Тангенсы на окружности пи

Тангенс
Содержание
  1. Тангенс – одна из тригонометрических функций. Как и для всех других функций, значение тангенса определяется для конкретного угла или числа (в этом случае используют числовую окружность.
  2. Аргумент и значение тангенса
  3. Тангенс острого угла
  4. Тангенс можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
  5. Вычисление тангенса числа или любого угла
  6. Для чисел, а также для тупых, развернутых углов и углов больших (360°) тангенс чаще всего определяют с помощью синуса и косинуса, через их отношение:
  7. Прямая проходящая через начало отсчета на числовой окружности и параллельная оси ординат (синусов) называется осью тангенсов. Направление оси тангенсов и оси синусов совпадает.
  8. Чтобы определить тангенс с помощью числовой окружности, нужно: 1) Отметить соответствующую аргументу тангенса точку на числовой окружности. 2) Провести прямую через эту точку и начало координат и продлить её до оси тангенсов. 3) Найти координату пересечения этой прямой и оси тангенсов.
  9. В отличие от синуса и косинуса значение тангенса не ограничено и лежит в пределах от (-∞) до (+∞), то есть может быть любым.
  10. Знаки по четвертям
  11. Связь с другими тригонометрическими функциями:
  12. Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге
  13. Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
  14. А теперь подробно о тригонометрическом круге:
  15. 🎦 Видео

Тангенс – одна из тригонометрических функций. Как и для всех других функций, значение тангенса определяется для конкретного угла или числа (в этом случае используют числовую окружность.

Видео:Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружности

Аргумент и значение тангенса

Тангенсы на окружности пи

Аргументом тангенса может быть:
— как число или выражение с Пи: (1,3), (frac), (π), (-frac) и т.п.
— так и угол в градусах: (45^°), (360^°),(-800^°), (1^° ) и т.п.

Для обоих случаев тангенс вычисляется одинаковым способом – либо через значения синуса и косинуса, либо через тригонометрический круг (см. ниже).

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

Тангенс острого угла

Тангенс можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

1) Пусть дан угол и нужно определить тагенс этого угла.

Тангенсы на окружности пи

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

Тангенсы на окружности пи

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить тангенс.

Тангенсы на окружности пи

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Вычисление тангенса числа или любого угла

Для чисел, а также для тупых, развернутых углов и углов больших (360°) тангенс чаще всего определяют с помощью синуса и косинуса, через их отношение:

Пример. Вычислите (tg:0).
Решение: Чтобы найти тангенс нуля нужно найти сначала синус и косинус (0). И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга :

Тангенсы на окружности пи

Точка (0) на числовой окружности совпадает с (1) на оси косинусов, значит (cos:0=1). Если из точки (0) на числовой окружности провести перпендикуляр к оси синусов, то мы попадем в точку (0), значит (sin:⁡0=0). Получается: (tg:0=) (frac) (=) (frac) (=0).

Пример. Вычислите (tg:(-765^circ)).
Решение: (tg: (-765^circ)=) (frac)
Что бы вычислить синус и косинус (-765^°). Отложим (-765^°) на тригонометрическом круге. Для этого надо повернуть в отрицательную сторону на (720^°) , а потом еще на (45^°).

Тангенсы на окружности пи

Однако можно определять тангенс и напрямую через тригонометрический круг — для этого надо на нем построить дополнительную ось:

Прямая проходящая через начало отсчета на числовой окружности и параллельная оси ординат (синусов) называется осью тангенсов. Направление оси тангенсов и оси синусов совпадает.

Тангенсы на окружности пи

Ось тангенсов – это фактически копия оси синусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси синусов.

Чтобы определить тангенс с помощью числовой окружности, нужно:
1) Отметить соответствующую аргументу тангенса точку на числовой окружности.
2) Провести прямую через эту точку и начало координат и продлить её до оси тангенсов.
3) Найти координату пересечения этой прямой и оси тангенсов.

Тангенсы на окружности пи

2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.

Тангенсы на окружности пи

3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется (1).

Пример. Вычислите (tg: 45°) и (tg: (-240°)).
Решение:
Для угла (45°) ((∠KOA)) тангенс будет равен (1), потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку (A), пересекает ось тангесов. А для угла (-240°) ((∠KOB)) тангенс равен (-sqrt) (приблизительно (-1,73)).

Тангенсы на окружности пи

Значения для других часто встречающихся в практике углов смотри в тригонометрической таблице.

В отличие от синуса и косинуса значение тангенса не ограничено и лежит в пределах от (-∞) до (+∞), то есть может быть любым.

Тангенсы на окружности пи

При этом тангенс не определен для:
1) всех точек (A) (значение в Пи: …(-) (frac) ,(-) (frac) , (frac) , (frac) , (frac) …; и значение в градусах: …(-630°),(-270°),(90°),(450°),(810°)…)
2) всех точек (B) (значение в Пи: …(-) (frac) ,(-) (frac) ,(-) (frac) , (frac) , (frac) …; и значение в градусах: …(-810°),(-450°),(-90°),(270°)…) .

Так происходит потому, что прямая проходящая через начало координат и любую из этих точек никогда не пересечет ось тангенсов, т.к. будет идти параллельно ей. Поэтому в этих точках тангенс – НЕ СУЩЕСТВУЕТ (для всех остальных значений тангенс может быть найден).

Из-за этого при решении тригонометрических уравнений и неравенств с тангенсом необходимо учитывать ограничения на ОДЗ .

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Знаки по четвертям

С помощью оси тангенсов легко определить знаки по четвертям тригонометрической окружности. Для этого надо взять любую точку на четверти и определить знак тангенса для нее описанным выше способом. У всей четверти знак будет такой же.

Для примера на рисунке нанесены две зеленые точки в I и III четвертях. Для них значение тангенса положительно (зеленые пунктирные прямые приходят в положительную часть оси), значит и для любой точки из I и III четверти значение тангенса будет положительно (знак плюс).
С двумя фиолетовыми точками в II и IV четвертях – аналогично, но с минусом.

Тангенсы на окружности пи

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Связь с другими тригонометрическими функциями:

котангенсом того же угла: формулой (ctg⁡:x=) (frac)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь .

Видео:Как запомнить тригонометрический круг специально ничего не выучивая?Скачать

Как запомнить тригонометрический круг специально ничего не выучивая?

Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге

В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.

Как же быть с тангенсом и котангенсом ? Об этом и поговорим сегодня.

Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?

Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).

Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).

На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: Тангенсы на окружности пиПочему так?

Я думаю, вы легко сообразите и сами. 🙂 Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что Тангенсы на окружности пии Тангенсы на окружности пи

Тангенсы на окружности пи

Собственно, картинка за себя сама говорит.

Если не очень все же понятно, разберем примеры:

Пример 1.

Вычислить Тангенсы на окружности пи

Находим на круге Тангенсы на окружности пи. Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что Тангенсы на окружности пи

Ответ: Тангенсы на окружности пи

Пример 2.

Вычислить Тангенсы на окружности пи

Находим на круге Тангенсы на окружности пи. Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.

Тангенсы на окружности пине существует.

Ответ: не существует

Пример 3.

Вычислить Тангенсы на окружности пи

Тангенсы на окружности пи

Находим на круге точку Тангенсы на окружности пи(это та же точка, что и Тангенсы на окружности пи) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем Тангенсы на окружности пи(Тангенсы на окружности пи). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как Тангенсы на окружности пи. Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение Тангенсы на окружности пи.

Так значит, Тангенсы на окружности пи

Ответ: Тангенсы на окружности пи

Пример 4.

Вычислить Тангенсы на окружности пи

Тангенсы на окружности пи

Поэтому от точки Тангенсы на окружности пи(именно там будет Тангенсы на окружности пи) откладываем против часовой стрелки Тангенсы на окружности пи.

Выходим на ось котангенсов, получаем, что Тангенсы на окружности пи

Ответ: Тангенсы на окружности пи

Пример 5.

Вычислить Тангенсы на окружности пи

Находим на круге Тангенсы на окружности пи. Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что Тангенсы на окружности пи

Ответ: Тангенсы на окружности пи

Тангенсы на окружности пиТеперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройт и тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • Тангенсы на окружности пи

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

    Как искать точки на тригонометрической окружности.

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    🎦 Видео

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по Математике

    🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

    🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)

    РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

    РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

    Отбор корней по окружностиСкачать

    Отбор корней по окружности

    Формулы приведения - как их легко выучить!Скачать

    Формулы приведения - как их легко выучить!

    Таблица значений тригонометрических функций - как её запомнить!!!Скачать

    Таблица значений тригонометрических функций - как её запомнить!!!

    Знаки синуса, косинуса, тангенса ЛекцияСкачать

    Знаки синуса, косинуса, тангенса Лекция

    Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности. Формулы приведения.Скачать

    Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности. Формулы приведения.

    Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

    Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

    Тригонометрия. Начало. Число ПИ и единичная окружность.Скачать

    Тригонометрия. Начало. Число ПИ и единичная окружность.

    ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИСкачать

    ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИ
    Поделиться или сохранить к себе: