Свойство и признак четырехугольника описанного около окружности

Многоугольник. Свойства четырехугольников описанных около окружности.

Если все стороны какого-нибудь многоугольника (MNPQ) касаются окружности, то говорят, что этот многоугольник описан около окружности, или что окружность вписана в него.

Свойство и признак четырехугольника описанного около окружности

Теорема.

В описанном выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Пусть ABCD будет описанный выпуклый четырехугольник, т.е. стороны его касаются окружности. Требуется доказать, что AB + CD = BC + AD.

Обратная теорема.

Если в выпуклом четырехугольнике равны суммы противоположных сторон, то в него можно вписать окружность.

Требуется доказать, что в него можно вписать окружность.

Пусть ABCD такой выпуклый четырехугольник, в котором: AB + CD = AD + BC.

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

Свойство и признак четырехугольника описанного около окружности

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

Свойство и признак четырехугольника описанного около окружности

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Свойство и признак четырехугольника описанного около окружности

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

Свойство и признак четырехугольника описанного около окружности

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

    Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

Свойство и признак четырехугольника описанного около окружности

Свойство и признак четырехугольника описанного около окружности

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Свойство и признак четырехугольника описанного около окружности

Свойство и признак четырехугольника описанного около окружности

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

ФигураРисунокУтверждение
РомбСвойство и признак четырехугольника описанного около окружностиВ любой ромб можно вписать окружность
КвадратСвойство и признак четырехугольника описанного около окружностиВ любой квадрат можно вписать окружность
ПрямоугольникСвойство и признак четырехугольника описанного около окружностиВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
ПараллелограммСвойство и признак четырехугольника описанного около окружностиВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
ДельтоидСвойство и признак четырехугольника описанного около окружностиВ любой дельтоид можно вписать окружность
ТрапецияСвойство и признак четырехугольника описанного около окружностиВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Ромб
Свойство и признак четырехугольника описанного около окружности
КвадратСвойство и признак четырехугольника описанного около окружности

В любой квадрат можно вписать окружность

ПрямоугольникСвойство и признак четырехугольника описанного около окружности

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

ПараллелограммСвойство и признак четырехугольника описанного около окружности

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

ДельтоидСвойство и признак четырехугольника описанного около окружности

ТрапецияСвойство и признак четырехугольника описанного около окружности

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Свойства и признаки описанного четырехугольника.

Свойство и признак четырехугольника описанного около окружности

Описанный четырехугольник — четырехугольник, все стороны которого касаются окружности.

Центр вписанной окружности в четырехугольник — точка пересечения биссектрис всех углов четырехугольника. Не все четырёхугольники можно описать около окружности, так как биссектрисы четырёх углов могут не пересекаться в одной точке.

Основной признак описанного четырехугольника:

Если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то четырехугольник является описанным.

Основное свойство описанного четырехугольника:

Если четырехугольник является описанным, то суммы противоположных сторон этого четырехугольника равны.

💥 Видео

Четырехугольник, описанный около окружности | Геометрия 8-9 классыСкачать

Четырехугольник, описанный около окружности | Геометрия 8-9 классы

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Свойство и признак вписанного четырехугольникаСкачать

Свойство и признак вписанного четырехугольника

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Вписанные и описанные четырехугольники | Дядя Артем | ОГЭ по математикеСкачать

Вписанные и описанные четырехугольники | Дядя Артем | ОГЭ по математике

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Свойство и признак описанного четырехугольникаСкачать

Свойство и признак описанного четырехугольника

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Свойство и признак описанного четырехугольникаСкачать

Свойство и признак описанного четырехугольника

свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTSСкачать

свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTS

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружностьСкачать

Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

9класс. Описанные около окружности четырехугольники.Скачать

9класс. Описанные около окружности четырехугольники.

ГЕОМЕТРИЯ ОГЭ ЕГЭ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕСкачать

ГЕОМЕТРИЯ ОГЭ ЕГЭ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ
Поделиться или сохранить к себе: