Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Площадь четырехугольника

Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.

В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.

Содержание
  1. Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними
  2. Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами
  3. Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты
  4. Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность
  5. Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними
  6. Таблица с формулами площади четырехугольника
  7. Площадь частных случаев четырехугольников
  8. Определения
  9. Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти площадь четырехугольника abcd
  10. Площади четырехугольников
  11. Формулы для площадей четырехугольников
  12. Вывод формул для площадей четырехугольников
  13. Как рассчитать площадь четырехугольника
  14. Через диагонали и угол между ними
  15. Через стороны и противолежащие углы
  16. Площадь вписанного четырехугольника в окружность
  17. Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус
  18. Площадь вписанного четырехугольника
  19. Площади четырехугольников
  20. Формулы для площадей четырехугольников
  21. Вывод формул для площадей четырехугольников
  22. 📹 Видео

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:Центр описанной окружности.Скачать

Центр описанной окружности.

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Видео:Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

Таблица с формулами площади четырехугольника

исходные данные
(активная ссылка для перехода к калькулятору)
эскизформула
1диагональ и угол между нимиТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
2стороны и углы между этими сторонамиТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
3стороны
(по Формуле Брахмагупты)
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
4стороны и радиус вписанной окружностиТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
5стороны и углы между нимиТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Видео:ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)

Площадь частных случаев четырехугольников

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь четырехугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти площадь четырехугольника abcd

Видео:ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)

Площади четырехугольников

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиФормулы для площадей четырехугольников
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиВывод формул для площадей четырехугольников
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Формулы для площадей четырехугольников

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиS = ab

a и b – смежные стороны

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

ПараллелограммТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиS = a 2

a – сторона квадрата

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиS = 4r 2Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

a и b – основания,
h – высота

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиS = m hТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

ДельтоидТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиS = ab sin φ

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Произвольный выпуклый четырёхугольникТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти,
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

где
a и b – смежные стороны

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – основания,
h – высота

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти,
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Параллелограмм
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Квадрат
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиS = a 2

где
a – сторона квадрата

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиS = 4r 2
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Ромб
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Трапеция
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Дельтоид
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Вписанный четырёхугольник
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Прямоугольник
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – смежные стороны

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a – сторона квадрата

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – основания,
h – высота

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

ДельтоидТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Произвольный выпуклый четырёхугольникТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
(рис.6).

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Видео:8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Как рассчитать площадь четырехугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Через диагонали и угол между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

Через стороны и противолежащие углы

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

Площадь вписанного четырехугольника в окружность

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Площадь вписанного четырехугольника

Как найти площадь вписанного четырехугольника?

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиI способ.

Площадь вписанного четырёхугольника может быть найдена по формуле Брахмагупты:

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где p — полупериметр четырёхугольника, то есть

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

(формулу Герона можно рассматривать как частный случай этой формулы при d=0).

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиПлощадь четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, можно найти как сумму площадей треугольников, например, ABC и ADC.

Из треугольника ABC по теореме косинусов

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Аналогично, из треугольника ADC

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность,

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Приравниваем правы части равенств для AC²

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Найдём синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

(так как их сумма равна 180º, а sin(180º-α )=sinα).

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

В частных случаях: если в окружность вписан правильный четырёхугольник (то есть квадрат), прямоугольник либо четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны — решение задачи может быть упрощено.

Площадь любого четырёхугольника, в том числе, и вписанного, равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

В следующий раз рассмотрим конкретные примеры нахождения площади вписанного четырёхугольника.

Видео:Рабинович Е. М. Геометрия 7-9 классы. Таблица 9.10 "Площадь четырёхугольника".Скачать

Рабинович Е. М. Геометрия 7-9 классы. Таблица 9.10 "Площадь четырёхугольника".

Площади четырехугольников

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиФормулы для площадей четырехугольников
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиВывод формул для площадей четырехугольников
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭ

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

a и b – основания,
h – высота

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти,
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиS = ab
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
ПараллелограммТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
КвадратТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиS = a 2
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиS = 4r 2
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
РомбТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
ТрапецияТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиS = m h
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
ДельтоидТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиS = ab sin φ
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Произвольный выпуклый четырёхугольникТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Вписанный четырёхугольникТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – смежные стороны

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – основания,
h – высота

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти,
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Параллелограмм
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Квадрат
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиS = a 2

где
a – сторона квадрата

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиS = 4r 2

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Ромб
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Трапеция
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Дельтоид
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найтиТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Вписанный четырёхугольник
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
Прямоугольник
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – смежные стороны

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a – сторона квадрата

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – основания,
h – высота

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

ДельтоидТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Произвольный выпуклый четырёхугольникТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникТаблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадратаСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадрата

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти
(рис.6).

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Таблица 4 площадь четырехугольника о центр описанной окружности найти

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

📹 Видео

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: