Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от заданной точки (центра окружности). Расстояние от любой точки окружности (Pleft( right)) до ее центра называется радиусом . Центр окружности и сама окружность лежат в одной и той же плоскости. Уравнение окружности радиуса (R) с центром в начале координат ( каноническое уравнение окружности ) имеет вид
( + = ).

Связь эллипса с окружность

Уравнение окружности радиуса (R) с центром в произвольной точке (Aleft( right)) записывается как
( <left( right)^2> + <left( right)^2> = ).

Связь эллипса с окружность

Уравнение окружности, проходящей через три точки , записывается в виде: (left| <begin<*> <+ > & x & y & 1\ & <> & <> & 1\ & <> & <> & 1\ & <> & <> & 1 end> right| = 0.\)
Здесь (Aleft( <,> right)), (Bleft( <,> right)), (Cleft( <,> right)) − три точки, лежащие на окружности.

Связь эллипса с окружность

Уравнение окружности в параметрической форме
( left < beginx &= R cos t \ y &= Rsin t end right., ;;0 le t le 2pi),
где (x), (y) − координаты точек окружности, (R) − радиус окружности, (t) − параметр.

Общее уравнение окружности
(A + A + Dx + Ey + F = 0)
при условии (A ne 0), (D^2 + E^2 > 4AF).
Центр окружности расположен в точке с координатами (left(
right)), где
(a = — largefrac<>normalsize,;;b = — largefrac<>normalsize.)
Радиус окружности равен
(R = sqrt <largefrac<<+ — 4AF>><>normalsize> )

Эллипсом называется плоская кривая, для каждой точки которой сумма расстояний до двух заданных точек ( фокусов эллипса ) постоянна. Расстояние между фокусами называется фокусным расстоянием и обозначается через (2c). Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса . У эллипса есть две оси симметрии: первая или фокальная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей вторая ось. Точки пересечения этих осей с эллипсом называются вершинами . Отрезок, соединяющий центр эллипса с вершиной, называется полуосью эллипса . Большая полуось обозначается через (a), малая полуось − через (b). Эллипс, центр которого находится в начале координат, а полуоси лежат на координатных прямых, описывается следующим каноническим уравнением :
(largefrac<<>><<
>>normalsize + largefrac<<>><<>>normalsize = 1.)

Связь эллипса с окружность

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов постоянна:
( + = 2a),
где (), () − расстояния от произвольной точки (Pleft( right)) до фокусов () и (), (a) − большая полуось эллипса.

Связь эллипса с окружность

Соотношение между полуосями эллипса и фокусным расстоянием
(
= + ),
где (a) − большая полуось эллипса, (b) − малая полуось, (c) − половина фокусного расстояния.

Уравнение эллипса в параметрической форме
( left < beginx &= acos t \ y &= bsin t end right., ;;0 le t le 2pi),
где (a), (b) − полуоси эллипса, (t) − параметр.

Общее уравнение эллипса
(A + Bxy + C + Dx + Ey + F = 0),
где ( — 4AC Общее уравнение эллипса, полуоси которого параллельны осям координат
(A + C + Dx + Ey + F = 0),
где (AC > 0).

Периметр эллипса
(L = 4aEleft( e right)),
где (a) − большая полуось эллипса, (e) − эксцентриситет, (E) − полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближенные формулы для периметра эллипса
(L approx pi left[ <largefracnormalsizeleft(
right) — sqrt > right],;;L approx pi sqrt <2left( <+ > right)>,)
где (a), (b) − полуоси эллипса.

Площадь эллипса
(S = pi ab)

  1. Кривые второго порядка в математике с примерами решения и образцами выполнения
  2. Окружность и ее уравнения
  3. Эллипс и его каноническое уравнение
  4. Исследование формы эллипса по его уравнению
  5. Другие сведения об эллипсе
  6. Гипербола и ее каноническое уравнение
  7. Исследование формы гиперболы по ее уравнению
  8. Другие сведения о гиперболе
  9. Асимптоты гиперболы
  10. Эксцентриситет гиперболы
  11. Равносторонняя гипербола
  12. Парабола и ее каноническое уравнение
  13. Исследование формы параболы по ее уравнению
  14. Параллельный перенос параболы
  15. Уравнения кривых второго порядка как частные случаи общего уравнения второй степени с двумя переменными
  16. Дополнение к кривым второго порядка
  17. Эллипс
  18. Гипербола
  19. Парабола
  20. Пример задачи решаемой с применением кривых второго порядка
  21. Кривая второго порядка и её определение
  22. Окружность и ее уравнение
  23. Уравнение окружности как частный вид общего уравнения второй степени
  24. Эллипс и его уравнение
  25. Исследование уравнения эллипса
  26. Эксцентриситет эллипса
  27. Связь эллипса с окружностью
  28. Гипербола и ее уравнение
  29. Исследование уравнения гиперболы
  30. Эксцентриситет гиперболы
  31. Асимптоты гиперболы
  32. Равносторонняя гипербола
  33. Уравнение равносторонней гиперболы, отнесенной к асимптотам
  34. Парабола и ее простейшее уравнение
  35. Исследование уравнения параболы
  36. Уравнение параболы со смещенной вершиной и осью, параллельной оси Оу
  37. Конические сечения
  38. Кривая второго порядка и её вычисление
  39. Уравнение линии в декартовых и полярных координатах
  40. Окружность
  41. Эллипс
  42. Гипербола
  43. Парабола
  44. Понятие о приведении общего уравнения второго порядка к каноническому виду
  45. Решение заданий на тему: Кривые второго порядка
  46. Эллипс — определение и вычисление с примерами решения
  47. Эллипс в высшей математике
  48. Уравнение эллипсоида
  49. 📹 Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Кривые второго порядка в математике с примерами решения и образцами выполнения

1) всякая прямая в прямоугольной системе координат Связь эллипса с окружностьопределяется уравнением первой степени относительно переменных Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружность;

2) всякое уравнение первой степени Связь эллипса с окружностьв прямоугольной системе координат определяет прямую и притом единственную.

Мы займемся изучением линий, определяемых уравнениями второй степени относительно текущих
координат Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружность:

Связь эллипса с окружность

Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Коэффициенты уравнения (1) могут принимать различные действительные значения, исключая одновременное равенство Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьнулю (в противном случае уравнение (1) не будет уравнением второй степени).

Связь эллипса с окружность

Видео:Изображение окружности в перспективе. Эллипс.Скачать

Изображение окружности в перспективе. Эллипс.

Окружность и ее уравнения

Как известно, Окружностью называется множество всех точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки, называемой центром.

Пусть дана окружность радиуса Связь эллипса с окружностьс центром в точке Связь эллипса с окружностьтребуется составить ее уравнение.

Возьмем на данной окружности произвольную точку Связь эллипса с окружность
(рис. 38). Имеем

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

удовлетворяют координаты произвольной точки окружности. Более того, этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности, так как Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружность. Следовательно, (I) есть уравнение окружности радиуса Связь эллипса с окружностьс центром в точке Связь эллипса с окружность. Если центр окружности находится на оси Связь эллипса с окружность, т. е. если Связь эллипса с окружность, то уравнение (I) примет вид

Связь эллипса с окружность

Если центр окружности находится на оси Связь эллипса с окружностьт. е. если Связь эллипса с окружностьто уравнение (I) примет вид

Связь эллипса с окружность

Наконец, если центр окружности находится в начале координат, т. е. если Связь эллипса с окружность, то уравнение (I) примет вид

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Пример:

Составить уравнение окружности радиуса Связь эллипса с окружностьс центром в точке Связь эллипса с окружность.

Решение:

Имеем: Связь эллипса с окружность. Подставив эти значения в уравнение (I), найдем Связь эллипса с окружностьСвязь эллипса с окружность.

Из изложенного выше следует, что уравнение окружности является уравнением второй степени относительно переменных Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружность, как бы она ни была расположена в плоскости Связь эллипса с окружность. Уравнение окружности (I) является частным случаем общего уравнения второй степени с
переменными Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

В самом деле, раскрыв скобки в уравнении (1), получим

Связь эллипса с окружность

Справедливо следующее утверждение: если в уравнении (5) Связь эллипса с окружность, то Уравнение (5) определяет окружность.

Действительно, разделив уравнение (5) почленно на Связь эллипса с окружность, получим:

Связь эллипса с окружность

Дополним группы членов, стоящие в скобках, до полного квадрата:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Положим Связь эллипса с окружностьТак как, по условию, Связь эллипса с окружностьто можно положить Связь эллипса с окружность
Получим

Связь эллипса с окружность

Если в уравнении Связь эллипса с окружностьто оно определяет точку Связь эллипса с окружность(говорят также, что окружность вырождается в точку). Если же Связь эллипса с окружностьто уравнению (5) не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел (говорят также, что уравнение (5) определяет «мнимую» окружность).

Пример:

Найти координаты центра и радиус окружности

Связь эллипса с окружность

Решение:

Сравнивая данное уравнение с уравнением (1), находим: Связь эллипса с окружность. Следовательно, Связь эллипса с окружность.

Пример:

Установить, какое из уравнений:

Связь эллипса с окружность

определяет окружность. Найти координаты центра и радиус каждой из них.

Решение:

Первое уравнение не определяет окружность, потому что Связь эллипса с окружность. Во втором уравнении Связь эллипса с окружность. Однако и оно не определяет окружность, потому что Связь эллипса с окружность. В третьем уравнении условия Связь эллипса с окружностьвыполняются. Для окончательного вывода преобразуем его так:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Это уравнение, а следовательно, и уравнение 3), определяет окружность с центром Связь эллипса с окружностьи радиусом Связь эллипса с окружность.

В четвертом уравнении также выполняются условия Связь эллипса с окружностьОднако преобразовав его к виду
Связь эллипса с окружность, устанавливаем, что оно не определяет никакой линии.

Эллипс и его каноническое уравнение

Определение:

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Составим уравнение эллипса, фокусы Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностькоторого лежат на оси
Связь эллипса с окружностьи находятся на одинаковом расстоянии от
начала координат (рис. 39).

Связь эллипса с окружность

Обозначив Связь эллипса с окружность, получим Связь эллипса с окружностьПусть Связь эллипса с окружностьпроизвольная точка эллипса. Расстояния Связь эллипса с окружностьназываются фокальными радиусами точки Связь эллипса с окружность. Положим

Связь эллипса с окружность

тогда, согласно определению эллипса, Связь эллипса с окружность— величина постоянная и Связь эллипса с окружностьПо формуле расстояния между двумя точками находим:

Связь эллипса с окружность

Подставив найденные значения Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьв равенство (1), получим уравнение эллипса:

Связь эллипса с окружность

Преобразуем уравнение (3) следующим образом!

Связь эллипса с окружность

Имеем: Связь эллипса с окружностьположим

Связь эллипса с окружность

последнее уравнение примет вид

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Так как координаты Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьлюбой точки Связь эллипса с окружностьэллипса удовлетворяют уравнению (3),то они удовлетворяют уравнению (5).

Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки Связь эллипса с окружностьудовлетворяют уравнению (5) то она принадлежит эллипсу.

Пусть Связь эллипса с окружность— произвольная точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (5). Так как из (5)

Связь эллипса с окружность

то Связь эллипса с окружностьоткуда

Связь эллипса с окружность

Подставив (6) в соотношения (2) и проведя необходимые упрощения, получим

Связь эллипса с окружность

Но так как Связь эллипса с окружностьто

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

т. е. точка Связь эллипса с окружностьдействительно принадлежит эллипсу.

Уравнение (5) называется каноническим уравнением
эллипса.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Определим форму эллипса по его каноническому
уравнению

Связь эллипса с окружность

1. Координаты точки Связь эллипса с окружностьне удовлетворяют уравнению (1), поэтому эллипс, определяемый этим уравнением не проходит через начало координат.

Связь эллипса с окружность

Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив в уравнении (1) Связь эллипса с окружность, найдем Связь эллипса с окружностьСледовательно, эллипс пересекает ось Связь эллипса с окружностьв точках Связь эллипса с окружность. Положив в уравнении (1) Связь эллипса с окружность, найдем точки пересечения эллипса с осью Связь эллипса с окружность:
Связь эллипса с окружность(рис.40).

3. Так как в уравнение (1) переменные Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьвходят только в четных степенях, то эллипс симметричен относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

4. Определим область изменения переменных Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружность. В предыдущем параграфе (см. (7)) мы уже показали, что

Связь эллипса с окружность

Аналогично, переписав уравнение эллипса (1) в виде

Связь эллипса с окружность

получим Связь эллипса с окружностьоткуда Связь эллипса с окружностьили Связь эллипса с окружность

Таким образом, все точки эллипса находятся внутри прямоугольника, ограниченного прямыми Связь эллипса с окружность
(см. рис, 40).

5. Переписав уравнение (1) соответственно в вида

Связь эллипса с окружность

мы видим, что при возрастании Связь эллипса с окружностьот 0 до Связь эллипса с окружностьвеличина Связь эллипса с окружностьубывает от Связь эллипса с окружностьдо 0, а при возрастании Связь эллипса с окружностьот 0 до Связь эллипса с окружностьвеличина Связь эллипса с окружностьубывает от Связь эллипса с окружностьдо 0. Эллипс имеет форму, изображенную на рис. 41.

Связь эллипса с окружность

Точки Связь эллипса с окружностьпересечения эллипса с осями координат
называются вершинами эллипса. Отрезок Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружностьназывается
большой осью эллипса, а отрезок Связь эллипса с окружностьмалой осью. Оси Связь эллипса с окружностьявляются осями симметрии эллипса, а точка Связь эллипса с окружностьцентром симметрии (или просто центром) эллипса.

Пример:

Определить длину осей и координаты фокусов эллипса Связь эллипса с окружность

Решение:

Разделив обе части данного уравнения на 1176, приведем его к каноническому виду

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Следовательно, Связь эллипса с окружность

Пример:

Составить каноническое уравнение эллипса, если фокусное расстояние равно 10, а малая ось равна 6.

Решение:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Другие сведения об эллипсе

Мы рассмотрели эллипс, у которого Связь эллипса с окружностьЕсли же Связь эллипса с окружностьто уравнение

Связь эллипса с окружность

определяет эллипс, фокусы которого лежат на оси Связь эллипса с окружность(рис. 42). В этом случае длина большой оси равна Связь эллипса с окружность, а малой Связь эллипса с окружность. Кроме того, Связь эллипса с окружностьсвязаны между собой равенством

Связь эллипса с окружность

Определение:

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси и обозначается буквой Связь эллипса с окружность.

Если Связь эллипса с окружность, то, по определению,

Связь эллипса с окружность

При Связь эллипса с окружностьимеем

Связь эллипса с окружность

Из формул (3) и (4) следует Связь эллипса с окружность. При этом с
увеличением разности между полуосями Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьувеличивается соответствующим образом и эксцентриситет

Связь эллипса с окружность

эллипса, приближаясь к единице; при уменьшении разности между Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьуменьшается и эксцентриситет, приближаясь к нулю. Таким образом, по величине эксцентриситета можно судить о форме эллипса: чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс; чем меньше эксцентриситет, тем круглее эллипс. В частности, если Связь эллипса с окружностьи уравнение эллипса примет вид Связь эллипса с окружность, которое определяет окружность с центром в начале координат. Таким образом, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Из рис. 43, на котором изображены эллипсы Связь эллипса с окружностьи окружность Связь эллипса с окружность, хорошо видна зависимость формы эллипса от его эксцентриситета. В заключение поясним, как можно построить эллипс

Связь эллипса с окружность

Для этого на осях координат строим вершины эллипса Связь эллипса с окружность. Затем из вершины Связь эллипса с окружность(можно из Связь эллипса с окружность) радиусом, равным а, на большой оси делаем засечки Связь эллипса с окружность(рис. 44). Это будут фокусы эллипса, потому что Связь эллипса с окружность. Далее, берем нерастяжимую нить, длина которой равна Связь эллипса с окружность, и закрепляем ее концы в найденных фокусах. Натягиваем нить

Связь эллипса с окружность

острием карандаша и описываем кривую, оставляя нить все время в натянутом состоянии.

Пример:

Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Связь эллипса с окружность, если его большая ось равна 14 и Связь эллипса с окружность

Решение. Так как фокусы лежат на оси Связь эллипса с окружность, то Связь эллипса с окружностьПо
формуле (2) находим:

Связь эллипса с окружность

Следовательно, искомое уравнение, будет

Связь эллипса с окружность

Видео:Аналитическая геометрия: окружность и эллипсСкачать

Аналитическая геометрия: окружность и эллипс

Гипербола и ее каноническое уравнение

Определение:

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Составим уравнение гиперболы, фокусы которой Связь эллипса с окружностьлежат на оси Связь эллипса с окружностьи находятся на одинаковом расстоянии от начала координат (рис. 45).

Обозначив Связь эллипса с окружностьполучим Связь эллипса с окружность, Пусть
Связь эллипса с окружность— произвольная точка гиперболы.

Связь эллипса с окружность

Расстояния Связь эллипса с окружностьназываются фокальными радиусами точки Связь эллипса с окружность. Согласно определению гиперболы

Связь эллипса с окружность

где Связь эллипса с окружность— величина постоянная и Связь эллипса с окружностьПодставив

Связь эллипса с окружность

в равенство (1), получим уравнение гиперболы

Связь эллипса с окружность

Уравнение (2) можно привести к более простому виду; для этого преобразуем его следующим образом:

Связь эллипса с окружность

Имеем: Связь эллипса с окружность. Положим

Связь эллипса с окружность

тогда последнее равенство принимает вид

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Так как координаты Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьлюбой точки Связь эллипса с окружностьгиперболы удовлетворяют уравнению (2), то они удовлетворяют и уравнению (4).

Как и в случае эллипса (см. конец § 2), можно показать, что справедливо и обратное: если координаты точки Связь эллипса с окружностьудовлетворяют уравнению (4), то она принадлежит гиперболе.

Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Определим форму гиперболы по ее каноническому уравнению

Связь эллипса с окружность

1. Координаты точки Связь эллипса с окружность(0; 0) не удовлетворяют уравнению (1), поэтому гипербола, определяемая этим уравнением, не проходит через начало координат.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (1) Связь эллипса с окружность, найдем Связь эллипса с окружность. Следовательно, гипербола пересекает ось Связь эллипса с окружностьв точках Связь эллипса с окружность. Положив в уравнение (1) Связь эллипса с окружность, получим Связь эллипса с окружность, а это означает, что система

Связь эллипса с окружность

не имеет действительных решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось Связь эллипса с окружность.

3. Так как в уравнение (1) переменные Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьвходят только в четных степенях, то гипербола симметрична относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

4. Определим область изменения переменных Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружность; для этого из уравнения. (1) находим:

Связь эллипса с окружность

Имеем: Связь эллипса с окружностьили Связь эллипса с окружность; из (3) следует, что Связь эллипса с окружность— любое действительное число. Таким образом, все точки гиперболы расположены слева от прямой Связь эллипса с окружностьи справа от прямой Связь эллипса с окружность

5. Из (2) следует также, что

Связь эллипса с окружность

Это означает, что гипербола состоит из двух ветвей, одна из которых расположена справа от прямой Связь эллипса с окружность, а другая слева от прямой Связь эллипса с окружность.

Гипербола имеет форму, изображенную на рис. 46.

Точки Связь эллипса с окружностьпересечения гиперболы с осью Связь эллипса с окружностьназываются вершинами гиперболы. Отрезок Рис. 46.

Связь эллипса с окружность

соединяющий вершины гиперболы, называется действительной осью. Отрезок Связь эллипса с окружность, Связь эллипса с окружность, называется мнимой осью. Число Связь эллипса с окружностьназывается действительной полуосью, число Связь эллипса с окружностьмнимой полуосью. Оси Связь эллипса с окружностьявляются осями симметрии гиперболы. Точка Связь эллипса с окружностьпересечения осей симметрии называется центром гиперболы. У гиперболы (1) фокусы Связь эллипса с окружностьвсегда находятся на действительной оси.

Пример:

Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в точках Связь эллипса с окружность, а расстояние между фокусами равно 14.

Решение:

Имеем: Связь эллипса с окружность. По формуле Связь эллипса с окружностьнаходим Связь эллипса с окружность

Следовательно, искомое уравнение будет

Связь эллипса с окружность

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Связь эллипса с окружность, если длина ее действительной оси равна 16 и гипербола проходит через точку Связь эллипса с окружность.

Решение:

Имеем: Связь эллипса с окружность. Положив в уравнении (1) Связь эллипса с окружность, получим

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Другие сведения о гиперболе

Асимптоты гиперболы

Определение:

Прямая Связь эллипса с окружностьназывается
асимптотой кривой Связь эллипса с окружностьпри Связь эллипса с окружность, если

Связь эллипса с окружность

Аналогично определяется асимптота при Связь эллипса с окружность. Докажем, что прямые

Связь эллипса с окружность

являются асимптотами гиперболы

Связь эллипса с окружность

при Связь эллипса с окружность

Так как прямые (2) и гипербола (3) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти (рис. 47). Напишем уравнения прямых (2) и гиперболы (3), соответствую*
щие первой четверти:

Связь эллипса с окружность

Положив Связь эллипса с окружностьнайдем:

Связь эллипса с окружность

Следовательно, прямые (2) являются асимптотами гиперболы (3).

Отметим, что асимптоты (2) совпадают с диагоналям прямоугольника, стороны которого параллельны осям Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьи равны соответственно Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружность, а его центр находится в начале координат. При этом ветви гиперболы расположены внутри вертикальных углов,
образуемых асимптотами, и приближаются сколь угодно близко к асимптотам (рис.48).

Связь эллипса с окружность

Пример:

Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку Связь эллипса с окружностьи, имеющей асимптоты Связь эллипса с окружность

Решение:

Из данных уравнений асимптот имеем:

Связь эллипса с окружность

Заменив в уравнении гиперболы переменные Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностькоординатами точки Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьего найденным значением, получим:

Связь эллипса с окружность

Следовательно, искомое уравнение будет

Связь эллипса с окружность

Эксцентриситет гиперболы

Определение:

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами

Связь эллипса с окружность

к длине действительной оси и обозначается буквой Связь эллипса с окружность:

Связь эллипса с окружность

Из формулы Связь эллипса с окружность(§ 5) имеем Связь эллипса с окружностьпоэтому

Связь эллипса с окружность

Пример:

Найти эксцентриситет гиперболы Связь эллипса с окружность.

Решение:

Связь эллипса с окружность

По формуле (5) находим

Связь эллипса с окружность

Равносторонняя гипербола

Гипербола называется равносторонней, если длины ее полуосей равны между собой, т. е. Связь эллипса с окружность. В этом случае уравнение гиперболы принимает вид

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Равносторонняя гипербола определяется одним пара*
метром Связь эллипса с окружностьи асимптотами являются биссектрисы координатных углов:

Связь эллипса с окружность

У всех равносторонних гипербол один и тот же эксцентриситет:

Связь эллипса с окружность

Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, их можно принять за оси новой системы координат Связь эллипса с окружностьполученной в результате поворота осей старой системы вокруг начала координат на угол Связь эллипса с окружность(рис.49).

Связь эллипса с окружность

Составим уравнение равносторонней гиперболы относительно новой системы координат Связь эллипса с окружность. Для этого воспользуемся формулами
(4) § 3 гл. 2:

Связь эллипса с окружность

Положив Связь эллипса с окружность, получим:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Учитывая равенство (6), получим

Связь эллипса с окружность

Уравнение (8) называется уравнением равносторонней гиперболы, отнесенной к своим асимптотам.

Из уравнения (8) следует, что переменные Связь эллипса с окружность— величины обратно пропорциональные. Таким образом, равносторонняя гипербола, отнесенная к своим асимптотам, представляет собой график обратно пропорциональной зависимости.

Пример:

Составить каноническое уравнение
равносторонней гиперболы, проходящей через точку Связь эллипса с окружность.

Решение:

Заменив в уравнении (6) переменные Связь эллипса с окружностькоординатами точки Связь эллипса с окружность, получим:

Связь эллипса с окружность

Следовательно, искомое уравнение будет

Связь эллипса с окружность

Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Парабола и ее каноническое уравнение

Определение:

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, не проходящей через данную точку и
называемой директрисой.

Составим уравнение параболы, фокус Связь эллипса с окружностькоторой лежит на оси Связь эллипса с окружность, а
директриса Связь эллипса с окружностьпараллельна оси Связь эллипса с окружностьи удалена от нее на такое же расстояние, как и фокус от начала координат (рис.50).

Связь эллипса с окружность

Расстояние от фокуса Связь эллипса с окружностьдо директрисы Связь эллипса с окружностьназывается параметром параболы и обозначается через Связь эллипса с окружность. Из рис. 50 видно, что Связь эллипса с окружностьследовательно, фокус имеет координаты Связь эллипса с окружность, а уравнение директрисы имеет вид Связь эллипса с окружность, или Связь эллипса с окружность

Пусть Связь эллипса с окружность— произвольная точка параболы. Соединим точки
Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьи проведем Связь эллипса с окружность. Непосредственно из рис. 50 видно, что

Связь эллипса с окружность

а по формуле расстояния между двумя точками

Связь эллипса с окружность

согласно определению параболы

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Уравнение (1) является искомым уравнением параболы. Для упрощения уравнения (1) преобразуем его следующим образом:

Связь эллипса с окружность

Последнее уравнение эквивалентно

Связь эллипса с окружность

Координаты Связь эллипса с окружностьточки Связь эллипса с окружностьпараболы удовлетворяют уравнению (1), а следовательно, и уравнению (3).

Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки Связь эллипса с окружностьудовлетворяют уравнению (3), то она принадлежит параболе.

Связь эллипса с окружность

Но так как из (3) Связь эллипса с окружность, и в левой части последнего уравнения можно оставить знак «плюс», т. е. оно является исходным уравнением параболы (1).

Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы.

Исследование формы параболы по ее уравнению

Определим форму параболы по ее каноническому уравнению

Связь эллипса с окружность

1. Координаты точки Связь эллипса с окружностьудовлетворяют уравнению (1), следовательно, парабола, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат.

2. Так как в уравнение (1) переменная Связь эллипса с окружностьвходит только в четной степени, то парабола Связь эллипса с окружностьсимметрична относительно оси абсцисс.

Связь эллипса с окружность

Так как Связь эллипса с окружность. Следовательно, парабола Связь эллипса с окружностьрасположена справа от оси Связь эллипса с окружность.

4. При возрастании абсциссы Связь эллипса с окружностьордината Связь эллипса с окружностьизменяется от Связь эллипса с окружность, т. е. точки параболы неограниченно удаляются как от оси Связь эллипса с окружность, так и от оси Связь эллипса с окружность.

Парабола Связь эллипса с окружностьимеет форму, изображенную на рис. 51.

Связь эллипса с окружность

Ось Связь эллипса с окружностьявляется осью симметрии параболы. Точка Связь эллипса с окружностьпересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы. Отрезок Связь эллипса с окружностьназывается фокальным радиусом точки Связь эллипса с окружность.

5. Если фокус параболы лежит слева от оси Связь эллипса с окружность, а директриса справа от нее, то ветви параболы расположены слева от оси Связь эллипса с окружность(рис. 52, а). Уравнение такой параболы имеет вид

Связь эллипса с окружность

Координаты ее фокуса будут Связь эллипса с окружность; директриса Связь эллипса с окружностьопределяется уравнением Связь эллипса с окружность.

6. Если фокус параболы имеет координаты Связь эллипса с окружность, а директриса Связь эллипса с окружностьзадана уравнением Связь эллипса с окружность, то ветви параболы направлены вверх (рис. 52,6), а ее уравнение имеет вид

Связь эллипса с окружность

7. Наконец, если фокус параболы имеет координаты Связь эллипса с окружностьа директриса Связь эллипса с окружностьзадана уравнением Связь эллипса с окружность, то ветви параболы направлены вниз (рис. 52, в), а ее уравнение имеет вид

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Пример:

Дана парабола Связь эллипса с окружность. Найти координаты ее фокуса и составить уравнение директрисы.

Решение:

Данная парабола симметрична относительно оси Связь эллипса с окружность, ветви направлены вверх. Сравнивая данное уравнение с уравнением (3), находим:

Связь эллипса с окружность

Следовательно, фокус имеет координаты Связь эллипса с окружность, а уравнение директрисы будет Связь эллипса с окружность, или Связь эллипса с окружность.

Пример:

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, директриса которой задана уравнением Связь эллипса с окружность.

Решение:

Из условия задачи следует, что парабола симметрична относительно оси Связь эллипса с окружностьи ветви расположены слева от оси Связь эллипса с окружность, поэтому искомое уравнение имеет вид Связь эллипса с окружность. Так как Связь эллипса с окружностьи, следовательно, Связь эллипса с окружность

Параллельный перенос параболы

Пусть дана парабола с вершиной в точке Связь эллипса с окружность, ось симметрии которой параллельна оси Связь эллипса с окружность, а ветви направлены вверх (рис. 53).

Связь эллипса с окружность

Требуется составить ее уравнение. Сделаем параллельный перенос осей координат, поместив начало в точке Связь эллипса с окружность. Относительно новой системы координат Связь эллипса с окружностьпарабола определяется уравнением

Связь эллипса с окружность

Чтобы получить уравнение данной параболы относительно старой системы, воспользуемся формулами преобразования прямоугольных координат при параллельном переносе;

Связь эллипса с окружность

Подставив значения Связь эллипса с окружностьиз формул (2) в уравнение (1), получим

Связь эллипса с окружность

Преобразуем это уравнение следующим образом:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

С уравнением параболы вида (5) читатель хорошо знаком по школьному курсу.

Пример 1. Составить уравнение параболы с вершиной в точке Связь эллипса с окружностьи с фокусом в точке Связь эллипса с окружность.

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Связь эллипса с окружность(у них абсциссы одинаковы), ветви параболы направлены вверх (ордината фокуса больше ординаты вершины), расстояние фокуса от вершины равно Связь эллипса с окружность

Заменив в уравнении (3) Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностькоординатами точки Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьего найденным значением, получим:

Связь эллипса с окружность

Пример:

Дано уравнение параболы

Связь эллипса с окружность

Привести его к каноническому виду.

Решение:

Разрешив данное уравнение относительно переменной Связь эллипса с окружность, получим

Связь эллипса с окружность

Сравнивая это уравнение с уравнением (5), находим Связь эллипса с окружностьИз формул (4) имеем: Связь эллипса с окружность
следовательно, Связь эллипса с окружностьПодставляем найденные значения Связь эллипса с окружностьв уравнение (3):

Связь эллипса с окружность

Положив Связь эллипса с окружностьполучим Связь эллипса с окружностьт. е, каноническое уравнение данной параболы.

Уравнения кривых второго порядка как частные случаи общего уравнения второй степени с двумя переменными

Выше было установлено, что уравнение окружности есть частный случай общего уравнения второй степени с переменными Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружность:

Связь эллипса с окружность

Покажем, что и канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы являются частными случаями уравнения (1). В самом деле:
1) при Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьуравнение (1) примет вид

Связь эллипса с окружность

т. е. определяет эллипс;
2) при Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьуравнение (1) примет вид

Связь эллипса с окружность

т. е. определяет гиперболу;
3) при Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьуравнение (1) примет вид Связь эллипса с окружностьт. е. определяет параболу.

Видео:ЭллипсСкачать

Эллипс

Дополнение к кривым второго порядка

Пусть задана кривая, определяемая уравнением второй степени

Связь эллипса с окружность

где Связь эллипса с окружность— действительные числа; Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьодновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка.

Приведем еще одно определение кривой второго порядка.

Геометрическое место точек плоскости, для которых отношение их расстояний до заданной точки, называемой фокусом, и до заданной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, равная Связь эллипса с окружность, является кривой 2-го порядка с эксцентриситетом, равным Связь эллипса с окружность. Если Связь эллипса с окружность, то кривая второго порядка — эллипс; Связь эллипса с окружность— парабола; Связь эллипса с окружность— гипербола.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьэтой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная Связь эллипса с окружность. Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Каноническое уравнение эллипса: Связь эллипса с окружность.

Если Связь эллипса с окружность, то эллипс расположен вдоль оси Связь эллипса с окружность; если Связь эллипса с окружность, то эллипс расположен вдоль оси Связь эллипса с окружность(рис. 9а, 9б).

Если Связь эллипса с окружность, то, сделав замену Связь эллипса с окружность, перейдем в «штрихованную» систему координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид:

Связь эллипса с окружность

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение эллипса имеет канонический вид, называется канонической.

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Расстояния от начала координат до вершин Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьназываются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Связь эллипса с окружность

Центр симметрии эллипса, совпадающий с началом координат, называется центром эллипса.

Если Связь эллипса с окружность— расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов, то Связь эллипса с окружность.

Отношение Связь эллипса с окружностьназывается эксцентриситетом эллипса.

Расстояние от произвольной точки Связь эллипса с окружность, лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы, т.е. Связь эллипса с окружность.

С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе имеют вид Связь эллипса с окружность.

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьэтой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная Связь эллипса с окружность(рис. 10).

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение гиперболы имеет канонический вид, называется канонической. Каноническое уравнение гиперболы:

Связь эллипса с окружность

Ось абсцисс канонической системы пересекает гиперболу в точках, называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьназываются вещественной и мнимой полуосями гиперболы. Центр симметрии гиперболы, совпадающий с началом координат, называется центром гиперболы.

Если Связь эллипса с окружность— расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов гиперболы, то Связь эллипса с окружность.

Связь эллипса с окружность

Отношение Связь эллипса с окружностьназывается эксцентриситетом гиперболы.

Расстояние от произвольной точки Связь эллипса с окружность, лежащей на гиперболе, до каждого из фокусов равно Связь эллипса с окружность.

Гипербола с равными полуосями Связь эллипса с окружностьназывается равносторонней.

Прямые с уравнениями Связь эллипса с окружностьв канонической системе называются асимптотами гиперболы.

Прямые Связь эллипса с окружностьназывают директрисами гиперболы в канонической системе координат.

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки Связь эллипса с окружностьэтой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости (рис. 11).

Указанная точка Связь эллипса с окружностьназывается фокусом параболы, а фиксированная прямая — директрисой параболы.

Связь эллипса с окружность

Система координат, в которой парабола имеет канонический вид, называется канонической, а ось Связь эллипса с окружность— осью параболы.

Каноническое уравнение параболы:

Связь эллипса с окружность

Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Фокус параболы Связь эллипса с окружностьимеет координаты Связь эллипса с окружность.

Директрисой параболы называется прямая Связь эллипса с окружностьв канонической системе координат.

Расстояние от произвольной точки параболы до фокуса Связь эллипса с окружностьравно Связь эллипса с окружность.

Видео:Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. Эллипс

Пример задачи решаемой с применением кривых второго порядка

Линия задана уравнением Связь эллипса с окружностьв полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от Связь эллипса с окружностьдо Связь эллипса с окружностьи придавая значения через промежуток Связь эллипса с окружность; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью, привести его к каноническому виду; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Связь эллипса с окружность

Решение:

1) Вычисляя значения Связь эллипса с окружностьс точностью до сотых при указанных значениях Связь эллипса с окружность, получим таблицу:

Связь эллипса с окружность

Используя полученные табличные значения, построим кривую в полярной системе координат (рис. 17).

2) Используя формулы перехода

Связь эллипса с окружностьиз полярной в декартовую систему координат, получим: Связь эллипса с окружность.

Возведем левую и правую части в квадрат: Связь эллипса с окружностьВыделим полный квадрат и приведем к каноническому виду: Связь эллипса с окружность, где Связь эллипса с окружность

3) Это эллипс, смещенный на Связь эллипса с окружностьвдоль оси Связь эллипса с окружность.

Ответ: эллипс Связь эллипса с окружность, где Связь эллипса с окружность

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Видео:Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромбСкачать

Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромб

Кривая второго порядка и её определение

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением

Окружность и ее уравнение

Окружностью называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от одной точки, называемой центром.

Пользуясь этим определением, выведем уравнение окружности. Пусть радиус ее равен r, а центр находится в точке

Связь эллипса с окружность

О1(а; b). Возьмем на окружности произвольную точку М(х; у) (рис. 27).

По формуле расстояния между двумя точками можем написать:

Связь эллипса с окружность

или, после возведения обеих частей равенства в квадрат,

Связь эллипса с окружность

Так как точка М нами взята произвольно, а радиус r — величина постоянная, то равенство (1) справедливо для всех точек окружности, т. е. координаты любой ее точки удовлетворяют этому равенству. А если так, то равенство (1) нужно рассматривать как уравнение окружности.

В уравнении (1) а и bкоординаты центра окружности, а х и утекущие координаты.

Если положить а = 0, то уравнение (1) обратится в следующее:

Связь эллипса с окружность

и будет определять окружность с центром на оси Оу (рис. 28).

При b = 0 уравнение (1) примет вид

Связь эллипса с окружность

и будет определять окружность с центром на оси Ох (рис. 29).

Связь эллипса с окружность

Наконец, при а = 0 и b = 0 уравнение (1) преобразуется в следующее:

Связь эллипса с окружность

и будет определять окружность с центром в начале координат (рис. 30).

Можно построить окружность, имея ее уравнение. Пусть, например, требуется построить окружность

Связь эллипса с окружность

Перепишем это уравнение в следующем виде:

Связь эллипса с окружность

сравнивая это уравнение с(1), видим, что координаты центра окружности суть (2; — 3) и радиус ее r = 3. Построив

Связь эллипса с окружность

точку О1(2;—3), опишем из нее радиусом, равным 3 единицам масштаба, искомую окружность (рис. 31).

Уравнение окружности как частный вид общего уравнения второй степени

Раскрыв скобки в уравнении (1) , можем написать:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Умножив все члены последнего равенства на А, получим:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

тогда уравнение (1) окружности примет вид

Связь эллипса с окружность

Уравнение (2) является частным случаем общего уравнения второй степени с двумя переменными. В самом деле, сравним уравнение (2) с общим уравнением второй степени с двумя переменными, имеющим, как известно, следующий вид:

Связь эллипса с окружность

Мы видим, что уравнение (2) отличается от уравнения (3) только тем, что у первого коэффициенты при х2 и у2 одинаковы и отсутствует член, содержащий произведение ху.

Таким образом, окружность определяется общим уравнением второй степени с двумя переменными, если в нем коэффициенты при х2 и у2 равны между собой и отсутствует член с произведением ху.

Обратно, уравнение вида (2), вообще говоря, определяет окружность. Убедимся в этом на примере. Пусть дано уравнение

Связь эллипса с окружность

Перепишем его в следующем виде:

Связь эллипса с окружность

и преобразуем двучлены, стоящие в скобках, в полные квадраты суммы и разности, прибавив к первому 4, ко второму 16. Чтобы равенство при этом не нарушилось, увеличим и правую часть его на сумму 4+16. Получим:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Последнее равенство является уравнением окружности, имеющей радиус, равный 5, и центр в точке О1(-2; 4).

Бывают однако случаи, когда уравнение (2) при некоторых значениях коэффициентов не определяет окружности; например, уравнению

Связь эллипса с окружность

удовлетворяют координаты единственной точки (0; 0), а уравнению

Связь эллипса с окружность

не удовлетворяют координаты ни одной точки, так как сумма квадратов действительных чисел не может иметь отрицательного значения.

Пример:

Связь эллипса с окружность

и хорда Связь эллипса с окружностьНайти длину этой хорды.

Решение:

Так как концы хорды являются общими точками окружности и хорды, то их координаты удовлетворяют как уравнению первой, так и уравнению второй линии. Поэтому, чтобы найти эти координаты, нужно решить совместно уравнения окружности и хорды. Подставив значение

Связь эллипса с окружность

в уравнение окружности, получим:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Находим значение у:

Связь эллипса с окружность

Итак, концами хорды служат точки с координатами (4; 3) и (6; 1).

По формуле расстояния между двумя точками можем определить искомую длину хорды

Связь эллипса с окружность

Эллипс и его уравнение

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (и болыиая, чем расстояние между фокусами).

Пусть, например, на эллипсе взяты точки М1, M2, M3, М4 и т. д. (рис. 32). Если фокусы обозначить через F и F1, то согласно данному определению можно написать:

Связь эллипса с окружность

Геометрическое место точек, обладающих вышеуказанным свойствам (1), и есть эллипс.

Связь эллипса с окружность

На основании определения эллипса составим его уравнение. Для этого выберем систему координат следующим образом. За ось Ох примем прямую, проходящую через фокусы F и F1, а за ось Оу — прямую перпендикулярную

Связь эллипса с окружность

к FF1 и проведенную через середину отрезка FF1 (рис. 33). Обозначим расстояние F1F между фокусами через 2с, тогда координаты фокусов будут:

Связь эллипса с окружность

Возьмем на эллипсе произвольную точку М(х;у). Обозначим постоянную величину суммы расстояний каждой точки от фокусов через 2а, тогда

Связь эллипса с окружность

По формуле расстояния между двумя точками найдем:

Связь эллипса с окружность

Теперь равенство (2) перепишется следующим образом:

Связь эллипса с окружность

и будет представлять уравнение эллипса в принятой системе координат.

Упростим уравнение (3). Для этого перенесем один из радикалов в правую часть уравнения:

Связь эллипса с окружность

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность

Приведем подобные члены:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Сократив на 4 и снова возведя в квадрат обе части равенства, получим:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Перенесем все члены, содержащие х и у, в левую часть равенства, остальные члены — в правую:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Но согласно определению эллипса

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Из последнего неравенства следует, что Связь эллипса с окружностьа потому эту разность можно обозначить через Связь эллипса с окружностьПодставив это обозначение в равенство (4), найдем:

Связь эллипса с окружность

Наконец, разделим все члены последнего равенства на Связь эллипса с окружностьокончательно получим:

Связь эллипса с окружность

где х и у — текущие координаты точек эллипса, а

Связь эллипса с окружность

Уравнение (6) и есть простейший вид уравнения эллипса *).

*) Уравнение (6) получилось в результате двукратного возведения в квадрат уравнения (3), благодаря чему, вообще говоря, возможно появление посторонних корней. Можно показать, что уравнение (6) не имеет посторонних корней, т. е. любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (6), лежит на эллипсе.

Исследование уравнения эллипса

Определим сначала у из уравнения (5) :

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Из того же уравнения (5) найдем:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Рассмотрим теперь равенства (1) и (2).

I. Пусть

Связь эллипса с окружность

*) | х | означает, что х берется по абсолютной величине; таким образом, запись | х | Связь эллипса с окружность

Тогда каждому значению у, как мы видим из равенства (2), отвечают два значения х равные по абсолютной величине, но с разными знаками. Отсюда следует, что каждому значению у соответствуют на эллипсе две точки, симметричные относительно оси Оу.

Из сказанного заключаем: эллипс Связь эллипса с окружность симметричен относительно координатных осей.

II. Найдем точки пересечения эллипса с осью Ох. Пусть

Связь эллипса с окружность

тогда из равенства (2) имеем:

Связь эллипса с окружность

Отсюда следует: эллипс пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (— а; 0) (точки А и А1 на рис. 34).

III. Найдем точки пересечения эллипса с осью Оу. Пусть

Связь эллипса с окружность

тогда из равенства (1) имеем:

Связь эллипса с окружность

Отсюда заключаем, что эллипс пересекает ось Оу в двух точках, координаты которых (0; b) и (0; —b) (точки В и В1 на рис. 35).

Связь эллипса с окружность

IV. Пусть х принимает такие значения, что

Связь эллипса с окружность

тогда выражение под корнем в равенстве (1) будет отрицательным, и, следовательно, у будет иметь мнимые значения. А это значит, что не существует точек эллипса, абсциссы которых удовлетворяют условию (3), т. е. эллипс расположен внутри полосы, заключенной между прямыми х = + а и х = — а (рис. 34, прямые КL и РQ).

Если же положить

Связь эллипса с окружность

то из равенства (2) получим для х мнимые значения. Это говорит о том, что точки, удовлетворяющие условию (4), на эллипсе не лежат, т. е. эллипс заключен между прямыми у = + b и у = — b (рис. 35, прямые РК и QL .

Из сказанного следует, что все точка эллипса лежат внутри прямоугольника, стороны которого параллельны координатным осям и имеют длины, равные 2а и 2b, а диагонали пересекаются в начале координат (рис. 36).

Связь эллипса с окружность

Эллипс имеет форму, показанную на рис. 37, Точки A,, A1, В и В1 называются вершинами эллипса, а точка Оего центром. Отрезок А1А = 2а называется его большой осью, а отрезок В1В = 2bмалой осью, Отрезки и F1М носят название фокальных радиусов точки М.

Связь эллипса с окружность

Эксцентриситет эллипса

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между его фокусами к длине большой оси, т. e.

Связь эллипса с окружность

Эксцентриситет обычно обозначают буквой е. Таким образом,

Связь эллипса с окружность

Но согласно формуле (7)

Связь эллипса с окружность

Поэтому для определения эксцентриситета может служить

Связь эллипса с окружность

Так как 0 а уравнение (6) представляет эллипс, фокусы которого лежат на оси Оу; в этом случае его большая ось равна 2 b , а малая 2 а . В соответствии с этим формула (7) и формулы (1) и (2) настоящей лекции примут такой вид:

Связь эллипса с окружность

Пример:

Связь эллипса с окружность

Определить длину его осей, координаты вершин и фокусов, а также величину эксцентриситета.

Решение:

Разделив обе части данного уравнения на 400, получим:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Итак, большая ось эллипса Связь эллипса с окружностьа малая

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Координаты вершин его будут:

Связь эллипса с окружность

Чтобы найти координаты фокусов, нужно узнать величину Связь эллипса с окружность

Из равенства (7) имеем:

Связь эллипса с окружность

Следовательно, координаты фокусов будут:

Связь эллипса с окружность

Наконец, по формуле (1) настоящей лекции находим:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружностью

Положим, что полуоси эллипса равны между собой, т. е. а = b, тогда уравнение эллипса примет вид

Связь эллипса с окружность

Полученное уравнение, как известно, определяет окружность радиуса, равного а.

Посмотрим, чему будет равен эксцентриситет в этом случае; полагая в формуле (2)

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Отсюда заключаем, что окружность есть частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Гипербола и ее уравнение

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (эта постоянная берется по абсолютному значению, причем она меньше расстояния между фокусами и не равна нулю).

Связь эллипса с окружность

Пусть, например, точки М1, М2, M3, М4 лежат на гиперболе, фокусы которой находятся в точках F и F1 (рис. 39). Тогда, согласно данному выше определению, можно написать:

Связь эллипса с окружность

Пользуясь определением гиперболы, выведем ее уравнение.

Примем за ось Ох прямую, проходящую через фокусы F и F1 (рис. 40), а за ось Оу — прямую, перпендикулярную к отрезку F1F и делящую его пополам.

Связь эллипса с окружность

Положим F1F = 2c тогда координаты фокусов будут

Связь эллипса с окружность

Возьмем на гиперболе произвольную точку М(х; у) и обозначим величину разности расстояний каждой точки от фокусов через 2а; тогда

Связь эллипса с окружность

По формуле расстояния между двумя точками найдем:

Связь эллипса с окружность

и, заменив в равенстве (2) F1М и их выражениями, напишем:

Связь эллипса с окружность

Это и есть уравнение гиперболы относительно выбранной системы координат, так как оно согласно равенствам (1) справедливо для любой ее точки.
*) Знак + берется в случае, если F1М > , и знак —, если F1М Связь эллипса с окружность

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность

Приведем подобные члены:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Сократив на 4, снова возведем в квадрат обе части уравнения; получим:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Перенесем в левую часть члены, содержащие х и у, а остальные члены в правую:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Согласно определению гиперболы

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

При условии (5) разность Связь эллипса с окружностьимеет только положительное значение, а потому ее можно обозначить через Связь эллипса с окружность

Сделав это в равенстве (4), получим:

Связь эллипса с окружность

Разделив последнее равенство на Связь эллипса с окружностьнайдем окончательно:

Связь эллипса с окружность

где х и у— текущие координаты точек гиперболы, а

Связь эллипса с окружность

Равенство (7) представляет собой простейший вид уравнения гиперболы *).

*) Как и в случае эллипса, можно показать, что уравнение (7) равносильно уравнению (3), т. е. не имеет посторонних корней.

Исследование уравнения гиперболы

Из уравнения (6) имеем:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Из этого же уравнения (6) находим:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Исследуем уравнения (1) и (2) для выяснения геометрической формы гиперболы.

I. Найдем точки пересечения гиперболы с осью Ох. Для этого полагаем, у = 0 и из уравнения (2) получаем:

Связь эллипса с окружность

Отсюда следует: гипербола пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (— а; 0) (рис. 41, точки А и А1).

II. Положим в уравнении (1)

Связь эллипса с окружность

тогда у получит мнимое значение, а это значит, что на гиперболе нет точек, удовлетворяющих условию (3). Следовательно, в полосе между прямыми х = + а и х = — а (прямые KL и РQ на рис. 41) нет точек гиперболы

Связь эллипса с окружность

III. Пусть

Связь эллипса с окружность

тогда из равенства (1) найдем для каждого х два действительных значения у, равных по абсолютной величине, но с противоположными знаками. А это значит, что каждому значению х, удовлетворяющему неравенству (4), соответствуют на нашей кривой две точки, симметричные относительно оси Ох.

Связь эллипса с окружность

Следовательно, гипербола Связь эллипса с окружностьсимметрична относительно оси Ох.

С другой стороны, для каждого значения у из равенства (2) найдем два действительных значения х, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку, т. е. каждому значению у на гиперболе соответствуют две точки, симметричные относительно оси Оу.

Следовательно, гипербола Связь эллипса с окружность 1 симметрична относительно оси Оу.

IV. Если в уравнении (1) давать х значения, заключенные между +a и Связь эллипса с окружностьто величина у будет изменяться от 0 до : Связь эллипса с окружностьт. е. в этом случае каждому значению х соответствуют на кривой две точки, симметричные относительно оси Ох и отстоящие друг от друга тем дальше, чем больше величина абсциссы. Таким образом, можно сказать, что гипербола имеет бесконечную ветвь, расположенную справа от прямой х = с.

Если же давать х значения, заключенные между — а и Связь эллипса с окружность, то у будет изменяться опять от 0 до Связь эллипса с окружностьа это значит, что, как в предыдущем случае, гипербола имеет бесконечную ветвь, но идущую влево от прямой х = — а. Итак, гипербола есть кривая, состоящая из двух ветвей, простирающихся в бесконечность.

Из всего изложенного следует, что гипербола Связь эллипса с окружность

состоит из двух симметричных относительно оси Оу бесконечных ветвей, одна из которых расположена справа от

Связь эллипса с окружность

прямой х = + а, а другая слева от прямой х = — а. Каждая из этих ветвей симметрична относительно оси Ох (рис. 42).

Точки А(а; 0) и А1(- а; 0) называются вершинами гиперболы, а точка О (0; 0) — ее центром.

Отрезок АА1 = 2а носит название действительной или вещественной оси гиперболы в отличие от оси ВВ1 = 2b, называемой мнимой *).

*) Отрезок ВВ1 = 2b называется мнимой осью, так как на нем нет точек гиперболы.

Отрезки F1М и фокальные радиусы точки М.

Эксцентриситет гиперболы

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине вещественной оси, т. е. Связь эллипса с окружность

Эксцентриситет гиперболы, так же как и для эллипса, обозначается буквой е:

Связь эллипса с окружность

Но согласно равенству (8)

Связь эллипса с окружность

поэтому формулу (1) можно представить в следующем виде:

Связь эллипса с окружность

Так как для гиперболы с > а , то дробь

Связь эллипса с окружность

а потому эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Асимптоты гиперболы

Построим на осях гиперболы

Связь эллипса с окружность

прямоугольник LQRS со сторонами, равными 2а и 2b и проведем его диагонали LR и QS продолжив их по обе стороны (рис. 43).

Связь эллипса с окружность

Прямая LR проходит через начало координат, поэтому ее уравнение будет:

Связь эллипса с окружность

Но угловой коэффициент

Связь эллипса с окружность

Заменив в уравнении (1) Связь эллипса с окружностьнайденным его значением, получим уравнение прямой LR в следующем виде:

Связь эллипса с окружность

Прямая QS также определяется уравнением (1), но угловой коэффициент ее будет уже другой, а именно:

Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность

Таким образом, уравнение прямой QS будет:

Связь эллипса с окружность

Обычно уравнения (2) и (3) записывают следующим образом:

Связь эллипса с окружность

Между прямыми, представленными уравнениями (4), и гиперболой существует связь; выясним ее.

Решим совместно способом подстановки уравнения (4) и

уравнение гиперболы Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

что невозможно, так как Связь эллипса с окружность

Таким образом, прямые (4) х2 уа

и гипербола Связь эллипса с окружностьне имеют общих точек, т. е. прямые (4) не пересекают гиперболу.

Возьмем на прямой LR и на гиперболе точки М и N, расположенные в первом координатном углу и имеющие одну и ту же абсциссу. Ординатой точки М служит РМ; обозначим ее через Y в отличие от ординаты точки N которую обозначим буквой у. Из уравнения (2) можно написать:

Связь эллипса с окружность

Из уравнения гиперболы имеем:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

и посмотрим, как она будет изменяться при возрастании абсциссы. Для этого умножим и разделим правую часть последнего равенства на выражение Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Пусть величина х в равенстве (5) бесконечно возрастает, тогда знаменатель дроби также бесконечно растет, а сама дробь уменьшается, приближаясь к нулю. Таким образом, гипотенуза и, следовательно, катет NT в прямоугольном треугольнике МNТ стремится к нулю. Из сказанного делаем вывод: при неограниченном возрастании абсциссы х гипербола приближается к прямой LR как угодно близко, нигде ее не пересекая.

Так как прямые LR и QS, а также точки гиперболы симметричны относительно оси Ох, то можно сказать, что и часть гиперболы, расположенная в четвертом координатном углу, как угодно близко подходит к прямой QS , нигде ее не пересекая.

Вывод, сделанный для правой ветви гиперболы, справедлив и для ее левой ветви благодаря той же симметричности прямых (4) и гиперболы относительно координатных осей.

Связь эллипса с окружность

называются асимптотами гиперболы.

Из сказанного в настоящей лекции можно сделать заключение, что гипербола расположена всеми своими точками внутри вертикальных углов, образуемых асимптотами, и нигде не выходит за их границы. Этим обстоятельством можно воспользоваться для построения гиперболы в случае, если не требуется точного, а достаточно только приближенного ее изображения; для этого, нарисив асимптоты, нужно провести плавную кривую линию, постепенно приближая ее к асимптотам.

Пример:

Дана гипербола Связь эллипса с окружность

Узнать, лежит ли точка A(2; 1,5) на какой-либо ее асимптоте.

Решение:

Из данного уравнения имеем:

Связь эллипса с окружность

Следовательно, уравнения асимптот будут:

Связь эллипса с окружность

Так как точка А лежит согласно условию в первом координатном углу, то она может принадлежать только асимптоте, определяемой уравнением

Связь эллипса с окружность

Подставив в него вместо х и у координаты точки А, получим тождество:

Связь эллипса с окружность

Значит, точка А лежит на указанной асимптоте гиперболы.

Равносторонняя гипербола

Если в уравнении гиперболы

Связь эллипса с окружность

положим а = b то это уравнение примет вид

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Уравнение (1) определяет гиперболу, у которой полуоси равны между собой. Такая гипербола называется равносторонней. Уравнения асимптот в этом случае будут:

Связь эллипса с окружность

так как отношение

Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность

Как видно из уравнения (2), угловые коэффициенты асимптот равны + 1 и —1 . Если обозначить углы, образуемые асимптотами с положительным направлением оси Ох, соответственно через а и а1 (рис. 44), то

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Следовательно, угол между асимптотами будет:

Связь эллипса с окружность

Отсюда заключаем: асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.

Уравнение равносторонней гиперболы, отнесенной к асимптотам

Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, то их можно принять за оси прямоугольной системы координат и рассматривать гиперболу по отношению к этим новым осям. Выведем уравнение равносторонней гиперболы для этого случая.

Пусть дана равносторонняя гипербола. Тогда ее уравнение по отношению к координатным осям Ох и Оу (рис. 45)

выразится, как было пока-* у зано в , в виде

Связь эллипса с окружность

Взяв на гиперболе произвольную точку М (х; у) и построив ее координаты, будем иметь:

Связь эллипса с окружность

Примем теперь за оси координат асимптоты гиперболы: ОХ— за ось абсцисс, ОY — за ось ординат. Опустив перпендикуляр МС на новую ось абсцисс, найдем:

Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность

Выразим новые координаты X н Y точки М через старые х и у. Для этого из точки А проведем Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружность

Обратим внимание на то, что в образовавшихся прямоугольных треугольниках АМВ и АОD

Связь эллипса с окружность

как углы, образованные взаимно перпендикулярными прямыми. Но

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Из рисежа имеем:

Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность

Перемножив равенства (2) и (3) и приняв во внимание равенство (1), получим:

Связь эллипса с окружность

Положим для краткости

Связь эллипса с окружность

тогда равенство (4) перепишется так:

Связь эллипса с окружность

где m— постоянная величина.

Таково уравнение равносторонней гиперболы, если за оси координат принять ее асимптоты.

Как видно из уравнения (5), переменные X и Y — величины обратно пропорциональные, а потому можно сказать, что равносторонняя гипербола ху = m представляет собой график обратно пропорциональной зависимости между переменными величинами.

Парабола и ее простейшее уравнение

Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой <при условии, что фокус не лежит на директрисе).

Пусть точки М1 М2, М3, М4 лежат на параболе (рис. 46).

Связь эллипса с окружность

Если точка F изображает фокус, а прямая АВ— директрису, то согласно данному выше определению можем написать:

Связь эллипса с окружность

Выведем уравнение параболы, пользуясь ее определением. Для этого выберем систему координат, приняв за ось Ох прямую, проведенную через точку F (фокус) перпендикулярно к директрисе АВ, а за

ось Оу — прямую, проходящую через середину отрезка КF перпендикулярно к последнему (рис. 47). Обозначим

Связь эллипса с окружность

тогда координаты фокуса F будут Связь эллипса с окружность

Возьмем на параболе произвольную точку М(x; у) расстояния ее от фокуса F и от директрисы АВ будут выражаться соответственно отрезками и МN. Согласно определению параболы, можем написать:

Связь эллипса с окружность

Применяя формулу расстояния между двумя точками и приняв во внимание, что точка N имеет координаты Связь эллипса с окружность, найдем:

Связь эллипса с окружность

Заменив и МN в равенстве (1) их выражениями, получим:

Связь эллипса с окружность

Это и есть уравнение параболы относительно выбранной системы координат, так как оно справедливо для любой ее точки.

Упростим уравнение (2). Для этого возведем обе части его в квадрат:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Приведя подобные члены, получим простейшее уравнение параболы

Связь эллипса с окружность

*) Можно показать, что уравнение (3) равносильно уравнению (2). Величина р называется параметром параболы.

Исследование уравнения параболы

Из уравнения (3) найдем:

Связь эллипса с окружность

Исследуем уравнение (1) для выяснения геометрической формы нашей кривой, полагая р > 0.

I. Положим

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Отсюда следует: парабола Связь эллипса с окружностьпроходит через начало координат.

II. Если х 0, то у имеет два действительных значения, равных по абсолютной величине, но с разными знаками. Это значит, что каждому положительному значению х на параболе соответствуют две точки, расположенные симметрично относительно оси Ох.

Следовательно, парабола Связь эллипса с окружность симметрична относительно оси Ох.

IV. Пусть х неограниченно возрастает, тогда и Связь эллипса с окружностьбудет неограниченно расти, т. е. точки параболы с перемещением вправо от оси Оу неограниченно удаляются вверх и вниз от оси Ох.

Итак, парабола Связь эллипса с окружностьсостоит из бесконечных ветвей.

Вышеизложенное позволяет представить параболу, как показано на рис. 48.

Связь эллипса с окружность

Точка О называется вершиной параболы, отрезок фокальным радиусом точки М параболы, а бесконечная прямая Ох является ее осью симметрии.

Если директрису параболы поместить справа от начала координат, то фокус и ветви ее расположатся как показано на рисеже 49.

Связь эллипса с окружность

При этом абсциссы точек параболы будут удовлетворять условию

Связь эллипса с окружность

а потому ее уравнение примет вид:

Связь эллипса с окружность

Парабола может быть симметрична и относительно оси Оу в этом случае фокус ее будет лежать па оси ординат, а директрисой будет прямая, параллельная оси Ох. Как видно при этом условии координатные оси поменяются ролями, и уравнение параболы примет вид

Связь эллипса с окружность

если ветви ее направлены вверх (рис. 50), и

Связь эллипса с окружность

если ветви направлены вниз (рис. 51).

Связь эллипса с окружность

Пример:

Связь эллипса с окружность

Найти координаты ее фокуса и написать уравнение директрисы.

Решение:

Данная парабола симметрична относительно оси Ох и расположена направо от оси Оу. Из уравнения находим:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Расстояние фокуса от начала координат равно Связь эллипса с окружность, поэтому абсцисса фокуса будет Связь эллипса с окружностьИтак, фокус находится в точке

Директрисой служит прямая, параллельная оси Оу и отстоящая от последней на расстоянии Связь эллипса с окружностьСледовательно,

уравнение директрисы параболы будет х = — 3.

Пример:

Фокус параболы с вершиной в начале координат лежит в точке F(0; —4). Написать уравнение этой параболы.

Решение:

Согласно условию данная парабола симметрична относительно оси Оу, а ветви ее направлены вниз, поэтому искомое уравнение найдется из (3). Так как

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

и уравнение параболы будет:

Связь эллипса с окружность

Уравнение параболы со смещенной вершиной и осью, параллельной оси Оу

Возьмем уравнения параболы (2) и (3) и запишем их в следующем виде:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Положив в уравнении (1)

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Уравнение (2) определяет параболу, ветви которой направлены вверх, если А > О, вниз, если А Связь эллипса с окружность

Возьмем на параболе произвольную точку М(х; у). Опустив из нее перпендикуляр МР на ось Ох, будем иметь:

Связь эллипса с окружность

Проведем через О1 прямые О1Х и QY, параллельные координатным осям Ох и Оу, и положим временно, что прямые О1Х и О1Y служат осями новой системы координат. Обозначим координаты точки М в этой системе через X и Y, т. е.

Связь эллипса с окружность

Уравнение параболы в новой системе координат напишется следующим образом:

Связь эллипса с окружность

Чтобы найти ее уравнение относительно прежних осей Ох и Оу, нужно X и Y выразить через х и y. Так как

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Подставив в уравнение (3) найденные значения X и Y, получим:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Упростим уравнение (4); для этого раскроем в нем скобки.

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность

тогда уравнение (5) примет вид

Связь эллипса с окружность

Это—уравнение параболы с вершиной, лежащей в любой точке плоскости, и с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Рассмотрим частные случаи.

Пусть абсцисса вершины параболы a = 0; тогда величина В в равенстве (6) также будет нулем и уравнение (8) примет следующий вид:

Связь эллипса с окружность

Полученное уравнение определяет параболу, у которой вершина лежит на оси Оу, являющейся в то же время и ее осью симметрии (рис. 53).

Связь эллипса с окружность

Положим, что одна из точек параболы (исключая ее вершину) лежит в начале координат; тогда координаты (0; 0) должны удовлетворять уравнению (8). Заменив в нем х и у нулями, найдем С=0. В этом случае уравнение (8) получит вид

Связь эллипса с окружность

и будет определять параболу, проходящую через начало координат (рис. 54).

Связь эллипса с окружность

Заметим, что и уравнение (2) можно рассматривать как частный случай уравнения (8). Действительно, положив в равенствах (6) и (7)

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

вследствие чего уравнение (8) преобразуется в следующее:

Связь эллипса с окружность

Из сказанного следует, что парабола, у которой ось симметрии параллельна оси Оу или совпадает с ней, определяется уравнением

Связь эллипса с окружность

при любых значениях А, В и С, кроме А = 0.

Убедимся на примере, что справедливо и обратное утверждение: всякое уравнение вида (8) определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Пусть дано уравнение

Связь эллипса с окружность

Преобразуем его следующим образом:

Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

тогда уравнение (10) примет вид:

Связь эллипса с окружность

Уравнение (11) имеет такой же вид, как и уравнение (2), поэтому оно, а следовательно, и уравнение (9) определяют параболу, у которой ось симметрии параллельна оси Оу.

Для построения параболы, определяемой уравнением вида (8), можно использовать обычный прием, применяемый для вычерчивания графиков функций, а именно: дав х ряд значений, вычислить значения у, а затем, построив точки по найденным координатам, провести через них плавную линию.

Пример:

Связь эллипса с окружность

Решение:

Прежде всего найдем абсциссы точек пересечения данной параболы с осью Ох; положив у = 0, получим:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Так как найденные точки симметричны относительно оси параболы, то вершина последней, находясь на этой оси, имеет 0 + 4 0

абсциссу, равную Связь эллипса с окружностьордината же ее

Связь эллипса с окружность

Этих трех точек достаточно для приближенного изображения параболы.

Для более точного ее представления нужны дополнительные точки. Составим следующую таблицу:

Связь эллипса с окружность

Построив эти точки и прозедя через них плавную линию, получим искомую параболу (рис. 55).

Пример:

Связь эллипса с окружность

Решение:

Связь эллипса с окружность

мнимые, а потому ось Ох не пересекает данную параболу. В этом случае следует найти абсциссы точек пересечения параболы с прямой

Связь эллипса с окружность

(-1 — свободный член данного уравнения параболы)

Связь эллипса с окружность

Решая для этой цели систему уравнений

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

Полученные точки симметричны относительно оси параболы, поэтому абсцисса ее вершины равна Связь эллипса с окружностьордината же ее

Связь эллипса с окружность

Присоединим к этим точкам несколько дополнительных точек. Составим таблицу:

Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность

Конические сечения

Окружность, эллипс, гипербола и парабола определяются, как мы установили в предыдущих лекциях уравнениями второй степени относительно текущих координат; поэтому их называют кривыми второго порядка. Они были известны еще древним грекам, которые изучали эти кривые, рассматривая их как результат сечения прямого кругового конуса плоскостью в следующих четырех случаях.

I. Секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса; в сечении получается окружность (рис. 57).

Связь эллипса с окружность

II. Секущая плоскость образует с осью конуса угол, не равный 90°, и пересекает все его образующие по одну сторону от вершины S; в сечении получается эллипс (рис. 58).

III. Секущая плоскость параллельна какой-либо образующей конуса; при этом получается кривая, называемая параболой (рис. 59).

IV. Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; при этом получаются две бесконечные ветви, образующие гиперболу (рис. 60).

Окружность, эллипс, гипербола и парабола называются коническими сечениями.

Конические сечения изучались в древности исключительно геометрическим путем, что представляло большие трудности, и только со времени Декарта, давшего метод координат, изучение их значительно упростилось.

Видео:Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интегралаСкачать

Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интеграла

Кривая второго порядка и её вычисление

Уравнение линии. Кривые второго порядка. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Приведение к каноническому виду.

Уравнение линии в декартовых и полярных координатах

В лекции 3 было введено понятие неявной функции, задаваемой уравнением вида F(x,y) = 0.

Определение 6.1. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению
(6.1) F(x;y) = 0
называется линией (плоской кривой).

Не всякое уравнение определяет линию. Например, уравнение x² + y² = -1 не определяет никакой линии. Кроме того, линия может состоять из отдельных точек. Так, например, уравнению x² + y² = 0 удовлетворяет только начало координат.

Линия не обязательно является графиком функции. Так, например, уравнение x² + y² = 1 определяет окружность с центром в начале координат и радиуса 1 (т.к. d = Связь эллипса с окружность= 1, расстояние от начала координат равно 1). Однако это не будет графиком функции у от х, т.к. каждому х, |x| ≤ 1, соответствует два значения у: у = ±Связь эллипса с окружность, т.е. линия задается двумя функциями у = Связь эллипса с окружность(верхняя полуокружность) и у = — Связь эллипса с окружность(нижняя полуокружность).

Уравнение произвольной окружности с центром в точке M(a;b) и радиусом R будет иметь вид:
(6.2) (х — а)² + (у- b)² = R²,
т.к. окружность радиусом R есть геометрическое место точек плоскости, находящихся на расстоянии R от центра, т.е. в соответствии с формулой ( 6.2) d = Связь эллипса с окружность= R.

В частности, окружность с центром в начале координат, радиусом R, описывается уравнением
x² + y² = R².

Пример 6.1. Какую линию описывает уравнение x² + y² = Rx?

Решение: Перенося Rx в левую часть и выделяя полный квадрат, получаем:
x² + y² = Rx ⇔ X2 — Rx + у² = 0 ⇔ x² — Rx + Связь эллипса с окружность
(х — Связь эллипса с окружность) + y² = Связь эллипса с окружность.

Ответ: данное уравнение описывает окружность с центром в точке M(Связь эллипса с окружность;0) и радиусом Связь эллипса с окружность.

Линия может определяться на плоскости уравнением как в декартовых, так и в полярных координатах: F(Связь эллипса с окружность; r) = 0. Если при этом зависимость r от Связь эллипса с окружностьобладает тем свойством, что каждому значению Связь эллипса с окружностьиз области определения соответствует единственное значение r, то данная линия будет графиком функции r от Связь эллипса с окружность: r = f(Связь эллипса с окружность).

Пример 6.2. Построить график функции, заданной в полярных координатах уравнением r = 2 sin3Связь эллипса с окружность, Связь эллипса с окружность∈ (—∞; ∞).

Решение: Составим таблицу некоторых значений этой функции:

Связь эллипса с окружность0Связь эллипса с окружностьСвязь эллипса с окружностьСвязь эллипса с окружностьСвязь эллипса с окружностьСвязь эллипса с окружностьСвязь эллипса с окружностьСвязь эллипса с окружность
r01Связь эллипса с окружность2Связь эллипса с окружность10-2

Связь эллипса с окружностьРис. 70. График функции r = 2 sin 3 Связь эллипса с окружностьв декартовых координатах

Далее, пользуясь тем, что из вида графика функции r = 2 sin 3Связь эллипса с окружность, приведенного в декартовых координатах на рис. 70, следует, что неотрицательные значения г повторяются на промежутках Связь эллипса с окружность∈ [0; Связь эллипса с окружность], Связь эллипса с окружность∈ [Связь эллипса с окружность;π], Связь эллипса с окружность∈ [-Связь эллипса с окружность;Связь эллипса с окружность] и т. д.. Отсюда заключаем, что если в полярных координатах построить график в секторе Связь эллипса с окружность∈ [0; Связь эллипса с окружность], то в секторах Связь эллипса с окружность∈ [Связь эллипса с окружность; π], Связь эллипса с окружность∈ [— Связь эллипса с окружность; Связь эллипса с окружность] и т. д. вид графика будет аналогичный, а в секторах Связь эллипса с окружность∈ (Связь эллипса с окружность; Связь эллипса с окружность), Связь эллипса с окружностьСвязь эллипса с окружность;0) и т.д. графика не будет, т.к. там r Связь эллипса с окружностьРис. 71. График функции r = 2 sin 3 Связь эллипса с окружностьв полярных координатах

Такой график называют называют “трехлепестковая роза”.

Кривые второго порядка:

Определение 6.2. Кривой второго порядка называется линия, определяемая в декартовых координатах уравнением:
(6.3) Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = O.

Здесь коэффициенты — действительные числа и, по крайней мере, одно из чисел A₁B или C не равно нулю. Удобство таких обозначений для коэффициентов (2В, 2D, 2Е) станет ясно позже.

Всего существует три ’’реальных” кривых второго порядка: эллипс, (окружность — частный случай эллипса) гипербола и парабола, не считая такие линии, как ’’пара пересекающихся прямых” (ху = 0), «пара параллельных прямых” ((x — у)² — 4), ’’точка” ((x — 5)² + (у — 1)² = 0), ’’прямая” (х — 1)² = 0) и ’’мнимые кривые” (x² + y² + 5 = 0), которым не соответствует ни одна точка.

Окружность

Ранее было получено уравнение ( 6.2) окружности с центром в точке M(а; b), радиусом R. Это уравнение вида ( 6.3), т.е. окружность есть кривая второго порядка — можно показать, что уравнение (6.3), в котором A = C и B = O c помощью дополнения до полного квадрата каждой группы членов Ax² + 2Dx и By² + 2Еу приводится к виду (6.2), определяющему окружность радиуса R, или к виду: (х — а)² + (у — b)² = -R², не определяющему линию при R ≠ 0. Покажем это на примере.

Пример:

Показать, что уравнение 2x² + 2y² — 4x + 8y — 13 = 0 определяет окружность.

Решение: Поделив обе части на 2, получим уравнение в виде: x² + y² — 2x + 4y — 6,5 = 0 или, выделяя полный квадрат: (x² — 2х + 1) + (у² + 4y + 4) = 11,5 ⇔ (х — 1)² + (у + 2)² =11,5. Мы получим уравнение окружности с центром M(1; —2) и радиусом R = √11,5.

Пример:

Показать, что уравнение х² + у² + 6х — 6у + 22 = 0 не определяет никакой линии.

Решение:

Аналогично предыдущему, выделяя полный квадрат, получаем: х² + у² + 6х — 6у + 22 = 0 ⇔ (х² + 6х + 9) + (у² — 6у + 9) = — 4 ⇔ (x + 3)² + (y — 3)² =-4.

Эллипс

Определение:

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равна постоянной величине.

Обозначим фокусы F₁ и F₁, расстояние между ними 2с, а сумму расстояний до них от точек эллипса через 2а (2а > 2с). Выберем декартову систему координат как показано на рис. 72. По определению эллипса: MF₁ + MF₂ = 2а. Пользуясь формулой (2.6) получаем:
Связь эллипса с окружность
Связь эллипса с окружность
Связь эллипса с окружность
Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружностьРис. 72. Фокусы эллипса и гиперболы

Обозначив b² = a² — с² > 0, получаем: b²x² + a²y² — a²b² или:
(6.4) Связь эллипса с окружность

Уравнение ( 6.4) называется каноническим уравнением эллипса, а и b — полуосями, а — большая полуось, b — малая, т.к. b = Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружностьРис. 73. Эллипс

Так как 2а > 2с, то ε т.е. тем меньше эллипс вытянут вдоль фокальной оси Ох. В пределе, при ε → 0,a = b и получается окружность x² + у² = а² радиусом а При этом с = Связь эллипса с окружность= 0, т.е. F₁ — F₂ = 0. Если эллипс расположен так, что центр его симметрии находится в точке P(x₀; y₀), а полуоси параллельны осям координат, то, перейдя к новым координатам X = х — х₀, У = у — у₀, начало которых совпадает с точкой Р, а оси параллельны исходным (см. п. 2.8), получим, что в новых координатах эллипс описывается каноническим уравнением Связь эллипса с окружностьУравнение такого эллипса в старых координатах будет:
(6.5) Связь эллипса с окружность

Гипербола

Определение 6.4. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равен постоянной величине.

Обозначим фокусы F₁ и F₂, расстояние между ними 2с, а модуль разности расстояний до них от точек гиперболы через 2a (2c > 2a > 0). Выберем декартову систему координат, как показано на рис. 72. По определению гиперболы: MF₁ — MF₂ = ±2а. Пользуясь формулой (2.6), аналогично тому, как это было сделано для эллипса, получаем:
Связь эллипса с окружность= ±2a ⇒ (а² — c²)x² + a²y² = a²(a² — с²). Обозначив b² = с² — a² > 0 (сравните с выводом формулы ( 6.4) для эллипса), получаем: -b²x² + a²y² = -b²a², или:
Связь эллипса с окружность

Уравнение (6.6) называется каноническим уравнением гиперболы, а и b — полуосями, а — действительной полуосью, b — мнимой. Так как х и у входят в уравнение только в четных степенях, гипербола симметрична относительно осей Ox и Оу. Выразив у из уравнения ( 6.6), получаем: Связь эллипса с окружность, |x| ≥ а, что означает, что гипербола состоит из двух симметричных половин, верхней у = Связь эллипса с окружностьи нижней у = — Связь эллипса с окружность. При х = а у = 0, при возрастании х от 0 до +∞, у для верхней части возрастает от 0 до +∞. C учетом симметрии, получаем линию, изображенную на рис. 74.

Точки пересечения гиперболы с осью Ox (фокальной осью) называются ее вершинами A₂(а;0), A₁(-a;0). C осью ординат гипербола не пересекается, поэтому фокальная ось называется действительной осью (а — действительная полуось), а перпендикулярная ей ось — мнимой осью (b — мнимая полуось). Можно показать, что при неограниченном возрастании абсциссы точка гиперболы неограниченно приближается к прямой у = Связь эллипса с окружность(изображена на рис. 74 пунктиром). Такая прямая, к которой неограниченно приближается некоторая линия, называется асимптотой. Из соображений симметрии вытекает, что у гиперболы две асимптоты: у = Связь эллипса с окружностьи у =-Связь эллипса с окружность, изображенные на рис. 74 пунктиром. Прямоугольник, с центром в начале координат, со сторонами 2а и 2b, параллельными осям, называется основным. Асимптоты являются его диагоналями.

Связь эллипса с окружностьРис. 74. Гипербола

Отношение Связь эллипса с окружностьназывается эксцентриситетом гиперболы. Т.к. 2α 1. Эксцентриситет определяет форму гиперболы: чем меньше е, тем более вытянут в направлении фокальной оси ее основной прямоугольник (Связь эллипса с окружность= Связь эллипса с окружность= Связь эллипса с окружность— 1 = ε² — 1). Если а = b, гипербола называется равносторонней (равнобочной). Для нее х² — у² = а², асимптоты: у = х, у = —х, ε = Связь эллипса с окружность= √2. Если центр гиперболы (центр ее симметрии) находится в точке P(x₀; y₀), a оси параллельны осям координат, то, применяя параллельный перенос координат (п. 2.8), аналогично тому, как это было сделано для эллипса, получим уравнение гиперболы:
(6.7) Связь эллипса с окружность

Уравнение асимптот такой гиперболы будет: у — y₀ =Связь эллипса с окружность

Парабола

Определение:

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой d, называемой директрисой (F ∉ d).

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы р. Эта величина называется параметром параболы. Выберем декартову систему координат как показано на рис. 75.

По определению параболы MF=MN. Из рис. 75. ясно, что:

Связь эллипса с окружностьРис. 75. Фокус и директриса параболы

Связь эллипса с окружность

Приравнивая, получаем:
Связь эллипса с окружность
(6.8) у² = 2рх

Уравнение ( 6.8) называется каноническим уравнением параболы. Т.к. у входит в уравнение в четной степени, парабола симметрична относительно оси Ох. Выразив у из уравнения, получаем: у = Связь эллипса с окружность, х ≥ 0. При х =0 у = 0, при возрастании х от 0 до +∞ у для верхней части возрастает от 0 до +∞. C учетом симметрии получаем линию, изображенную на рис. 76.

Ось симметрии параболы называется фокальной осью (ось Ox на рис. 76), точка пересечения пораболы с ней называется вершиной пораболы (точка О на рис. 76). Если вершина параболы находится в точке P(x₀; у₀), фокальная ось параллельна и одинаково направлена с осью Ox и расстояние от директрисы до фокуса равно Р, то с помощью параллельного переноса осей координат нетрудно получить уравнение такой параболы:
(6.9) (y — y₀)² = 2p(x -х₀)

Пример:

Найти фокус, директрису, фокальную ось для параболы у= 4x².

Связь эллипса с окружностьРис. 76. Парабола

Решение:

Как известно, осью симметрии параболы у = х² является ось Оу, а вершиной — точка О, поэтому фокальной осью будет ось Оу, вершиной — начало координат.

Для определения фокуса и директрисы запишем уравнение данной параболы в виде: x² = Связь эллипса с окружностьy, откуда 2р =Связь эллипса с окружность; р =Связь эллипса с окружность. Поэтому фокус имеет координаты F(0; Связь эллипса с окружность), а директриса — уравнение у = — Связь эллипса с окружность(см. рис. 77).

Связь эллипса с окружностьРис. 77. График параболы у = 4х²

Понятие о приведении общего уравнения второго порядка к каноническому виду

Если в общем уравнении кривой второго порядка ( 6.3)
Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey +F = 0
коэффициент 2B ≠ 0, то методами, которые будут изложены позже (лекция 34) это уравнение преобразуется к виду, в котором отсутствует член с произведением координат (т.е. 2В — 0).

Для приведения к каноническому виду уравнения ( 6.3), в котором 2В = 0, необходимо дополнить члены, содержащие х и у, до полных квадратов.

Если при этом (В = 0) А = С, то получится окружность (пример 6.3), точка или мнимая окружность (пример 6.4).

Если при этом (В = 0) A ≠ C и A ∙ C > 0, то получится эллипс (пример 6.8) или мнимый эллипс.

Если при этом (В = 0) A ≠ C и A ∙ C Связь эллипса с окружностьРис. 78. Гипербола Связь эллипса с окружность

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение и определите вид кривой: x² — 6x — 4y + 29 = 0.

Решение:

Выделим полный квадрат: x² — 6x — 4y + 29 = 0 ⇔ x² — 6x + 9 = 4y — 20 ⇔ (x — 3)² = 4(у — 5). Сделав замену координат X =х — 3, Y = у — 5 мы получим каноническое уравнение параболы X² = 4Y с осью OY и параметром р = 2. Таким образом исходная парабола имела вершину A(3; 5) и ось х = 3 параллельную оси Oy (рис. 79).

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение и определите вид кривой: x² + 4y² + 2x — 24y + 21 =0.

Решение:

Выделив полный квадрат, получим уравнение: (x + 1)² + 4(у — 3)² = 16. Сделав замену координат: X = х + 1, Y = y — 3, получим каноническое уравнение эллипса: X² + AY² ⇔ Связь эллипса с окружность= 1 с параметрами а = 4, b = 2. Таким образом, исходный эллипс имел центр A( —1;3) и полуоси а = 4, b = 2 (рис. 80).

Связь эллипса с окружностьРис. 79. Решение примера 6.7 Связь эллипса с окружностьРис. 80. Решение примера 6.8

Видео:Видеоурок "Эллипс"Скачать

Видеоурок "Эллипс"

Решение заданий на тему: Кривые второго порядка

Пример:

Составьте уравнение окружности, имеющей центр 0(2; —5) и радиус R = 4.

Решение:

В соответствии с формулой (6.2) искомое уравнение имеет вид: (х — 2)² + (у + 5)² = 16.

Ответ: (х — 2)² + (у + 5)² = 16.

Пример:

Составьте уравнение эллипса, зная, что сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами равно 8.

Решение:

Из условия имеем: a + b = 8, 2c = 8. C учетом того, что b² = а² — с², находим с = 4, а = 5, b = 3. Искомое уравнение эллипса будет: Связь эллипса с окружность.

Ответ: Связь эллипса с окружность

Пример:

Составьте уравнение гиперболы, зная, что фокусы F₁(10;0) и F₂(-10; 0) и что гипербола проходит через точку M(12; 3√5)

Решение:

Из условия имеем: с = 10, |MF₁ — MF₂|= 2а ⇔ 2а = Связь эллипса с окружностьа = 8. C учетом того, что b² = с² — а², находим а = 8, с = 10, b = 6. Искомое уравнение гиперболы будет: Связь эллипса с окружность.
Ответ: Связь эллипса с окружность.

Пример:

Составьте уравнение параболы, зная, что фокус имеет координаты (5;0), а ось ординат является директрисой.

Решение:

Поскольку расстояние от директрисы параболы до ее полюса равно параметру р, а вершина находится на середине, из условия следует, что р = 5 и вершина расположена в точке A(2,5;0). Таким образом, в новых координатах X = х — 2,5; У = у каноническое уравнение параболы будет: Y² = 10Х, а в старых координатах: у² = 10(х — 2,5).
Ответ: y² = 10x — 25.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + y² — 2х + 6у — 5 = 0, определите вид кривой и ее параметры.

Решение:

Выделим полный квадрат: х² — 2х + у² + 6у — 5 = 0 ⇔ x² — 2x + 1 + у² + 6у + 9 — 1 — 9 — 5 = 0 ⇔ (х — 1)² + (у + 3)² = 15

В соответствии с формулой (6.2) это есть уравнение окружности с центром в точке A(1; -3), радиусом √5.
Ответ: (х — 1)² + (у + 3)² = 15.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + 4у² + 4х — 16у — 8 = 0, определите вид кривой и ее параметры:

Решение:

Выделим полный квадрат: x² + 4х + 4у² — 16y -8 = 0 ⇔ x²+4x + 4 + 4y²- 16y + 16-4-16-8 = 0 ⇔ (x + 2)² + 4(y²-4у+ 4) -28 ⇔ (х + 2)² + 4(y — 2)² = 28 ⇔ Связь эллипса с окружность= 1. Сделав замену координат: X = x +2, Y = у — 2, в новых координатах получим уравнение эллипса Связь эллипса с окружностьс полуосями а = √28 и b = √7. Таким образом, в старых координатах эллипс имеет центр A(—2; 2) и полуоси а = 2√7 и b = √7.
Ответ: Связь эллипса с окружность= 1.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + 2y² + 8x — 4 = 0, определите вид кривой и ее параметры.

Решение:

Выделим полный квадрат:
x²+2y²+8x-4 = 0 ⇔ x²+8x+16+2y²-16-4 =0 ⇔ (x+4)²+2y2-20 = 0 ⇔ Связь эллипса с окружность=1

Сделав замену координат X = х + 4, Y — у, убеждаемся, что эта кривая — эллипс, с полуосями a = 2√5 и b = √10 и центром A(-4;0).
Ответ: Связь эллипса с окружность=1

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружность

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Лекальные кривые. Эллипс. Парабола. ГиперболаСкачать

Лекальные кривые. Эллипс. Парабола. Гипербола

Эллипс — определение и вычисление с примерами решения

Эллипс:

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек Связь эллипса с окружность

Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы Связь эллипса с окружность

Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Связь эллипса с окружностьСогласно определению эллипса имеем Связь эллипса с окружностьИз треугольников Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьпо теореме Пифагора найдем

Связь эллипса с окружность

соответственно. Следовательно, согласно определению имеем

Связь эллипса с окружность

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Связь эллипса с окружность

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Связь эллипса с окружностьРаскроем разность квадратов Связь эллипса с окружностьПодставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Связь эллипса с окружностьВновь возведем обе части равенства в квадрат Связь эллипса с окружностьРаскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Связь эллипса с окружностьСоберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Связь эллипса с окружностьВведем обозначение для разности, стоящей в скобках Связь эллипса с окружностьУравнение принимает вид Связь эллипса с окружностьРазделив все члены уравнения на Связь эллипса с окружностьполучаем каноническое уравнение эллипса: Связь эллипса с окружностьЕсли Связь эллипса с окружностьто эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенствавдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки Связь эллипса с окружностьследовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:

  • Связь эллипса с окружностьт.е. точками пересечения эллипса с осью абсцисс будут точки Связь эллипса с окружность
  • Связь эллипса с окружностьт.е. точками пересечения эллипса с осью ординат будут точки Связь эллипса с окружность(Рис. 30).

Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.

Связь эллипса с окружность

Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса

Связь эллипса с окружностьСвязь эллипса с окружность

Определение: Если Связь эллипса с окружностьто параметр а называется большой, а параметр b — малой полуосями эллипса.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса Связь эллипса с окружность

Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству Связь эллипса с окружностьКроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси Связь эллипса с окружность

Если Связь эллипса с окружностьи эллипс вырождается в окружность. Если Связь эллипса с окружностьи эллипс вырождается в отрезок Связь эллипса с окружность

Пример:

Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет Связь эллипса с окружность

Решение:

Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр Связь эллипса с окружностьЗная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса Связь эллипса с окружностьСледовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид: Связь эллипса с окружность

Пример:

Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса Связь эллипса с окружностьа третья вершина — в центре окружности

Связь эллипса с окружность

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс: Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружностьСледовательно, большая полуось эллипса Связь эллипса с окружностьа малая полуось Связь эллипса с окружностьТак как Связь эллипса с окружностьто эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса Связь эллипса с окружностьИтак, Связь эллипса с окружностьОкружность: Связь эллипса с окружностьВыделим полные квадраты по переменным Связь эллипса с окружность Связь эллипса с окружностьСледовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).

Связь эллипса с окружность

Построим в декартовой системе координат треугольник Связь эллипса с окружностьСогласно школьной формуле площадь треугольника Связь эллипса с окружностьравна Связь эллипса с окружностьВысота Связь эллипса с окружностьа основание Связь эллипса с окружностьСледовательно, площадь треугольника Связь эллипса с окружностьравна:

Связь эллипса с окружность

Видео:Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |Скачать

Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |

Эллипс в высшей математике

Связь эллипса с окружность

где Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружность—заданные положительные числа. Решая его относительно Связь эллипса с окружность, получим:

Связь эллипса с окружность

Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное Связь эллипса с окружностьпо абсолютной величине меньше Связь эллипса с окружность, подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению Связь эллипса с окружность, удовлетворяющему неравенству Связь эллипса с окружностьсоответствуют два значения Связь эллипса с окружность, равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси Связь эллипса с окружность. Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси Связь эллипса с окружность. Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.

При Связь эллипса с окружность, при Связь эллипса с окружность. Кроме того, заметим, что если Связь эллипса с окружностьувеличивается, то разность Связь эллипса с окружностьуменьшается; стало быть, точка Связь эллипса с окружностьбудет перемещаться от точки Связь эллипса с окружностьвправо вниз и попадет в точку Связь эллипса с окружность. Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.

Связь эллипса с окружность

Полученная линия называется эллипсом. Число Связь эллипса с окружностьявляется длиной отрезка Связь эллипса с окружность, число Связь эллипса с окружность—длиной отрезка Связь эллипса с окружность. Числа Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьназываются полуосями эллипса. Число Связь эллипса с окружностьэксцентриситетом.

Пример:

Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.

Решение:

Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом Связь эллипса с окружность(рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось Связь эллипса с окружностьпримем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось Связь эллипса с окружностьбудет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости Связь эллипса с окружностьвозьмем окружность радиуса Связь эллипса с окружностьс центром в начале координат, ее уравнение Связь эллипса с окружность.

Пусть точка Связь эллипса с окружностьлежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению Связь эллипса с окружность.

Связь эллипса с окружность

Обозначим проекцию точки Связь эллипса с окружностьна плоскость Связь эллипса с окружностьбуквой Связь эллипса с окружность, а координаты ее—через Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружность. Опустим перпендикуляры из Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьна ось Связь эллипса с окружность, это будут отрезки Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружность. Треугольник Связь эллипса с окружностьпрямоугольный, в нем Связь эллипса с окружность, Связь эллипса с окружность,Связь эллипса с окружность, следовательно, Связь эллипса с окружность. Абсциссы точек Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружностьравны, т. е. Связь эллипса с окружность. Подставим в уравнение Связь эллипса с окружностьзначение Связь эллипса с окружность, тогда cos

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружность

а это есть уравнение эллипса с полуосями Связь эллипса с окружностьи Связь эллипса с окружность.

Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.

Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.

Видео:построение эллипсаСкачать

построение эллипса

Уравнение эллипсоида

Определение: Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:

Связь эллипса с окружность

где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.

Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей Связь эллипса с окружностьс коэффициентами деформации, равными Связь эллипса с окружность

В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам Связь эллипса с окружность(х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем

Связь эллипса с окружность

Связь эллипса с окружностьИными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в Связь эллипса с окружностьраз, если Связь эллипса с окружность, и увеличиваются в Связь эллипса с окружностьраз, если Связь эллипса с окружностьи т. д.

Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь

Связь эллипса с окружность

где Связь эллипса с окружностьУравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.

Величины Связь эллипса с окружностьназываются полуосями эллипсоида; удвоенные величины Связь эллипса с окружностьназываются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).

Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллипсоидом вращения с полуосями

а = b = 6377 км и с = 6356 км.

Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Гипербола
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Шар в геометрии
  • Правильные многогранники в геометрии
  • Многогранники
  • Окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📹 Видео

Построение эллипса по восьми точкам в прямоугольной диметрииСкачать

Построение эллипса по восьми точкам в прямоугольной диметрии

§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать

§28 Эксцентриситет эллипса

10 Окружность и эллипсСкачать

10 Окружность и эллипс

Окружность. Эллипс.Скачать

Окружность. Эллипс.

§17 Определение эллипсаСкачать

§17 Определение эллипса

#198. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛАСкачать

#198. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА

11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

11 класс, 52 урок, Эллипс

ПОСТРОЕНИЕ ОВАЛА │ КАК НАЧЕРТИТЬ ОВАЛ ПРИ ПОСТРОЕНИИ АКСОНОМЕТРИИ │ Урок #61Скачать

ПОСТРОЕНИЕ ОВАЛА │ КАК НАЧЕРТИТЬ ОВАЛ ПРИ ПОСТРОЕНИИ АКСОНОМЕТРИИ │ Урок #61
Поделиться или сохранить к себе: