Тело вращается вокруг неподвижной оси чему равны главный вектор и главный момент системы (7 видео)

Главный вектор и главный момент сил инерции

Находить значения главного вектора и главного момента сил инерции непосредственно по формулам (22.6) затруднительно, так как в общем случае будем иметь дело с множеством сил инерции всех материальных точек системы. Поэтому целесообразно получить выражения главного вектора и главного момента сил инерции через параметры, характеризующие в целом механическую систему и ее движение.

Подставив в первое из равенств (22.7) значение ZT 7 / из теоремы о движении центра масс Ма_с = ЕГ/ (см. § 17.3), найдем

т. е. главный вектор сил инерции механической системы направлен противоположно вектору а_с, а модуль его равен произведению массы системы на ускорение ее центра масс.

Подставив теперь во второе из равенств (22.7) значение ‘Lni₀(F_k e ) из теоремы моментов (см. § 18.2) dK₀/dt = Y.m₀(F?), найдем

т. е. главный момент сил инерции механической системы относительно некоего центра О направлен противоположно вектору производной по времени от кинетического момента системы относительно того же центра.

Аналогичным будет соотношение для моментов относительно оси. Так, относительно оси z будет

Таким образом, все силы инерции механической системы можно эквивалентно заменить двумя векторами: силой Я ф , приложенной в произвольно выбранном центре О, и парой сил с моментом, равным М ф .

Рассмотрим, как эти величины определяются для твердого тела.

Если тело совершает поступательное движение, то ускорения всех его точек одинаковы и равны ускорению а_с центра масс С

тела (а_к =а_с). Следовательно, все силы инерции —т_ка_к образуют систему параллельных сил, которая приводится к равнодействующей Я ф = -Ма_с, линия действия которой будет проходить через точку С (здесь полная аналогия с силами тяжести). Сумма моментов сил инерции относительно точки С будет равна нулю.

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz, величину главного момента сил инерции относительно этой оси определим, подставив в формулу (22.11) значение K_z = J_zсо (см. § 18.1):

т. е. модуль M°_Z = J_zs, а направление момента противоположно

направлению углового ускорения е (это следует учитывать при выполнении чертежей для расчета).

Следовательно, система сил инерции такого вращающегося тела приводится к приложенной в точке О силе Я ф , определяемой формулой (22.8), и к паре, момент которой определяется формулой (22.12).

В частном случае, когда тело вращается вокруг оси Cz, проходящей через его центр масс С, получим R ф = 0, так как а_с = 0, и система сил инерции приводится лишь к одной паре с моментом

ф , определяемой формулой (22.8) и приложенной в центре масс С тела, и паре сил с моментом = — /_Сге (ось Cz перпендикулярна плоскости движения).

Содержание

Главный вектор и главный момент сил.
Момент сил относительно оси вращения: основные понятия, формулы, пример решения задачи
Понятие о моменте силы
Момент силы — векторная величина
Физический смысл величины M¯
Момент силы — аддитивная величина
Пример решения задачи
🔍 Видео

Видео:Момент силы. Определение, размерность и знаки. Плечо силыСкачать

Главный вектор и главный момент сил.

Связи и реакции связей.

Связь осуществляется при помощи гибкого тела, нити, каната или троса. Реакция такой связи приложена к телу в точке прикрепленной к нему нити. Перечислим некоторые типы связей, предполагая, что они изготовлены из абсолютно твердых материалов и трение в местах их соприкосновения с рассматриваемыми телами отсутствует.

2)Шарнирное соединение тел (сферический шарнир, шарнирная опора неподвижная).

Система сходящихся сил.

Системой сходящихся сил наз-ют такую систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке. Сходящиеся системы сил могут быть пространственными или плоскими, расположенные в одной плоскости.

Сходящиеся системы сил могут быть пространственными и плоскими, т.е. расположенными в одной плоскости.

Предположим сначала, что на тело действуют две силы и , приложенные в одной точке A и образующие между собой угол . Равнодействующая этих двух сил, согласно аксиоме о параллелограмме сил, равна сумме этих сил, т.е. (рис.2.1,б)

. Модуль равнодействующей можно определить из треугольника ABC , заметив, что ?ABC=180. по теореме косинусов:

Момент силы относительно точки и оси.

Моментом силы относительно точки называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы.Численное значение момента силы F относительно точки О будем обозначать mo(F). Тогдаmo(F) = ±Fh.Моментом силы относительно оси называется алгебраическая величина момента проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси, относительно точки пересечения этой плоскости с осью. Момент силы F относительно оси считается положительным, если наблюдатель, смотрящий с положительного направления оси, видит поворот, совершаемый составляющей Fxy силы F, происходящим против хода часовой стрелки.Из определения момента силы относительно оси следует

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси или пересекает ее. В обоих случаях сила и ось лежат в одной плоскости. Момент имеет знак +, если сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки. Знак -, если сила стремится повернуть тело по часовой стрелке. Отметим след. св-во момента сил: момент силы не изм-ся пори переносе точки приложения силы вдоль ее действия. Момент силы относительно центра равен 0 только тогда, когда сила равна 0 или когда линия действия силы проходит через центр О. Момент силы численно равен удвоенной площади треугольника.

9Приведение к равнодействующей силе сходящихся сил.

Сложить 2 силы или неск. сил – это значит найти их равнодействующую. Задача о сложении 2х сил, приложенных к тв. телу в одной точке решается на основании правила параллелограмма.

Системой сходящихся сил называют такую систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке

Сходящиеся системы сил могут быть пространственными и плоскими, т.е. расположенными в одной плоскости.

.величина равнодействующей определится следующей формулой:

Для определения направления равнодействующей к воспользуемся обычными выражениями для направляющих косинусов:

Пара сил и ее момент.

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на тело. Действие пары сил на тело сводится к вращательному эффекту. Для характеристики этого эффекта вводится понятие момента пары.:Моментом пары называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо. Для равновесия пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы модуль векторного момента эквивалентной пары сил был равен нулю или чтобы векторный многоугольник, построенный на векторных моментах заданных пар сил, был замкнут.Момент пары считается положительным, если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным – если по ходу часовой стрелки.

Главный вектор и главный момент сил.

Главным вектором системы сил называют вектор, равный векторной сумме этих сил.

Главным моментом системы сил относительно точки O тела называют сумму векторных моментов всех сил системы относительно этой точки. Таким образом, основную теорему статики (теорему Пуансо) в краткой форме можно выразить так: Каждую систему сил можно привести к главному вектору и главному моменту относительно произвольного центра.

Видео:Вращение тела вокруг неподвижной осиСкачать

Момент сил относительно оси вращения: основные понятия, формулы, пример решения задачи

Когда решают задачи на перемещение объектов, то в ряде случаев пренебрегают их пространственными размерами, вводя понятие материальной точки. Для другого типа задач, в которых рассматриваются покоящиеся или вращающиеся тела, важно знать их параметры и точки приложения внешних сил. В этом случае речь идет о моменте сил относительно оси вращения. Рассмотрим этот вопрос в статье.

Видео:Момент инерцииСкачать

Понятие о моменте силы

Перед тем как приводить формулу момента силы относительно оси вращения неподвижной, необходимо пояснить, о каком явлении пойдет речь. Ниже дан рисунок, на котором изображен гаечный ключ длиной d, к концу его приложена сила F. Нетрудно представить, что результатом ее воздействия будет вращение ключа против часовой стрелки и откручивание гайки.

Вам будет интересно: TED — это. Определение, особенности, характеристика

Согласно определению, момент силы относительно оси вращения представляет собой произведение плеча (d в данном случае) на силу (F), то есть можно записать следующее выражение: M = d*F. Сразу же следует оговориться, что приведенная формула записана в скалярном виде, то есть она позволяет рассчитать абсолютное значение момента M. Как видно из формулы, единицей измерения рассматриваемой величины являются ньютоны на метр (Н*м).

Видео:Момент силы относительно точки и осиСкачать

Момент силы — векторная величина

Как выше было оговорено, момент M в действительности представляет собой вектор. Для пояснения этого утверждения рассмотрим другой рисунок.

Здесь мы видим рычаг длиной L, который закреплен на оси (показано стрелкой). К его концу приложена сила F под углом Φ. Нетрудно себе представить, что эта сила будет вызывать подъем рычага. Формула для момента в векторной форме в этом случае запишется так: M¯ = L¯*F¯, здесь черта над символом означает, что рассматриваемая величина — это вектор. Следует пояснить, что L¯ направлен от оси вращения к точке приложения силы F¯.

Приведенное выражение является векторным произведением. Его результирующий вектор (M¯) будет направлен перпендикулярно плоскости, образованной L¯ и F¯. Для определения направления момента M¯ существуют несколько правил (правой руки, буравчика). Чтобы не заучивать их и не путаться в порядке умножения векторов L¯ и F¯ (от него зависит направление M¯), следует запомнить одну простую вещь: момент силы будет направлен таким образом, что если смотреть с конца его вектора, то воздействующая сила F¯ будет вращать рычаг против часовой стрелки. Это направление момента условно принято за положительное. Если же система совершает вращение по часовой стрелки, значит, результирующий момент сил имеет отрицательное значение.

Таким образом, в рассматриваемом случае с рычагом L величина M¯ направлена вверх (от рисунка к читателю).

В скалярной форме формула для момента запишется в виде: M = L*F*sin(180-Φ) или M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)). Согласно определению синуса, можно записать равенство: M = d*F, где d = L*sin(Φ) (см. рисунок и соответствующий прямоугольный треугольник). Последняя формула является аналогичной той, которая была приведена в предыдущем пункте.

Проведенные выше вычисления демонстрируют, как работать с векторными и скалярными величинами моментов сил, чтобы не допустить ошибок.

Видео:Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции. Примеры. Лекция 7-1Скачать

Физический смысл величины M¯

Поскольку два рассмотренных в предыдущих пунктах случая связаны с вращательным движением, то можно догадаться, какой смысл несет момент силы. Если сила, действующая на материальную точку, является мерой увеличения скорости линейного перемещения последней, то момент силы — это мера ее вращательной способности применительно к рассматриваемой системе.

Приведем наглядный пример. Любой человек открывает дверь, взявшись за ее ручку. Также это можно сделать, если толкнуть дверь в зоне ручки. Почему никто не открывает ее, толкая в области петель? Очень просто: чем ближе к петлям приложена сила, тем труднее открыть дверь, и наоборот. Вывод предыдущего предложения следует из формулы для момента (M = d*F), откуда видно, что при M = const величины d и F находятся в обратной зависимости.

Видео:Вращательное движение. 10 класс.Скачать

Момент силы — аддитивная величина

Во всех рассмотренных выше случаях имела место лишь одна действующая сила. При решении же реальных задач дело обстоит гораздо сложнее. Обычно на системы, которые вращаются или находятся в равновесии, действуют несколько сил кручения, каждая из которых создает свой момент. В этом случае решение задач сводится к нахождению суммарного момента сил относительно оси вращения.

Суммарный момент находится путем обычной суммы отдельных моментов для каждой силы, однако, следует не забывать использовать правильный знак для каждого из них.

Видео:§4.3. Главный вектор и главный момент сил инерцииСкачать

Пример решения задачи

Для закрепления полученных знаний предлагается решить следующую задачу: необходимо вычислить суммарный момент силы для системы, изображенной на рисунке ниже.

Мы видим, что на рычаг длиной 7 м действуют три силы (F1, F2, F3), причем они имеют разные точки приложения относительно оси вращения. Поскольку направление сил перпендикулярно рычагу, то нет необходимости применять векторное выражение для момента кручения. Можно рассчитать суммарный момент M, используя скалярную формулу и не забывая о постановке нужного знака. Поскольку силы F1 и F3 стремятся повернуть рычаг против часовой стрелки, а F2 — по часовой стрелке, то момент вращения для первых будет положительным, а для второй — отрицательным. Имеем: M = F1*7-F2*5+F3*3 = 140-50+75 = 165 Н*м. То есть суммарный момент является положительным и направлен вверх (на читателя).