Теорема о двух секущих окружности доказательство

Please wait.

Видео:Теорема о двух секущих. 9 класс.Скачать

Теорема о двух секущих. 9 класс.

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d06576a0f9a1672 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Видео:Теорема о секущих. Доказательство.Скачать

Теорема о секущих. Доказательство.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Теорема о двух секущих окружности доказательствоОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Теорема о двух секущих окружности доказательствоСвойства хорд и дуг окружности
Теорема о двух секущих окружности доказательствоТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема о двух секущих окружности доказательствоДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема о двух секущих окружности доказательствоТеорема о бабочке

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьТеорема о двух секущих окружности доказательство
КругТеорема о двух секущих окружности доказательство
РадиусТеорема о двух секущих окружности доказательство
ХордаТеорема о двух секущих окружности доказательство
ДиаметрТеорема о двух секущих окружности доказательство
КасательнаяТеорема о двух секущих окружности доказательство
СекущаяТеорема о двух секущих окружности доказательство
Окружность
Теорема о двух секущих окружности доказательство

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругТеорема о двух секущих окружности доказательство

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусТеорема о двух секущих окружности доказательство

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаТеорема о двух секущих окружности доказательство

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрТеорема о двух секущих окружности доказательство

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяТеорема о двух секущих окружности доказательство

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяТеорема о двух секущих окружности доказательство

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеТеорема о двух секущих окружности доказательствоДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыТеорема о двух секущих окружности доказательствоЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныТеорема о двух секущих окружности доказательствоБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиТеорема о двух секущих окружности доказательствоУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыТеорема о двух секущих окружности доказательствоДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Теорема о двух секущих окружности доказательство

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыТеорема о двух секущих окружности доказательство

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыТеорема о двух секущих окружности доказательство

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиТеорема о двух секущих окружности доказательство

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныТеорема о двух секущих окружности доказательство

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиТеорема о двух секущих окружности доказательство

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыТеорема о двух секущих окружности доказательство

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыТеорема о двух секущих окружности доказательство
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиТеорема о двух секущих окружности доказательство
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиТеорема о двух секущих окружности доказательство
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаТеорема о двух секущих окружности доказательство

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Пересекающиеся хорды
Теорема о двух секущих окружности доказательство
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Теорема о двух секущих окружности доказательство
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Теорема о двух секущих окружности доказательство
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Теорема о двух секущих окружности доказательство
Пересекающиеся хорды
Теорема о двух секущих окружности доказательство

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Видео:ОГЭ по математике. 2 часть. Задача 24. Геометрия. Теорема о двух секущихСкачать

ОГЭ по математике. 2 часть. Задача 24. Геометрия. Теорема о двух секущих

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Тогда справедливо равенство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Теорема о двух секущих окружности доказательство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:9 класс. Геометрия. Теорема о пропорциональности отрезков хорд и в секущих окружности. 22.05.2020.Скачать

9 класс. Геометрия. Теорема о пропорциональности отрезков хорд и в секущих окружности. 22.05.2020.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Теорема о двух секущих окружности доказательство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Теорема о касательной и секущей ДоказательствоСкачать

Теорема о касательной и секущей Доказательство

Свойство секущих

Теорема

Для каждой из секущих, проведённых из одной точки, произведение длины секущей на длину её внешней части есть величина постоянная.

Теорема о двух секущих окружности доказательствоДано : окружность (O; R), AB и AC — секущие,

AB∩окр. (O; R)=F, AC∩окр. (O; R)=K

Теорема о двух секущих окружности доказательствоРассмотрим треугольники ABK и ACF.

∠ABK=∠ACF (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу FK).

Следовательно, треугольники ABK и ACF подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Теорема о двух секущих окружности доказательство

По основному свойству пропорции:

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Что и требовалось доказать.

Теорема о двух секущих окружности доказательствоII способ

1) Проведём отрезки FK и BC.

2) Так как четырёхугольник BFKC — вписанный в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180º:

∠BCK+∠BFK=180º. Следовательно, ∠BFK=180º-∠BCK.

3) ∠AFK+∠BFK=180º (как смежные). Отсюда,

Теорема о двух секущих окружности доказательство4) Рассмотрим треугольники ABC и AKF.

У них ∠ACB=∠AFK (так как ∠AFK=∠BCK по доказанному), ∠A — общий угол. Следовательно, треугольники ABC и AKF — подобны (по двум углам).

Теорема о двух секущих окружности доказательство

Что и требовалось доказать .

При решении задач будем использовать свойство секущих, а также запомним полученные в ходе доказательства теоремы факты о подобии треугольников, образованных секущими. Причем подобие треугольников ABC и AKF можно доказывать как приведённым выше способом, так и опираясь на свойство секущих.

🎬 Видео

Теорема о касательной и секущейСкачать

Теорема о касательной и секущей

Теорема о касательной и секущей. Доказательство.Скачать

Теорема о касательной и секущей. Доказательство.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.Скачать

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки. ДоказательствоСкачать

Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки. Доказательство

теорема о произведении отрезков секущихСкачать

теорема о произведении отрезков секущих

Касательная и секущая к окружности.Скачать

Касательная и секущая к окружности.

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Теорема сжатия (теорема о двух милиционерах)Скачать

Теорема сжатия (теорема о двух милиционерах)

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых
Поделиться или сохранить к себе: