Если все стороны какого-нибудь многоугольника (MNPQ) касаются окружности, то говорят, что этот многоугольник описан около окружности, или что окружность вписана в него.
Теорема.
В описанном выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Пусть ABCD будет описанный выпуклый четырехугольник, т.е. стороны его касаются окружности. Требуется доказать, что AB + CD = BC + AD.
Обратная теорема.
Если в выпуклом четырехугольнике равны суммы противоположных сторон, то в него можно вписать окружность.
Требуется доказать, что в него можно вписать окружность.
Пусть ABCD такой выпуклый четырехугольник, в котором: AB + CD = AD + BC.
Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать
Описанные четырехугольники
Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .
Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.
Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).
AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,
Складывая эти равенства, получим:
AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,
то справедливо равенство
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству
и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).
Следовательно, справедливы равенства
из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:
Окружность касается касается стороны BC (рис.4).
В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
Окружность не касается стороны BC .
В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:
- Точка K лежит между точками C и D (рис.5)
Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:
Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.
Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.
Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.
Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает
Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.
Примеры описанных четырёхугольников
Фигура | Рисунок | Утверждение |
Ромб | В любой ромб можно вписать окружность | |
Квадрат | В любой квадрат можно вписать окружность | |
Прямоугольник | В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом | |
Параллелограмм | В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом | |
Дельтоид | В любой дельтоид можно вписать окружность | |
Трапеция | В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований |
Ромб |
В любой квадрат можно вписать окружность
В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Свойства и признаки описанного четырехугольника.
Описанный четырехугольник — четырехугольник, все стороны которого касаются окружности.
Центр вписанной окружности в четырехугольник — точка пересечения биссектрис всех углов четырехугольника. Не все четырёхугольники можно описать около окружности, так как биссектрисы четырёх углов могут не пересекаться в одной точке.
Основной признак описанного четырехугольника:
Если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то четырехугольник является описанным.
Основное свойство описанного четырехугольника:
Если четырехугольник является описанным, то суммы противоположных сторон этого четырехугольника равны.
💥 Видео
Четырехугольник, описанный около окружности | Геометрия 8-9 классыСкачать
Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Свойство и признак вписанного четырехугольникаСкачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Вписанные и описанные четырехугольники | Дядя Артем | ОГЭ по математикеСкачать
8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать
Свойство и признак описанного четырехугольникаСкачать
Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать
Свойство и признак описанного четырехугольникаСкачать
свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTSСкачать
Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружностьСкачать
Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать
Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать
9класс. Описанные около окружности четырехугольники.Скачать
ГЕОМЕТРИЯ ОГЭ ЕГЭ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕСкачать