по условию); ∠1=∠2(накрест лежащие углы); ∠3=∠4 (вертикальные углы). →Все элементы равных треугольников соответственно равны → ОС=ОD. Что и требовалось доказать.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1. Три прямых а,р,с пересечены прямой k, при этом образуются соответственные углы: ∠1= 30°,∠2 = 40°,∠3= 30°,как показано на рисунке. Какие из прямых параллельны?
На рисунке изображены прямые а, р, с, которые пересечены секущей k. При этом углы 1,2,3 соответственные. По условию: ∠3= ∠1= 30°,∠2 ≠ ∠1,∠2 ≠ ∠3.
Следовательно, прямые а и р параллельные, прямые а и с, р и с не параллельные(по свойствам параллельных прямых).
2. На рисунке прямые а║b, при этомMO и ЕО – биссектрисы углов М и Е соответственно, пересекаются в точке О. Чему равна градусная мера угла МОЕ, если сумма углов в треугольнике равна 180°?
По условию а║b→∠М+∠Е=180° (по теореме о параллельных прямых об односторонних углах). Т.к. MO и ЕО – биссектрисы углов М и Е →∠М = 2∠ОМЕ,
∠М+∠Е =2∠ОМЕ +2∠МЕО =180°.
По условию сумма углов в треугольнике равна 180° → в ∆МОЕ.
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Признаки и свойства параллельных прямых
Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать
Признаки параллельных прямых
1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:
2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:
Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.
3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:
Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a || b.
4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:
5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать
Свойства параллельных прямых
Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.
1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:
Если a || b, то ∠1 + ∠2 = 180°.
2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:
3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:
Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:
4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:
Пятое свойство — это аксиома параллельности прямых:
5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой:
📽️ Видео
№201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210Скачать
Углы, образованные при пересечении двух прямых секущейСкачать
ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать
№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать
Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | ИнфоурокСкачать
29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать
7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать
УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 классСкачать
Теорема о пересечении двух параллельных прямых третьейСкачать
Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Решение задач.Скачать
Углы при пересечении двух прямых третьейСкачать
Теорема 14.2 Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны || Геометрия 7Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать
Геометрия 7 класс. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямымСкачать
Теорема о пересечении двух параллельных прямых третьейСкачать
Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Задачи на признаки параллельностСкачать
