В данный треугольник вписать квадрат (2 видео)

№ 9*. Впишите в данный треугольник квадрат, у которого две вершины лежат на одной стороне, а две другие вершины — на двух других сторонах.

Сначала построим квадрат D₁E₁F₁G₁ так, чтобы вершины F₁ и G₁ лежали на стороне АС, а вершина D₁ — на стороне АВ.

Гомотетия относительно вершины А, переводящая точку Е₁, в точку Е, лежащую на стороне ВС, переводит D₁ в D, F₁ в F, Gi в G.

Так как гомотетия переводит фигуру в подобную фигуру, то четырехугольник DEFG — искомый квадрат.

Решебник по геометрии за 9 класс (А.В.Погорелов, 2001 год),
задача №9
к главе «§11. Подобие фигур».

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Модуль 1. Метод подобия

Модуль 1. Метод подобия

Метод подобия при решении задач на построение.

В задачах на построение данные бывают двух видов: одни определяют вид фигуры, которую нужно построить, другие – её размеры. В этом случае удобно использовать метод подобия. Построение проводится поэтапно: сначала строят фигуру, подобную искомой, потом строят по заданным размерам саму искомую фигуру.

Рассмотрим применение метода на следующей задаче.

Задача 2. В данный треугольник вписать квадрат так, чтобы две его вершины лежали на основании треугольника, а две других – на его боковых сторонах.

Решение. Пусть дан треугольник АВС. Нужно вписать в него квадрат.

Анализ. Предположим, что задача решена и искомый квадрат построен. Он подобен любому квадрату, у которого две вершины лежат на стороне АС, а третья – на стороне АВ.

Построив такой квадрат и выполнив преобразование гомотетии, мы решим поставленную задачу.

1. Строим произвольный квадрат Н1М1К1Т1, у которого две вершины лежат на стороне АС, а третья – на стороне АВ (пока не обращаем внимания на требование к четвёртой вершине).

· Из произвольной точки М1 опускаем перпендикуляр на АС, получаем точку Н1 , отрезок М1Н1 – сторона квадрата.

· На АС от точки Н1 отложим отрезок Н1Т1, равный М1Н1, получим вторую сторону квадрата.

· Из точек М1 и Т1 проведем окружности радиусом М1Н1. На пересечении получим точку К1.

· Соединим точки, получим Н1М1К1Т1 – квадрат, у которого одна вершина не лежит на стороне треугольника.

2. Проведем луч АК1 до пересечения со стороной ВС, получим точку К.

3. Из точки К проведем прямую параллельно АС до пересечения с АВ, получим точку М.

4. Из точки К проведем прямую параллельно М1Н1 до пересечения с АС, получим точку Т; из точки М проведем прямую параллельно М1Н1 до пересечения с АС, получим точку Н.

5. Получили квадрат МКТН. Докажем, что квадрат МКТН – искомый.

КМ÷÷ АС; НТ ÷÷ АС; отсюда, КМ÷÷ НТ. Значит, МКТН – параллелограмм.

М1 Н1 АС, значит, КТ АС. КТА = 90о, отсюда, МКТН – прямоугольник.

D AКМ с тем же коэффициентом k; так как АК = k ∙ АК1 . Значит, МК = k ∙ М1К1 .

М1К1 = Т1К1 как стороны квадрата, отсюда МК = КТ. Следовательно, прямоугольник МКТН — квадрат, вершины которого лежат на сторонах АС и АВ.

Задача 3. Построить квадрат, равновеликий данному равностороннему треугольнику.

Решение. Пусть дан треугольник АВС – равносторонний со стороной а. Нужно построить такой квадрат, у которого площадь будет равной площади данного треугольника.

Анализ. Предположим, что задача решена и искомый квадрат со стороной х построен.

Тогда площадь треугольника S =, площадь равновеликого ему квадрата S = x2.

Получим равенство x2 = , преобразуем его к виду x2 и заметим, что в правой

части равенства произведение длин высоты и половины стороны равностороннего

треугольника, т. е. х – среднее пропорциональное этих отрезков. Мы свели задачу к известной.

Построение. В данном треугольнике построим высоту. В результате построения получим отрезки длиной и .

Проведём прямую b. Отметим на ней точку Н, отложим в разные стороны от точки Н отрезки длиной и , отметим точки А и В.

AH = , BH = .

На полученном отрезке АВ, как на диаметре, строим окружность. Из точки Н восстановим перпендикуляр до пересечения с окружностью, получим точку М: отрезок НМ — среднее пропорциональное между отрезками АН и НВ диаметра. Построим квадрат со стороной МН. Квадрат МКРН – искомый.

Задача 4. Построить круг, площадь которого в три раза больше площади данного круга. Решение. Пусть дан круг радиуса R. Нужно построить такой круг, у которого площадь будет равна утроенной площади данного круга.

Анализ. Предположим, что задача решена и искомый круг с радиусом х построен.

Тогда площадь данного круга S=πR2, площадь искомого круга πx2.

Преобразуем равенство πx2 = 3πR2 и получим x = R. Отрезок длиной может быть найден как катет в прямоугольном треугольнике 1, , 2 или гипотенуза в 1, ,. Мы свели задачу к известной.

Построение. В данном круге с центром О построим два перпендикулярных диаметра. Из конца диаметра А проведём дугу радиуса 2R до пересечения с продолжением другого диаметра. Получим точку М. Длина отрезка ОМ равна R.

Радиусом равным ОМ построим окружность.

В результате построения получим искомый круг.

Решение задач с использованием метода подобия.

Задача 5. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника отсекает от данного треугольника подобный ему треугольник. Найти углы данного треугольника.

Решение. АВС — равнобедренный треугольник; ÐА = ÐС; АМ – биссектриса Ð А; образовалось ещё два треугольника: DАВМ и DСАМ.

Учителю: надо, чтобы ученики обязательно — алгебраически или геометрически — убедились, что в верхнем треугольнике не может быть таких же углов, как в данном, значит, только DСАМ

DСАМ, то треугольник DСАМ тоже равнобедренный. Значит ÐАМС = ÐС.

2. ÐМАС = ÐА, следовательно, ÐМАС = ÐС.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Как в треугольник вписать квадрат?(с поддержкою циркуля и линейки)

Ева Покладкина
Математика 2019-07-17 18:14:09 0 1

1)выделим основание треугольника, на котором будет находиться одна из сторон
допустим это основание горизонтальное АС и верхушка В
2)выберем из боковых сторон AB и CB сторону, образующую с острый угол с основанием — к примеру АВ
3) на стороне АВ выберем произвольную точку M
4) опустим перпендикуляр на АС из точки М в точку К
5) построим квадрат, дотрагивающийся АВ в точке М, со стороной одинаковой МК
6) интересует та вершина квадрата, не лежащая на нижнем основании и не M
назовем ее E
7) проведем прямую АЕ
8) если АСB — тупой, то АЕ до скрещения с перпендикуляром к АC, проходящим через точку C
9) если АСВ — не тупой, то АЕ до скрещения с ВС
10) приобретенная точка Т
11) от Т опускаем перпендикуляр на АС и строим прямую параллельно АС до скрещения с АВ
мы получили 3 точки искомого квадрата, дальше дело техники