Теорема о двух параллельных плоскостях одна из которых перпендикулярна данной прямой

11.1 Параллельность плоскостей, перпендикулярных одной прямой

Напомним, что две плоскости, не имеющие общих точек, называются параллельными. Из теоремы о плоскости, перпендикулярной прямой (п. 9.2), следует, что две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны (рис. 99). Действительно, такие плоскости не имеют общей точки. В противном случае через одну точку проходили бы две плоскости, перпендикулярные одной прямой, что невозможно по указанной теореме.

Вспомните, что аналогичный признак параллельности прямых был доказан в планиметрии.

Доказанный нами простой признак параллельности плоскостей позволяет построить такие плоскости. Для этого достаточно взять какую-нибудь прямую и построить две перпендикулярные ей плоскости (п. 9.2).

11.2 Прямая, перпендикулярная двум параллельным плоскостям

Зависимость между параллельностью плоскостей и перпендикулярностью прямой и плоскости аналогична зависимости между параллельностью прямых и перпендикулярностью прямой и плоскости (теорема 9), рассмотренной в § 8. А именно наряду с доказанным в 11.1 признаком параллельности плоскостей имеет место и следующее обратное ему утверждение:

Эта теорема является ещё одним признаком перпендикулярности прямой и плоскости. При её доказательстве используются две простые леммы:

Доказательство. Пусть параллельные плоскости α и β пересекают плоскость γ по прямым а и b соответственно (рис. 100). Прямые а и b лежат в одной плоскости γ. Они не имеют общих точек, так как плоскости α и β не имеют общих точек. Поэтому прямые а и b параллельны.

Доказательство. Пусть плоскости α и β параллельны и прямая с пересекает плоскость α в точке А (рис. 101).

Возьмём в плоскости β любую точку М и проведём через прямую с и точку М плоскость γ. Она пересечёт плоскости α и β по параллельным прямым а и b.

Прямая с лежит в плоскости γ и пересекает прямую а в точке А. Поэтому прямая с пересечёт и прямую b, параллельную прямой а и лежащую в плоскости γ, в некоторой точке В. Точка В и является точкой пересечения прямой с и плоскости β, так как лежать в плоскости р прямая с не может (объясните!).

Теперь докажем теорему 12. Доказательство теоремы 12. Пусть плоскости α и β параллельны и прямая с перпендикулярна плоскости α (рис. 102).

Прямая с пересекает плоскость α в некоторой точке А. Поэтому по лемме 2 прямая с пересекает и плоскость β в некоторой точке В. Проведём через точку В в плоскости β любую прямую b и покажем, что с ⊥ b.

Пусть γ — плоскость, проходящая через прямые b и с. Она пересекает плоскости α и β по параллельным прямым а и b (по лемме 1). Так как с ⊥ α, то с ⊥ a. А поскольку b||а и все прямые а, Ь, с лежат в плоскости γ, то с ⊥ b. Следовательно, с ⊥ β (по определению перпендикулярности прямой и плоскости)

11.3 Основная теорема о параллельных плоскостях

Доказательство. Пусть даны плоскость α и не лежащая в ней точка А (рис. 103). Проведём через точку А прямую а, перпендикулярную плоскости α (см. п. 9.1). Через точку А проведём плоскость β, перпендикулярную прямой а (см. п. 9.2). Плоскости α и β параллельны, так как они перпендикулярны прямой а. Мы доказали существование плоскости β, проходящей через точку А и параллельной плоскости α.

Докажем единственность такой плоскости. Пусть γ — плоскость, проходящая через точку А и параллельная плоскости α. Так как γ||α и а ⊥ α, то а ⊥ γ (по теореме 12). А поскольку через точку А проходит лишь одна плоскость, перпендикулярная прямой а (п. 9.2), то плоскости β и γ совпадают. Поэтому β — единственная плоскость, проходящая через точку А и параллельная плоскости α.

Следствие (о двух плоскостях, параллельных третьей). Две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны.

Доказательство. Если две плоскости α и β параллельны плоскости γ, то они не имеют общей точки: в противном случае через эту точку проходят две плоскости, параллельные γ.

Замечание. Обратите внимание на аналогию с параллельными прямыми на плоскости: начиная с определения всем доказанным здесь предложениям о параллельных плоскостях соответствуют такие же предложения о параллельных прямых на плоскости. Сформулируйте их.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Перпендикулярность прямой и плоскости — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Перпендикулярность прямой и плоскости:

Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если прямая а перпендикулярна плоскости

Представление о части прямой, перпендикулярной плоскости, дает прямая пересечения поверхностей стен комнаты по отношению к плоскости пола. Колонны здания расположены перпендикулярно по отношению к плоскости фундамента.

В дальнейшем понадобится следующая теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей прямой.

Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.

Пусть а и b — параллельные прямые и Докажем, что Возьмем точку О на прямой b и через нее проведем прямую , параллельную прямой с. Тогда угол между прямыми b и с равен углу между пересекающимися прямыми b и Так как то угол между прямыми б и равен углу между прямыми а и с, т. е. равен Отсюда следует, что (рис. 144, а, б).

Теперь докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью плоскости.

Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Пусть прямые а и параллельны и прямая а перпендикулярна плоскости Докажем, что прямая также перпендикулярна плоскости Рассмотрим произвольную прямую в плоскости (рис. 145, а., б). Так как Из теоремы 1 следует, что Таким образом, прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости , т. е.

Теорема 3 (о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости). Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.

Пусть прямые а и b перпендикулярны плоскости (рис. 146, а). Докажем, что прямые а и b параллельны. Допустим, что прямая b не параллельна прямой а. Через произвольную точку О прямой b проведем прямую параллельную прямой а. По теореме 2 прямая перпендикулярна плоскости а. Рассмотрим плоскость , в которой лежат прямые b и . Пусть — прямая, по которой пересекаются плоскости и (рис. 146, б). Тогда в плоскости через точку О проходят две прямые b и , перпендикулярные прямой I. Но это невозможно, следовательно, наше предположение неверно и

Для установления факта перпендикулярности прямой и плоскости достаточно проверить перпендикулярность прямой только двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Это вытекает из следующей теоремы.

Видео:4.2 Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскостиСкачать

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема 4 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Пусть прямая а перпендикулярна прямым р и q, лежащим в плоскости и пересекающимся в точке О. Докажем, что прямая перпендикулярна плоскости . Для этого нужно доказать, что прямая a перпендикулярна произвольной прямой плоскости.

Рассмотрим первый случай, когда прямая а проходит через точку О. Проведем через точку О прямую параллельную прямой (если прямая проходит через точку О, то в качестве , возьмем прямую ). Отметим на прямой а точки А и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ, и проведем в плоскости а прямую, пересекающую прямые р, q и I соответственно в точках Р, Q и L. Пусть для определенности точка Q лежит между точками Р и L (рис. 147, а, б).

Заметим, что так как и (указанные треугольники равны по двум катетам). Следовательно, (так как — общая сторона). Из равенства этих треугольников следует, что

Треугольники APL и BPL равны (так как — общая сторона, a ), следовательно, Таким образом, треугольник ABL — равнобедренный, и его медиана OL является высотой, т. е. прямая перпендикулярна прямой а. Так как прямая параллельна прямой то по теореме 1 Прямая а перпендикулярна каждой прямой плоскости значит,

Если прямая а не проходит через точку О, тогда проведем через точку О прямую параллельную прямой а. Тогда по теореме 1 Следовательно, по доказанному в первом случае Теперь по теореме 2 прямая а перпендикулярна плоскости Теорема доказана.

Теорема 5 (о плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой). Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

I. Докажем существование плоскости.

Пусть а — данная прямая, а точка О — произвольная точка пространства. Докажем, что существует плоскость, проходящая через точку О и перпендикулярная прямой а.

1)Рассмотрим плоскость проходящую через прямую а и точку О, и плоскость проходящую через прямую а (рис. 148, а, б).

2)В плоскости а через точку О проведем прямую перпендикулярную прямой а. Пусть точка Е — точка пересечения прямых а и

3)Через точку Е в плоскости проведем прямую перпендикулярную прямой а.

4)Плоскость проходящая через прямые является искомой. Действительно, прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости у, следовательно, она перпендикулярна плоскости

II. Докажем единственность плоскости.

Допустим, что через точку О проходит еще одна плоскость перпендикулярная прямой а. Пусть плоскость пересекает плоскость а по прямой Тогда Следовательно, в плоскости через точку О проходят две прямые перпендикулярные прямой а. Как известно из планиметрии, этого быть не может. Таким образом, наше предположение неверно и плоскость единственная.

Теорема 6 (о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости). Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

I.Докажем существование прямой.

Пусть дана плоскость а и точка О — произвольная точка пространства. Докажем, что существует прямая, проходящая через точку О и перпендикулярная плоскости (рис. 149, а, б).

1)Проведем в плоскости некоторую прямую а и рассмотрим плоскость проходящую через точку О и перпендикулярную прямой а.

2)Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости

3)В плоскости через точку О проведем прямую , перпендикулярную прямой b. Прямая — искомая прямая. Действительно, прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и b плоскости a ( по построению и так как ), следовательно, она перпендикулярна плоскости а (см. рис. 149, а, б).

II.Докажем единственность плоскости.

Предположим, что через точку О проходит еще одна прямая перпендикулярная плоскости Тогда по теореме 3 прямые параллельны, что невозможно, так как прямые пересекаются в точке О. Таким образом, наше предположение неверно и через точку О проходит одна прямая, перпендикулярная плоскости

Теорема 7 (о свойстве диагонали прямоугольного параллелепипеда). Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину.

Пусть — прямоугольный параллелепипед (все его грани прямоугольники). Докажем, что

Из условия следует, что Значит, по признаку перпендикулярности прямой плоскости прямая перпендикулярна плоскости, в которой лежит грань ABCD. Отсюда следует, что В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора Кроме того, (так как АС — диагональ прямоугольника ABCD). Следовательно, (рис. 150, а, б, в).

Следствие. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Пример:

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то эта прямая перпендикулярна и другой плоскости.

Пусть плоскости параллельны, а прямая Докажем, что

1. Рассмотрим пересекающиеся прямые а и b в плоскости
2. Через произвольную точку в плоскости проведем прямые параллельные прямым а и b соответственно. Эти прямые лежат в плоскости .
3. Прямая перпендикулярна прямым а и b (так как), следовательно, она перпендикулярна прямым (глава 3, § 1, теорема 1).
4. Таким образом, прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости следовательно, прямая

Перпендикуляр и наклонная

Пусть точка А не лежит на плоскости Проведем через точку А прямую, перпендикулярную плоскости и обозначим буквой О точку пересечения этой прямой с плоскостью (рис. 163, а). Перпендикуляром., проведенным из точки А к плоскости , называется отрезок АО, точка О называется основанием перпендикуляра. Если АО — перпендикуляр к плоскости а М — произвольная точка этой плоскости, отличная от точки О, то отрезок AM называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости а точка М — основанием, наклонной. Отрезок ОМ — ортогональная проекция (или, короче, проекция) наклонной AM на плоскость

Например, если — прямая треугольная призма, то перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости ее основания АВС, есть ребро отрезок СB — проекция наклонной на плоскость АБС (рис. 163, б).

Теорема о трех перпендикулярах

Докажем теорему, которая играет важную роль при решении многих задач.

Теорема 1 (о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

Пусть АО и AM — соответственно перпендикуляр и наклонная к плоскости а — прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции ОМ (рис. 164, а, б). Докажем, что

Прямая а перпендикулярна плоскости ОАМ, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым OA и ОМ этой плоскости ( по условию, так как ). Следовательно, прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости АОМ, т. е.

Теорема 2. Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость.

Пусть АО и AM — соответственно перпендикуляр и наклонная, проведенные из точки А к плоскости прямая а лежит в плоскости а и перпендикулярна наклонной AM (см. рис. 164, а, б). Докажем, что прямая а перпендикулярна проекции ОМ. Прямая а перпендикулярна плоскости ОАМ, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым OA и AM этой плоскости ( по условию, так как ). Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна каждой прямой, лежащей в плоскости АОМ, в частности

Пример №1

— куб, точка О — точка пересечения диагоналей грани a F — середина ребра Докажите, что

1) — проекция на плоскость Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах

2) (так как OF — средняя линия треугольника ), значит, (рис. 165, а, б).

Теорема 3. Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные, то:

1)две наклонные, имеющие равные проекции, равны;

2)из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Пусть АО — перпендикуляр к плоскости АВ и АС — наклонные к этой плоскости (рис. 166, о). По условию следовательно, Из прямоугольных треугольников АОВ и АОС найдем

Теорема доказана.
Пусть АО и AM — соответственно перпендикуляр и наклонная, проведенные из точки А к плоскости (см. рис. 166, а). В прямоугольном треугольнике АОМ сторона АО является катетом, а сторона AM — гипотенузой, следовательно, Таким образом, перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к данной плоскости .

Значит, из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости наименьшим является расстояние до основания О перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости .

Определение. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.

Расстояние от точки А до прямой обозначается d (А, ) (читают: «Расстояние от точки А до прямой »).

Пусть — параллельные плоскости. Из любых точек А и Б плоскости проведем к плоскости перпендикуляры (рис. 166, б). Так как то Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны, следовательно, Отсюда следует, что все точки плоскости а находятся на одном и том же расстоянии от плоскости . Аналогично, все точки плоскости находятся на том же расстоянии от плоскости

Определение. Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями обозначается d (читают: «Расстояние между плоскостями »).

Аналогично, каждая точка прямой, параллельной некоторой плоскости, находится на одном и том же расстоянии от этой плоскости.

Определение. Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью а обозначается d (, ) (читают: «Расстояние между прямой и плоскостью »).

Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит единственная плоскость, параллельная другой.

Определение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой.

Расстояние между скрещивающимися прямыми а и b обозначается d (а, b) (читают: « Расстояние между прямыми а и b »).

Например, в прямоугольном параллелепипеде расстояние между параллельными плоскостями, в которых лежат грани равно длине ребра AD, так как AD перпендикулярно каждой из указанных плоскостей. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскостиравно длине ребра DC (рис. 166, в).

Пример №2

— куб. Постройте основание перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости

Решение:

1)Заметим, что — проекция на плоскость граниследовательно, по теореме о трех перпендикулярах Аналогично, DB — проекция на плоскость грани AJBCD и значит, Таким образом, прямая В,В перпендикулярна двум пересекающимся прямым и АС плоскости следовательно, прямая перпендикулярна плоскости (рис. 167, а).

2)Так как то искомое основание перпендикуляра есть точка пересечения прямой с плоскостью (см. рис. 167, а).

3)Строим точку (рис. 167, б).

4)Точка — искомое основание перпендикуляра (точка X лежит в плоскости так как она лежит на прямой (рис. 167, в)).

Пример №3

Дан куб Найдите расстояние между прямыми если длина ребра куба равна а.

Решение:

1)Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую и параллельную прямой Такой плоскостью является плоскость в которой лежит граньследовательно, ) ( рис. 168, а, б).

2)Расстояние между прямыми есть расстояние от любой точки прямой до плоскости а. Отрезок — перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости значит, ), следовательно, его длина а равна расстоянию между прямыми Ответ:

Угол между прямой и плоскостью

Ортогональная проекция прямой

Пусть в пространстве даны плоскость и прямая а. Ортогональной проекцией прямой а на плоскость называется проекция этой прямой на плоскость а в случае, если прямая, определяющая направление проектирования, перпендикулярна плоскости Например, если — куб, тогда ортогональной проекцией прямой на плоскость грани является прямая а ортогональная проекция этой прямой на плоскость основания ABCD куба есть прямая RD (рис. 171, а).

Дадим определение угла между прямой и плоскостью, при этом воспользуемся понятием ортогональной проекции прямой на плоскость.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то ее ортогональная проекция на эту плоскость есть точка пересечения этой прямой с плоскостью. В этом случае угол между прямой и плоскостью считается равным

Угол между прямой и плоскостью

Рассмотрим понятие угла между прямой и плоскостью.

Определение. Углом между прямой, не перпендикулярной плоскости, и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.

Теорема. Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости.

Пусть прямая а пересекает плоскость в точке О, — ортогональная проекция прямой а на плоскость , b — произвольная прямая, лежащая в плоскости а, проходящая через точку О и не совпадающая с прямой . Обозначим буквой угол между прямыми а и , а буквой — угол между прямыми а и b. Докажем, что (рис. 171, б).

Если прямые а и b не перпендикулярны, то из точки проведем перпендикуляры МА и MB к прямым и b соответственно. Из прямоугольных треугольников МАО и МВО найдем Так как МА

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс. Геометрия. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах.

10 класс. Геометрия. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах.

• Оглавление
• Занятия
• Обсуждение
• О курсе

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

1. Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая а называется перпендикулярной плоскости α, если она перпендикулярна любой прямой т, лежащей в этой плоскости (рис. 1).

Видео:Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

В плоскости α лежат две прямые b и c, пересекающиеся в точке О. Прямая а перпендикулярна прямой b и прямой c (рис. 2). Согласно признаку, прямая а перпендикулярна плоскости α.

Видео:10 класс, 18 урок, Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскостиСкачать

3. Теорема (о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости)

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перепедикуляная этой плоскости.

Пусть прямая а параллельна прямой а1. Прямая а перепендикулярна плоскости (рис. 3). Тогда, по теореме, прямая а1 перпендикулярна плоскости.

Видео:10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

4. Теорема (о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости)

Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Пусть прямая а перепендикулярна плоскости и прямая a1 перпендикулярна плоскости (рис. 3). По теореме, прямая а параллельна прямой a1.

Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

5. Прямой параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Пусть боковое ребро АА1 перпендикулярно основанию АВС (рис. 4). Но прямые АА1, ВВ1, СС1 и DD1 – параллельны. Значит, прямые АА1, ВВ1, СС1 и DD1 перпендикулярны плоскости АВС.

Видео:Геометрия 10 класс : Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскостиСкачать

6. Теорема (о существовании и единственности плоскости, проходящей через точку пространства, перпендикулярно данной прямой)

Через любую точку М пространства проходит единственная плоскость γ, перпендикулярная данной прямой а (рис. 5).

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

7. Важный частный случай теоремы

Пусть дан отрезок АВ (рис. 6). М – середина АВ. Согласно теореме, через точку М проходит единственная плоскость γ, которая перпендикулярна прямой АВ. Тогда плоскость γ есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка АВ.

Пусть точка N лежит в плоскости γ. Тогда NА = NВ.

Пусть точка К равноудалена от концов отрезка АВ, то есть АК = ВК. Тогда точка К принадлежит плоскости γ.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№8 - Перпендикулярность прямой и плоскости.)Скачать

8. Теорема (о существовании и единственности прямой, проходящей через точку пространства, перпендикулярно данной плоскости)

Через любую точку М пространства проходит прямая р, перпендикулярная плоскости α, и притом только одна (рис. 7).

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

9. Важный частный случай теоремы

Дан треугольник АВС. Точка О – центр описанной окружности, значит, ОА = ОВ = ОС = R, R – радиус окружности. Проведем перпендикуляр ОМ = р к плоскости АВС. Тогда любая точка перпендикуляра равноудалена от вершин треугольника АВС, то есть МА = МВ = МС = l.

МО – перпендикуляр к плоскости АВС, а значит прямая МО перпендикулярна любой прямой, лежащей в ней. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС – прямоугольные. В этих треугольниках катет МО – общий, а катеты АО, ВО, СО – равны. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС равны по двум катетам. А значит, МА = МВ = МС, что мы и хотели показать.

Видео:№132. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямойСкачать

10. Задача 1а

Точка D не принадлежит плоскости треугольника АВС (рис. 9). Точка D равноудалена от концов отрезка ВС, точка А также равноудалена от концов отрезка ВС.

а) Докажите, что прямые ВС и АD перпендикулярны.

Дано:

Доказать:

Пусть М – середина отрезка ВС. Треугольник АВС – равнобедренный, так как АВ = АС. Тогда медиана АМ является и высотой, то есть

Треугольник DВС – равнобедренный, так как DВ = DС. Тогда медиана DМ является и высотой, то есть

Прямая ВС перпендикулярна двум пересекающимся прямым DM и AM из плоскости DMA, а значит, прямая ВС перпендикулярна прямой DA, которая лежит в плоскости DMA, что и требовалось доказать.

Видео:10 класс, 17 урок, Признак перпендикулярности прямой и плоскостиСкачать

11. Задача 1б

б) Построить общий перпендикуляр к прямым ВС и АD.

Прямая ВС лежит в плоскости АВС. Прямая АD пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой ВС. Значит, прямые ВС и АD скрещиваются.

Проведем МН перпендикулярно АD (рис. 10). Но прямая ВС перпендикулярна плоскости АDН, а значит, и прямой МН, лежащей в плоскости АDН. Значит, МН – общий перпендикуляр к прямым ВС и АD.

Видео:10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

12. Задача 2

Плоскости α и β пересекаются по прямой а (рис. 11). Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям α и β. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС ⊥ а.

Дано:

Доказать:

Прямая МА перпендикулярна плоскости α. Прямая а лежит в плоскости α. Значит, прямая МА перпендикулярна прямой а.

Прямая МB перпендикулярна плоскости β. Прямая а лежит в плоскости β. Значит, прямая МB перпендикулярна прямой а.

Прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости АВМ. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости АВМ. Прямая СМ лежит в плоскости АВМ. Значит, прямая а перпендикулярна прямой МС, что и требовалось доказать.

Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 классСкачать

13. Итоги урока

Мы повторили теорию и решили типовые задачи по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости».

💥 Видео

10 класс, 23 урок, Признак перпендикулярности двух плоскостейСкачать

10 класс - Геометрия - Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскостиСкачать

Геометрия 10 класс (Урок№9 - Признак перпендикулярности прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать