Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.
а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.
б) Найдите площадь треугольника АСВ.
а) Введём обозначения, как показано на рисунке, пусть M, H, N — точки касания. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны: AM = AN, CM = CH, HB = BN. Поэтому:
откуда p = AM, где Р — периметр, p — полупериметр треугольника.
б) Для определения площади треугольника используем формулу, связывающую её с полупериметром, стороной и радиусом вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других сторон треугольника:
Ответ: 
Примечание: указанная в решении формула легко может быть получена из следующих соображений 
где O1 — центр окружности с радиусом r1. При этом 
Тогда 
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.
а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.
а) Углы APC и AQC — прямые, значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности с диаметром AC, и, следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.
б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда 
или 
но тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен 
откуда 
Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен 
Ответ: 
В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.
а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что 
и ∠KMN = 45°.
а) Углы NAK и NBK, опирающиеся на отрезок KN, равны, значит, точки A, B, N и K лежат на одной окружности, а, следовательно, равны и вписанные углы ABK и ANK этой окружности, опирающиеся на дугу AK, что и требовалось доказать.
б) Прямоугольные треугольники KMB и NMA имеют общий угол KMN, следовательно, они подобны, откуда 
или 
но тогда и треугольники KMN и BMA также подобны, причем коэффициент подобия равен 
откуда
Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABM равен
Ответ: 
Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.
а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.
б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 3 и 12 соответственно, а OK = 5.
а) Пусть 
Так как 
— центр вписанной окружности треугольника ABC, то 
— биссектрисы углов 
и 
значит, 
Угол BOK внешний для треугольника AOB, поэтому 
(см. рисунок).
Так как 
(по построению), то 
тогда 
Углы CBK и KAC опираются на один и тот же отрезок CK и равны друг другу: 
Тогда по признаку, связанному со свойством вписанных углов, точки 
лежат на одной окружности.
б) Обозначим через 
радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника 
Пусть H — проекция точки O на сторону AB (см. рис.), тогда 
Так как точки 
лежат на одной окружности, то радиус описанной окружности треугольника ABK совпадает с радиусом описанной окружности треугольника 
и равен 
Из треугольника ABK по теореме синусов: 
Тогда
Так как 
то 
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Треугольники и окружность — задачи с примерами решения
Пример:
Длина катета ВС прямоугольного треугольника АСВ равна 15 см, а его катет АС является диаметром окружности, которая пересекает гипотенузу в точке F, CF =12 см. Вычислите радиус окружности.
Решение:
Из условия следует, что радиус R равен половине катета АС. Заметим, что
1) В треугольнике 
2) Воспользовавшись равенством 
найдем 
3) Теперь
4) Квадрат длины катета прямоугольного треугольника равен произведению длины гипотенузы и длины проекции этого катета на гипотенузу, следовательно, 
Таким образом, 
Пример:
Решение:
По теореме об угле между хордой и касательной 
Так как точки С и В диаметрально противоположные, то угол САВ опирается на диаметр, а следовательно, он прямой, т. е. треугольник САВ — прямоугольный (рис. 109, а, б). Расстояние от точки С до точки касания А равно длине катета СА треугольника САВ. Так как
Ответ 
Пример:
Вычислите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, если длина его основания АС равна 24 см, а высота BD, проведенная к основанию, равна 9 см.
Решение:
Для вычисления радиуса г вписанной окружности воспользуемся формулой 
где S — площадь треугольника, р — его полупериметр. Отсюда получим 
1) Площадь треугольника
2) В прямоугольном треугольнике ADB длина катета
3) Теперь полупериметр 
4) Таким образом, найдем 
Пример:
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС на стороне ВС лежит точка D так, что 
В каком отношении точка О пересечения отрезка AD и высоты BE делит высоту BE, считая от вершины В?
Решение:
1) Так как 
(рис. 111, а, б). Проведем отрезок 
, параллельный отрезку AD.
2) Так как высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой, то точка Е — середина стороны АС.
3) По признаку средней линии отрезок EF — средняя линия треугольника ADC, значит,
4) Так как 
Ответ: 
Пример:
Отрезки AF и СТ — высоты остроугольного треугольника ABC. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BTF, если A ABC = 60° и АС = b.
Решение:
Воспользуемся теоремой синусов и тем, что треугольник ABC подобен треугольнику BTF.
1) В треугольнике BTF по теореме синусов выполняется равенство
Следовательно, 
(рис. 112, a, 6).
2) Рассмотрим треугольники ABC и FTC. Эти треугольники подобны. Действительно, 
Следовательно,
т.е. треугольники подобны с коэффициентом подобия 
3) Из подобия треугольников ABC и FTC следует, что 
Таким образом, 
Ответ: 
Пример:
Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Известно, что 
Докажите, что 
(рис. 113, а).
Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABC. Пусть прямая BD пересекает окружность в точке F и DF = х (рис. 113, б).
1) По свойству отрезков пересекающихся хорд выполняется равенство
2) Треугольники ABD и FBC подобны, так как 
по условию и 
поскольку являются вписанными в окружность и опираются на одну и ту же дугу.
3) Из подобия треугольников ABD и FBC следует, что 
Отсюда 
3) Таким образом,
Что и требовалось доказать.
| Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
| Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Площадь треугольника
- Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
- Окружность и круг
- Описанные и вписанные окружности
- Пространственные фигуры — виды, изображения, свойства
- Взаимное расположения прямых на плоскости
- Треугольник
- Решение треугольников
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Теорема синусов
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Доказательство теоремы синусов
Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:
Формула теоремы синусов:
Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.
Из этой формулы мы получаем два соотношения:
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели: 
bc sinα = ca sinβ
Из этих двух соотношений получаем:
Теорема синусов для треугольника доказана.
Эта теорема пригодится, чтобы найти:
- Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
- Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.
Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Доказательство следствия из теоремы синусов
У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.
где R — радиус описанной около треугольника окружности.
Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:
Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:
Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.
Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.
1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.
Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.
Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.
Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.
BA1 = 2R, где R — радиус окружности
Следовательно: R = α/2 sinα
Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.
Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.
Следовательно, ∠А1 = 180° — α.
Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:
Также известно, что sin(180° — α) = sinα.
В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:
α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα
Следовательно: R = α/2 sinα
Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Часто используемые тупые углы:
- sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
- sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
- sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.
3. Угол ∠А = 90°.
В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.
Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать
Теорема о вписанном в окружность угле
Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.
Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.
Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.
Формула теоремы о вписанном угле:
Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).
Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:
На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.
Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.
ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.
Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле
Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:
Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.
Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.
Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.
Следовательно: α + γ = 180°.
Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.
Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле
Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:
sinγ = sin(180° — α)
Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Примеры решения задач
Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.
Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.
- Согласно теореме о сумме углов треугольника:
∠B = 180° — 45° — 15° = 120°
Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.
В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:
Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.
Ответ: угол составляет примерно 53,1°.
Видео:КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать
Запоминаем
Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
> 
