Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Вписанная в трапецию окружность

Когда в трапецию можно вписать окружность? Какими свойствами обладает вписанная в трапецию окружность? Где находится центр этой окружности? Чему равен ее радиус?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда когда суммы ее противоположных сторон равны.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции1) В трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

2) Обратно, если AD+BC=AB+CD, то в трапецию ABCD можно вписать окружность.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

2. Центр вписанной в трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

O — точка пересечения

биссектрис трапеции ABCD.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции3. По свойству биссектрис трапеции, прилежащие к её боковой стороне,

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

и точка O лежит на средней линии трапеции.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции4. Точки касания, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины:

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции5.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции6. Диаметр вписанной в трапецию окружности равен высоте трапеции, радиус — половине высоты:

Содержание
  1. Прямоугольная трапеция с вписанной окружностью формулы
  2. Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
  3. Основные свойства трапеции
  4. Сторона трапеции
  5. Формулы определения длин сторон трапеции:
  6. Средняя линия трапеции
  7. Формулы определения длины средней линии трапеции:
  8. Высота трапеции
  9. Формулы определения длины высоты трапеции:
  10. Диагонали трапеции
  11. Формулы определения длины диагоналей трапеции:
  12. Площадь трапеции
  13. Формулы определения площади трапеции:
  14. Периметр трапеции
  15. Формула определения периметра трапеции:
  16. Окружность описанная вокруг трапеции
  17. Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
  18. Окружность вписанная в трапецию
  19. Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
  20. Другие отрезки разносторонней трапеции
  21. Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
  22. Узнать ещё
  23. В прямоугольную трапецию вписана окружность
  24. Площадь прямоугольной трапеции
  25. Трапеция. Свойства трапеции
  26. Свойства трапеции
  27. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
  28. Вписанная окружность
  29. Площадь

Видео:Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)

Прямоугольная трапеция с вписанной окружностью формулы

Видео:ЕГЭ ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ В ПРЯМОУГОЛЬНУЮ ТРАПЕЦИЮ | ЗАДНИЙ ХОД В МАТЕМАТИКЕ ИЛИ КАКОЙ ТО ПОДВОХ |Скачать

ЕГЭ ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ В ПРЯМОУГОЛЬНУЮ ТРАПЕЦИЮ | ЗАДНИЙ ХОД В МАТЕМАТИКЕ ИЛИ КАКОЙ ТО ПОДВОХ |

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапецииГде находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции
Рис.1Рис.2

Видео:Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найдите её радиус, если основания трапецииСкачать

Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найдите её радиус, если основания трапеции

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m =a + b
2

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Видео:Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141Скачать

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =hd =h
sin αsin β

Видео:Периметр прямоуг. трапеции, описанной около окружн., равен 100, ее большая боковая сторона равна 37.Скачать

Периметр прямоуг. трапеции, описанной около окружн., равен 100, ее большая боковая сторона равна 37.

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =S
h

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
2 m2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

h =2S
a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h =S
m

Видео:Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторонуСкачать

Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =d 2 + ab —a ( d 2 — c 2 )
a — b
d 2 =c 2 + ab —a ( c 2 — d 2 )
a — b

d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2

d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S =( a + b )· h
2

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =d 1 d 2· sin γ=d 1 d 2· sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S =a + bc 2 —(( a — b ) 2 + c 2 — d 2)2
22( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =a + b√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |
p =a + b + c + d— полупериметр трапеции.
2

Видео:Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основанияСкачать

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основания

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Видео:🔴 В прямоугольной трапеции основания ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В прямоугольной трапеции основания  ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)
p =a + c + d 1
2

a — большее основание

Видео:№481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 смСкачать

№481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r =h
2

Видео:Трапеция и вписанная окружностьСкачать

Трапеция и вписанная окружность

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =bKN = ML =aTO = OQ =a · b
22a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в трапецию.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в трапецию.

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Найти длину верхнего основания и боковой стороны прямоугольной трапецииСкачать

Найти длину верхнего основания и боковой стороны прямоугольной трапеции

В прямоугольную трапецию вписана окружность

Если в условии задачи сказано, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, можно использовать следующие свойства.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

1. Сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон.

2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны.

3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности.

4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.

5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n, то радиус вписанной окружности равен

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

И еще два полезных свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность:

1) Четырехугольник, образованный центром вписанной окружности, точками касания и вершиной трапеции — квадрат, сторона которого равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со стороной r).

2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, площадь трапеции равна произведению ее оснований.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапецииПлощадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Обозначим CF=m, FD=n. Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

Видео:2119 периметр прямоугольной трапеции описанной около окружности равен 100 её большаяСкачать

2119 периметр прямоугольной трапеции описанной около окружности равен 100 её большая

Площадь прямоугольной трапеции

Площадь прямоугольной трапеции можно найти по любой из формул для площади произвольной трапеции. Некоторые из общих формул могут быть упрощены на основании свойств прямоугольной трапеции.

I. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапецииПлощадь прямоугольной трапеции ABCD,

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Так как меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции перпендикулярна основаниям, то она равна высоте трапеции, то есть

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Если обозначить AD=a, BC=b, CF=AB=h, то формула площади прямоугольной трапеции через основания и высоту (меньшую боковую сторону):

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

II. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапецииЕсли MN — средняя линия прямоугольной трапеции ABCD,

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Если обозначить среднюю линию MN=m, меньшую боковую сторону AB=h, получим формулу для нахождения площади прямоугольной трапеции через среднюю линию:

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

III. Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей трапеции на синус угла между ними.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапецииДля прямоугольной

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Если AC=d1, BD=d2, ∠COD=φ, то

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапецииВ частности, если диагонали трапеции перпендикулярны, то

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

VI. Площадь трапеции равна произведению её полупериметра на радиус вписанной окружности.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Обозначив AD=a, BC=b, CD=c, AB=h=2r, получим формулы площади прямоугольной трапеции через радиус вписанной окружности:

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Если в трапецию вписана окружность, площадь трапеции также можно найти как удвоенное произведение радиуса и средней линии. Формула

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, ее площадь равна произведению оснований.

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Видео:Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторонуСкачать

Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

3. Треугольники Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапециии Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Отношение площадей этих треугольников есть Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

4. Треугольники Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапециии Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Видео:Планиметрия 27 | mathus.ru | окружность, касающаяся основания трапеции и вписанной в нее окружностиСкачать

Планиметрия 27 | mathus.ru | окружность, касающаяся основания трапеции и вписанной в нее окружности

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапециии она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапециии Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции, то Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Площадь

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапецииили Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапециигде Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции– средняя линия

Где находится центр вписанной окружности в прямоугольной трапеции

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Поделиться или сохранить к себе: