Тангенс угла между векторами по координатам (6 видео)

Онлайн калькулятор. Вычисление угла между векторами

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти угол между двумя векторами (косинус угла между векторами) для плоских и пространственных задач.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление угла между векторами и закрепить пройденный материал.

Содержание

Калькулятор для вычисления угла между векторами
Инструкция использования калькулятора для вычисления угла между векторами
Ввод даных в калькулятор для вычисления угла между векторами
Дополнительные возможности калькулятора для вычисления угла между векторами
Теория. Вычисление угла между векторами
Тангенс угла между векторами по координатам
Нахождение угла между векторами
Нахождение угла между векторами
🌟 Видео

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Калькулятор для вычисления угла между векторами

Инструкция использования калькулятора для вычисления угла между векторами

Ввод даных в калькулятор для вычисления угла между векторами

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления угла между векторами

Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Видео:Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Теория. Вычисление угла между векторами

Угол между двумя векторами a и b можно найти использовав следующую формулу:

cos α =	a · b
	\| a \|\| b \|

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Тангенс угла между векторами по координатам

Нахождение координат и длин вектора.
Вычисление угла между векторами.
Составление уравнение плоскости по трем точкам.

Решение задач с доказательством.

Для того, чтобы успешно решать задачи методом координат, полезно помнить:

Чтобы задать вектор, проходящий черерз 2 точки, нужно из координат второй точки вычесть координаты первой точки.

Чтобы найти длину вектора, нужно извлечь корень квадратный из суммы квадратов его координат.

Задача. Найти координаты и длины векторов AB, BC, AC, если точки имееют координаты А = (5; 8; 3), B = (1; 0; −3), C = (−2; 5; −1).

AB = (1−5; 0-8; −3−3) = (−4; −8; −6)

AC = (−2−5; 5−8; −1−3) = (−7; −3; −4)

BC = (1−(−2); 0−5; −1−3) = (3; −5; −4)

Для нахождения угла между двумя векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2):

Задача. Найдите площадь треугольника, ограниченную точками A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6).

Находим координаты векторов.
Вычисляем косинус угла между векторами.
Через основное тригометрическое тождество получаем синус.
Подставляем в формулу площади.

AB = (3−(−4); 1−4; 0−4) = (7; −3; −4)

AC = (−1−(−4); 0−4; 6−4) = (3; −4; 2)

Задача. Задайте уравнение плоскости, проходящей через точки A = ( − 4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = ( − 1; 0; 6).

Находим координаты векторов.
Задаем матрицу плоскости.
Вычисляем ее определитель, это и есть уравнение плоскости.

AB = (3−(−4); 1−4; 0−4) = (7; −3; −4)

Первая строчка заполняется переменными x, y, z, и из них вычитаются координаты любой точки плоскости. В данном случае вычитается точка С = ( − 1; 0; 6). Тогда получится такая строка: (x−(−1); y − 0; z−6).

Вторая строчка — координаты первого вектора.

Третья строчка — координаты второго вектора (нет разницы какой из векторов задавать во второй строчке, а какой в третьей).

Четвертая заполняется аналогично первой.

Пятая — аналогично второй.

Теперь перемножаем все значения на одном синем отрезке и складываем с другими значениями на других отрезках:

Аналогично делаем с зелеными отрезками:

Осталось из значений синих отрезков вычесть значения зеленых отрезков:

= −22х −26y − 19z + 92

−22х −26y −19z + 92 — искомое уравнение плоскости, проходящей через точки A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6).

P.s. Если вам кажется, что это сложно, то огорчу вас. Одна из первых тем (самых простых), которые вы будите проходить на первом курсе любого университета — это матрицы, так что можно немного облегчить себе жизнь и разобраться заранее.

Задача. Найдите угол между плоскостью, проходящей через точки A = ( − 4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = ( − 1; 0; 6), и плоскостью, заданную уравнением

14x + 6y − 27z + 51 = 0.

Задаем уравнение плоскости, проходящей через 3 точки ( нашли в предыдущей задаче).
Находим косинус угла между плоскостями ( формула аналогична косинусу угла между прямыми).

Видео:Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу: