Сжатие окружности с коэффициентом 2

Движения плоскости. Теорема Шаля.
Афинные преобразования плоскости
Сжатие окружности с коэффициентом 2Преобразования плоскости
Сжатие окружности с коэффициентом 2Движения плоскости
Сжатие окружности с коэффициентом 2Теорема Шаля
Сжатие окружности с коэффициентом 2Афинные преобразования плоскости
Сжатие окружности с коэффициентом 2Классификация афинных преобразований плоскости

Сжатие окружности с коэффициентом 2

Содержание
  1. Преобразования плоскости
  2. Движения плоскости
  3. 1. Параллельный перенос (сдвиг) на заданный вектор
  4. 2. Поворот вокруг заданной точки, называемой центром поворота, на заданный угол
  5. 3. Центральная симметрия (симметрия относительно заданной точки, называемой центром симметрии)
  6. 4. Осевая симметрия (симметрия относительно заданной прямой, называемой осью симметрии)
  7. 5. Скользящая симметрия (композиция осевой симметрии относительно заданной прямой и параллельного переноса на заданный отличный от нуля вектор, параллельный этой прямой)
  8. Движения плоскости, сохраняющие ориентацию. Движения плоскости, изменяющие ориентацию. Теорема Шаля
  9. Аффинные преобразования плоскости
  10. 1. Сжатие (растяжение) к прямой с заданным коэффициентом сжатия (растяжения)
  11. 2. Сжатие (растяжение) по двум заданным взаимно перпендикулярным направлениям с заданными коэффициентами сжатия (растяжения)
  12. 3. Гомотетия с заданным центром гомотетии и заданным коэффициентом сжатия (растяжения)
  13. 4. Преобразование подобия с заданным коэффициентом подобия
  14. Классификация аффинных преобразований плоскости
  15. Сжатие окружности с коэффициентом 2
  16. В окружности ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = R 2 центр имеет координаты ( a ; b ).
  17. Растяжение и сжатие графиков функций
  18. Список функций, изученных в 7 и 8 классе
  19. Растяжение и сжатие графика по оси OX
  20. Растяжение и сжатие графика по оси OY
  21. Примеры
  22. 📺 Видео

Видео:Преобразование графиков функций. Сжатие и растяжение. 10 класс.Скачать

Преобразование графиков функций. Сжатие и растяжение. 10 класс.

Преобразования плоскости

Определение 1 . Преобразованием плоскости называют правило, с помощью которого каждой точке плоскости ставится в соответствие точка этой же плоскости.

Из определения 1 вытекает, что, если F – преобразование плоскости α , а M – произвольная точка плоскости , то F(M) тоже является точкой плоскости α .

Определение 2 . Точку F(M) называют образом точки M при преобразовании F , а точку M называют прообразом точки F(M) при преобразовании F.

Аналогично определяются образы и прообразы любых фигур на плоскости при преобразовании F.

Определение 3 . Преобразование плоскости называют взаимно однозначным преобразованием плоскости на себя , если разные точки имеют разные образы, и каждая точка плоскости имеет прообраз.

Другими словами, при взаимно однозначном преобразовании плоскости на себя разные точки плоскости переходят в разные точки этой же плоскости, и в каждую точку плоскости переходит какая-то точка этой плоскости.

Определение 4 . Произведением (композицией) двух преобразований называют преобразование, которое получается в результате последовательного выполнения этих преобразований.

Таким образом, если F и G – два преобразования, то произведением Сжатие окружности с коэффициентом 2этих преобразований будет такое преобразование H, которое произвольную точку A плоскости переводит в точку A’ этой плоскости, определяемую по формуле:

Видео:Сдвиг, растяжение, сжатие графика функцииСкачать

Сдвиг, растяжение, сжатие графика функции

Движения плоскости

Определение 5 . Движением плоскости называют такое преобразование плоскости, при котором расстояние между двумя любыми точками плоскости равно расстоянию между их образами.

Следующие преобразования являются движениями плоскости:

1. Параллельный перенос (сдвиг) на заданный вектор

При параллельном переносе плоскости на заданный вектор Сжатие окружности с коэффициентом 2(рис.1) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A’ плоскости, что выполнено равенство

Сжатие окружности с коэффициентом 2

Сжатие окружности с коэффициентом 2

Сжатие окружности с коэффициентом 2

Замечание . Движение, при котором каждая точка плоскости остаётся на своём месте, называют тождественным преобразованием . Тождественное преобразование можно рассматривать как параллельный перенос на вектор, равный нулю.

2. Поворот вокруг заданной точки, называемой центром поворота, на заданный угол

При повороте плоскости вокруг точки O на угол φ (рис. 2) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A’ плоскости, что выполнены равенства

Сжатие окружности с коэффициентом 2

Сжатие окружности с коэффициентом 2

Сжатие окружности с коэффициентом 2

3. Центральная симметрия (симметрия относительно заданной точки, называемой центром симметрии)

При центральной симметрии плоскости относительно точки O произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A’ плоскости, что серединой отрезка AA’ является точка O – заданный центр симметрии (рис.3).

Сжатие окружности с коэффициентом 2

4. Осевая симметрия (симметрия относительно заданной прямой, называемой осью симметрии)

При осевой симметрии относительно прямой PQ ( ось симметрии ) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A’ плоскости, что, во-первых, прямая AA’ перпендикулярна прямой PQ , а, во-вторых, точка пересечения прямых AA’ и PQ является серединой отрезка AA’

Сжатие окружности с коэффициентом 2

5. Скользящая симметрия (композиция осевой симметрии относительно заданной прямой и параллельного переноса на заданный отличный от нуля вектор, параллельный этой прямой)

Если прямая PQ – ось симметрии, а параллельный перенос задаётся вектором Сжатие окружности с коэффициентом 2параллельным прямой PQ , то результат скользящей симметрии можно условно изобразить так, как показано на рисунке 5.

Сжатие окружности с коэффициентом 2

Сжатие окружности с коэффициентом 2

Сжатие окружности с коэффициентом 2

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Движения плоскости, сохраняющие ориентацию. Движения плоскости, изменяющие ориентацию. Теорема Шаля

Рассмотрим на плоскости произвольный равносторонний треугольник и обозначим его вершины буквами A, B и C так, чтобы при обходе по сторонам треугольника в направлении

треугольник оказывался расположенным слева (рис.6). При таком обозначении вершин обход треугольника будет осуществляться против часовой стрелки.

Сжатие окружности с коэффициентом 2

Предположим теперь, что некоторое движение F переводит треугольник ABC в треугольник A’B’C’, у которого

Поскольку каждое движение плоскости сохраняет расстояния между точками, то треугольник A’B’C’ также будет равносторонним, однако возможны следующие два случая.

В первом случае при обходе по сторонам треугольника A’B’C’ в направлении

треугольник A’B’C’ располагается слева, и обход производится против часовой стрелки (рис.7).

Сжатие окружности с коэффициентом 2

Во втором случае при обходе по сторонам треугольника A’B’C’ в направлении

треугольник A’B’C’ располагается справа, и обход производится по часовой стрелке (рис.8).

Сжатие окружности с коэффициентом 2

Определение 6 . Если при движении F осуществляется первый случай, то такое движение называют движением, сохраняющим ориентацию плоскости ( движением 1-го рода, собственным движением ). Если при движении F осуществляется второй случай, то такое движение называют движением, изменяющим ориентацию ( движением 2-го рода, несобственным движением ).

Классификацию всех движений плоскости даёт следующая теорема Шаля.

Теорема Шаля . Любое движение плоскости, сохраняющее ориентацию, является или параллельным переносом, или поворотом. Любое движение плоскости, изменяющее ориентацию, является или осевой симметрией, или скользящей симметрией.

Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Аффинные преобразования плоскости

Определение 7 . Аффинным преобразованием плоскости называют такое взаимно однозначное преобразование плоскости на себя, при котором образом любой прямой на плоскости является прямая.

Поскольку каждое движение плоскости переводит прямые линии в прямые линии, то каждое движение является аффинным преобразованием.

Однако аффинные преобразования не ограничиваются движениями плоскости. Следующие преобразования также являются аффинными преобразованиями плоскости:

1. Сжатие (растяжение) к прямой с заданным коэффициентом сжатия (растяжения)

При сжатии (растяжении) плоскости к прямой PQ с заданным коэффициентом сжатия k (рис.9) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A’ плоскости, что выполнены следующие условия:

  • прямая AA’ перпендикулярна прямой PQ ;
  • если обозначить буквой A» точку пересечения прямых AA’ и PQ , то будет справедливо равенство

  • если k > 0 , то точки A и A’ лежат по одну сторону от прямой PQ , если же k , то точки A и A’ лежат по разные стороны от прямой PQ .
  • Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Замечание 1 . В случае, когда | k | , рассматриваемое аффинное преобразование называют сжатием к прямой PQ , если же | k | > 1 , то это преобразование называют растяжением .

    Замечание 2 . Будем использовать для рассматриваемого сжатия (растяжения) обозначение

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    2. Сжатие (растяжение) по двум заданным взаимно перпендикулярным направлениям с заданными коэффициентами сжатия (растяжения)

    Пусть PQ и MN – две взаимно перпендикулярных прямых, а числа k1 и k2 – коэффициенты сжатия (расширения) плоскости в направлении прямых PQ и MN соответственно. Тогда сжатием (растяжением) по двум заданным взаимно перпендикулярным направлениям PQ и MN с коэффициентами k1 и k2 (рис.10) называют композицию сжатий (растяжений).

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    3. Гомотетия с заданным центром гомотетии и заданным коэффициентом сжатия (растяжения)

    Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называют такое аффинное преобразование, при котором произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A’ плоскости, что выполнены следующие условия:

    • точка A’ лежит на прямой AO ;
    • справедливо равенство

  • если k > 0 , то точки A и A’ лежат по одну сторону от точки O , если же k , то точки A и A’ лежат по разные стороны от точки O (рис.11).
  • Замечание . Рассмотрим две произвольных взаимно перпендикулярных прямых PQ и MN, пересекающихся в точке O. Тогда гомотетия с центром в точке O и коэффициентом k совпадёт со сжатием (растяжением) по направлениям PQ и MN с коэффициентами, равными k . Другими словами, гомотетия является композицией сжатий (растяжений):

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    4. Преобразование подобия с заданным коэффициентом подобия

    Преобразованием подобия с коэффициентом подобия k называют аффинное преобразование, представленное в виде композиции гомотетии с коэффициентом k и движения (рис. 12).

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Видео:Построение графиков тригонометрических функций с помощью преобразований. Практ. часть. 10 класс.Скачать

    Построение графиков тригонометрических функций с помощью преобразований. Практ. часть. 10 класс.

    Классификация аффинных преобразований плоскости

    Справедлива следующая теорема о классификации аффинных преобразований плоскости.

    Видео:Преобразование графиков функций. Растяжение, сжатие, параллельный перенос…Скачать

    Преобразование графиков функций. Растяжение, сжатие, параллельный перенос…

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Ах 2 + 2Вху + Су 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0.

    Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

    1) Сжатие окружности с коэффициентом 2 — уравнение эллипса.

    2) Сжатие окружности с коэффициентом 2 — уравнение “мнимого” эллипса.

    3) Сжатие окружности с коэффициентом 2 — уравнение гиперболы.

    4) a 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

    5) y 2 = 2 px – уравнение параболы.

    6) y 2 – a 2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

    7) y 2 + a 2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

    8) y 2 = 0 – пара совпадающих прямых.

    9) ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = R 2 – уравнение окружности.

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    В окружности ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = R 2 центр имеет координаты ( a ; b ).

    Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

    2 x 2 + 2 y 2 – 8 x + 5 y – 4 = 0.

    Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

    x 2 + y 2 – 4 x + 2,5 y – 2 = 0

    x 2 – 4 x + 4 –4 + y 2 + 2,5 y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

    ( x – 2) 2 + ( y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

    ( x – 2) 2 + ( y + 5/4) 2 = 121/16

    Отсюда находим О (2; -5/4); R = 11/4.

    Определение. Эллипсом называется линия, заданная уравнением Сжатие окружности с коэффициентом 2.

    О пределение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

    Сжатие окружности с коэффициентом 2у

    с – половина расстояния между фокусами;

    a – большая полуось;

    b – малая полуось.

    Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

    Доказательство: В случае , если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r 1 + r 2 = 2 Сжатие окружности с коэффициентом 2 (по теореме Пифагора). В случае , если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r 1 + r 2 = a c + a + c . Т.к. по определению сумма r 1 + r 2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:

    Сжатие окружности с коэффициентом 2 a 2 = b 2 + c 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

    Определение. Величина k = b / a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = ( a – b )/ a называется сжатием эллипса.

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k 2 = 1 – e 2 .

    Если a = b ( c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

    Если для точки М( х1, у1) выполняется условие: Сжатие окружности с коэффициентом 2, то она находится внутри эллипса, а если Сжатие окружности с коэффициентом 2, то точка находится вне эллипса.

    Теорема. Для произвольной точки М( х , у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

    Сжатие окружности с коэффициентом 2r 1 = a – ex , r 2 = a + ex .

    Доказательство. Выше было показано, что r 1 + r 2 = 2 a . Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Аналогично доказывается, что r 2 = a + ex . Теорема доказана.

    Сжатие окружности с коэффициентом 2С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

    x = a / e ; x = — a / e .

    Теорема. Для того , чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

    Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением: Сжатие окружности с коэффициентом 2

    1) Координаты нижней вершины: x = 0; y 2 = 16; y = -4.

    2) Координаты левого фокуса: c 2 = a 2 – b 2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F 2 (-3; 0).

    3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), большая ось равна 2.

    Уравнение эллипса имеет вид: Сжатие окружности с коэффициентом 2. Расстояние между фокусами:

    2 c = Сжатие окружности с коэффициентом 2 , таким образом, a 2 – b 2 = c 2 = ½

    по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b = Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Итого: Сжатие окружности с коэффициентом 2.

    Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

    Сжатие окружности с коэффициентом 2y

    По определению ï r 1 – r 2 ï = 2 a . F 1 , F 2 – фокусы гиперболы. F 1 F 2 = 2 c .

    Выберем на гиперболе произвольную точку М( х , у). Тогда :

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    обозначим с 2 – а 2 = b 2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2 Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Получили каноническое уравнение гиперболы.

    Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

    Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

    Сжатие окружности с коэффициентом 2Ось 2 b называется мнимой осью гиперболы.

    Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Определение. Отношение Сжатие окружности с коэффициентом 2называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

    С учетом того, что с 2 – а 2 = b 2 :

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Если а = b , e = Сжатие окружности с коэффициентом 2, то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

    Сжатие окружности с коэффициентом 2Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a / e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: Сжатие окружности с коэффициентом 2.

    Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого — либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r / d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

    Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.

    Сжатие окружности с коэффициентом 2y

    Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

    Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

    Растяжение и сжатие графиков функций

    Список функций, изученных в 7 и 8 классе

    Растяжение и сжатие графика по оси OX

    Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

    $$ y_1 = f(x), y_2 = f(px) $$

    где $p gt 1$, произвольный положительный множитель.

    $ y_2 = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2 $

    $y_2 = y_1 при x_2 = frac x_1$

    График сжимается в 2 раза по оси OX

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    $ y_2 = y_1 при x_2 = frac x_1 $

    График сжимается в 2 раза по оси OX

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    $y_2=y_1 при x_2 = frac x_1$

    График сжимается в 2 раза по оси OX

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Теперь сравним пары функций с делением на p:

    $$ y_1 = f(x), quad y_2 = f left( frac

    right), quad p gt 1 $$

    $ y_2 = f left(fracright) = left(fracright)^2 = frac $

    $y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$

    График растягивается в 2 раза по оси OX

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    $y_2 = f left(fracright) = frac = frac$

    $ y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$

    График растягивается в 2 раза по оси OX

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    $y_2=y_1 при x_2 = 2x_1$

    График растягивается в 2 раза по оси OX

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    При сравнении графиков двух функций

    $$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(px), quad p gt 1 $$

    график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

    При сравнении графиков двух функций

    $$ y_1 = f(x), quad y_2 = f Biggl(frac

    Biggr), quad p gt 1 $$

    график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

    Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

    Растяжение и сжатие графика по оси OY

    Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

    $$ y_1 = f(x), quad y_2 = Af(x) $$

    где $A gt 1$, произвольный положительный множитель.

    $y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$

    График растягивается в 2 раза по оси OY

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    $ y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$

    График растягивается в 2 раза по оси OY

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    $y_2 = 2f(x) = 2sqrt$

    $y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$

    График растягивается в 2 раза по оси OY

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    Теперь сравним пары функций с делением на A:

    $y_2 = fracy_1 при x_2 = x_1$

    График сжимается в 2 раза по оси OY

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    $ y_2 = fracy_1 при x_2 = x_1$

    График сжимается в 2 раза по оси OY

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    $y_2 = fracy_1 при x_2 = x_1$

    График сжимается в 2 раза по оси OY

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    При сравнении графиков двух функций

    $$ y_1 = f(x), quad y_2 = Af(x), quad A gt 1 $$

    график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

    При сравнении графиков двух функций

    график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

    Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

    Примеры

    Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    По сравнению с графиком $y = sqrt$:

    • график функции $y = sqrt$ сжимается в 3 раза по оси OX(←)
    • график функции $y = sqrt<frac>$ растягивается в 3 раза по оси OX(→)
    • график функции $y = 3sqrt$ растягивается в 3 раза по оси OY(↑)

    Пример 2*. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

    $$ y = f(x), y = f(2x), y = f Biggl(fracBiggr), y = 2f(x) $$

    Исходная функция $y = f(x) = x^2+3x+2$

    $$ y = f(2x) = (2x)^2+3 cdot (2x)+2 = 4x^2+6x+2 $$

    $$ y = fBiggl(fracBiggr) = Biggl(fracBiggr)^2+3 cdot Biggl(fracBiggr) +2 = frac+ frac x+2 $$

    Сжатие окружности с коэффициентом 2

    По сравнению с графиком $y = f(x) = x^2+3x+2$:

    • график функции y = f(2x) сжимается в 2 раза по оси OX(→)
    • график функции $y = f left(fracright)$ растягивается в 2 раза по оси OX(←)
    • график функции y = 2f(x) растягивается в 2 раза по оси OY(↑)

    📺 Видео

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

    9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

    9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

    Графики функций №6.Сжатие графика вдоль осейСкачать

    Графики функций №6.Сжатие графика вдоль осей

    Уравнение окружностиСкачать

    Уравнение окружности

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

    Урок 100 (осн). Коэффициенты линейного и объемного расширения телСкачать

    Урок 100 (осн). Коэффициенты линейного и объемного расширения тел

    12 Преобразования графиков. y=kf(x) и y=f(kx)Скачать

    12 Преобразования графиков.  y=kf(x) и y=f(kx)

    Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

    Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

    Найти центр и радиус окружностиСкачать

    Найти центр и радиус окружности

    ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

    ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой

    СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать

    СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯ

    Геометрические преобразования графиков функций. Растяжение, сжатие и симметрия относительно оси ОХСкачать

    Геометрические преобразования графиков функций. Растяжение, сжатие и симметрия относительно оси ОХ

    ГРАФИК ФУНКЦИЙ — Сдвиги Графика Функции, Как строить Графики Функции // Алгебра 8 классСкачать

    ГРАФИК ФУНКЦИЙ — Сдвиги Графика Функции, Как строить Графики Функции // Алгебра 8 класс
    Поделиться или сохранить к себе: