Неравенства между средними значениями |
Неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом |
Неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом |
Неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом |
- Неравенства между средними значениями
- Неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом
- Неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом
- Неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом
- Различные средние положительных. Неравенство Коши
- Главная > Документ
- Неравенство круга
- 💥 Видео
Видео:Неравенство о средних | Ботай со мной #048 | Борис Трушин !Скачать
Неравенства между средними значениями
Для удобства приведем Таблицу из введенных в разделе «Средние значения» определений средних значений для произвольного набора из n положительных действительных чисел
Таблица – Средние значения
Обозначение | Формула | Название |
min ( x1 , x2 , … , xn ) | Минимум | |
M– 1 | Среднее гармоническое | |
M0 | Среднее геометрическое | |
M1 | Среднее арифметическое | |
M2 | Среднее квадратичное | |
max ( x1 , x2 , … , xn ) | Максимум |
Утверждение 1 . Пусть p1 и p2 – произвольные действительные числа, удовлетворяющие неравенству p1 Тогда для произвольного набора из n положительных действительных чисел
,
причем в этом неравенстве знак равенства выполняется тогда и только тогда, когда все числа
Замечание . Утверждение 1 остается справедливым и в случае, когда , и в случае, когда.
Следствие 1 . Для произвольного набора из n положительных чисел
справедливы следующие неравенства между его средними значениями:
Следствие 2 . Для произвольного набора из n положительных чисел
любые два из его средних значений
равны между собой тогда и только тогда, когда все числа
Итак, для n произвольных положительных чисел
справедлива следующая цепочка неравенств:
Видео:#167. НЕРАВЕНСТВО КОШИ О СРЕДНИХ!Скачать
Неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом
утверждающее, что среднее геометрическое n положительных чисел не превосходит их среднего арифметического, называется неравенством Коши .
В случае, когда n = 2 , неравенство Коши имеет вид
Докажем это неравенство:
что и требовалось.
Из неравенства Коши с n = 2 , взяв
нетрудно получить очень полезное следствие .
Следствие . Для произвольного положительного числа x выполнено неравенство
Видео:Неравенство о среднихСкачать
Неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом
В случае n переменных неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом имеет вид:
В случае, когда n = 2 , это неравенство имеет вид:
Докажем это неравенство:
На последнем этапе получилось неравенство Коши, доказанное в предыдущем разделе, следовательно, доказательство неравенства о среднем гармоническом и среднем геометрическом закончено.
Видео:Что больше? Или при чем тут неравенство Коши?Скачать
Неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом
В случае n переменных неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом имеет вид:
В случае, когда n = 2 , это неравенство имеет вид:
Видео:#240. Неравенства Йенсена, о средних, Коши-Буняковского, ГёльдераСкачать
Различные средние положительных. Неравенство Коши
Главная > Документ
Информация о документе | |
Дата добавления: | |
Размер: | |
Доступные форматы для скачивания: |
Соотношение между средними величинами.
Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического.
Хорошо известно, что с двумя положительными числами а и в , связаны их среднее арифметическое и среднее геометрическое, причем (равенство выполняется только при а = в ). Алгебраическое доказательство этого неравенства чрезвычайно простое:
Применим формулу «квадрат разности»:
Прибавим к обеим частям неравенства 4ав :
Применим формулу «квадрат суммы»:
Разделим обе части неравенства на 4 :
;
Так как а и в – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень:
Получили искомое выражение.
Сравнение среднего арифметического и среднего квадратичного.
По определению неравенства если (а – в) ≥0, то а ≥ в, а если (а – в)≤0, то а ≤ в. Но для положительных а и в имеет место выражение: если ( а² — в²)≥0, то а ≥ в и наоборот .
Для доказательства рассмотрим разность
Значит по определению неравенства (при а≥0; b ≥0 ) разность квадратов отрицательна, то есть уменьшаемое меньше вычитаемого. Таким образом , причём равенство достигается только при a = b .
Сравнение среднего гармонического и среднего геометрического.
Докажем, что среднее гармоническое не больше среднего геометрического, то есть . Рассмотрим разность
При условии, что a и b положительны разность квадратов , то есть уменьшаемое меньше вычитаемого. Значит , причём равенство достигается лишь при a = b .
Таким образом мы доказали одно из важнейших неравенств, связанных со средними:
.
Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического для двух положительных чисел a и b .
Дано: окр. (О;ОА); AD = a ; BD = b
Доказать:
АВ – диаметр, АВ = a + b и , следовательно, .
угол АСВ – вписанный
дуга АКВ = 180° значит, угол АСВ = 90 ° (по свойству вписанного угла)
Таким образом, ∆АСВ – прямоугольный,
∆ АВС подобен ∆ ADC
(по общему острому углу)
2) ∆АВС подобен ∆ CBD
3) CD ┴АВ , то есть ∆ ADC подобен ∆ CBD .
4) , следовательно,
, следовательно,
, следовательно, , значит, , то есть .
5) ∆ CDO – прямоугольный, CD ┴ OD , значит, CD OC , то есть .
6) Если a = b , то точка D совпадает с точкой О , то .
Поэтому , что и требовалось доказать.
Это неравенство можно доказать и другим способом.
Дано: ABCD – прямоугольный, AD = a, AB = b, AK – биссектриса угла ВАD.
Доказать:
АК – биссектриса, следовательно, ВАL = LAD. LAD и BLA – внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD и секущей AL, то есть BLA = LAD.
В = 90°, следовательно, BAL = LAD = 45°, но BLA = LAD, значит, ∆ АВL – равнобедренный, BL = AB = b.
∆ AKD – равнобедренный, так как KD ┴ AD, DAL = 45°, значит AD = KD = a.
4)
Очевидно, что , равенство достигается при
a = b , то есть ABCD – квадрат.
; ,
заменим в неравенстве а² на m , b ² на n , получим
или ,
то есть среднее геометрическое не больше среднего арифметического.
Сравнение среднего квадратичного и среднего арифметического.
Средние для n положительных чисел .
Средние величины можно находить для любого количества положительных чисел . Определения этих средних даны выше. Для любых положительных чисел среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратичное удовлетворят неравенствам:
,
в каждом из которых знак равенства достигается лишь в случае, когда .
Самым важным и значимым из этих неравенств является неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, которое носит название неравенства Коши.
Замечательные пределы, порождаемые классическими средними.
Пусть даны два положительных числа a и b , a b . Вычислив какую – либо пару средних этих чисел, получим числа и . Затем для чисел и вычислим те же средние – получим числа и . С ними повторим ту же процедуру и так далее. В результате получим последовательности и .
Например, взяв среднее геометрическое и среднее арифметическое и отправляясь от чисел 1 и 3, получаем
В этом примере последовательности и очень быстро сближаются. Всегда ли так будет? Оказывается, подобные последовательности всегда имеют общий предел.
Арифметико – гармоническое среднее.
Пусть выбранная пара средних – это среднее гармоническое и среднее арифметическое; таким образом, члены последовательностей и определяются формулами
, , , .
Рассмотрим среднее гармоническое, среднее геометрическое и среднее арифметическое
.
Отсюда следует, что
.
То есть последовательность возрастает «навстречу» убывающей последовательности .
Таким образом, обе последовательности монотонны и ограничены, следовательно, они имеют пределы. Пусть , . Вычислим предел
То есть последовательности и имеют общий предел. Этот предел называется арифметико – гармоническим средним чисел a и b .
Так как и , где n =0, 1, 2, 3,… ; ; , то
, поэтому
Поэтому .
Арифметико – гармоническое среднее совпадает со средним геометрическим.
Таким образом последовательности и достаточно быстро сходятся к . Поэтому они могут оказаться полезными для приближённого вычисления квадратных корней. Для вычисления нужно начинать последовательности , с таких чисел a и b , что c = ab (например, a =1, b = c ), причём процесс будет сходиться тем быстрее, чем меньше разность между этими множителями (например, для вычисления лучше брать не a =1, b =56 , а a =7, b =8 ). Последовательности и получаются по формулам
; .
Для иллюстрации вычислим , положив b =4 . Получаем
и далее все знаки стабилизируются:
.
Арифметико – геометрическое среднее.
Четырнадцатилетний карл Фридрих Гаусс обнаружил на числовых примерах, что при вычислении последовательностей и с помощью арифметических и геометрических средних:
, ,
эти последовательности очень быстро сближаются.
Их общий предел называется арифметико – геометрическим средним чисел a и b и обозначается через . Найти явное выражение через a и b очень не просто. Впервые оно было получено Гауссом в результате необычайно остроумных и виртуозных рассуждений и преобразований, использующих свойства так называемых эллиптических интегралов.
Геометрическо – гармоническое среднее.
Если строить последовательности и с помощью средних гармонических и средних геометрических:
; ,
то в этом случае они сходятся к общему пределу. Назовём его геометрическо – гармоническим средним a и b и обозначим его через . Однако ничего существенно нового по сравнению с предыдущими последовательностями здесь нет, так как
; .
.
Видео:Неравенства о средних Часть 1 AM GM неравенствоСкачать
Неравенство круга
Решите систему неравенств
Решение:
Данную систему можно записать следующим образом:
Первое неравенство системы задает круг радиуса 5 с центром в точке А(2; -1), второе неравенство — круг радиуса 5 с центром в точке В(-4; 7) (смотри рисунок). Расстояние между центрами этих кругов равно
и, следовательно, равно сумме их радиусов. Значит, круги касаются и координаты точки касания С — единственное решение данной системы неравенств. Точка касания С является серединой отрезка АВ, и ее координаты можно найти как среднее арифметическое соответствующих координат точек А и В, то есть С(-1; 3).
Иные задачи с уравнениями и неравенствами кругов и окружностей здесь.
💥 Видео
✅ Неравенство Коши #shortsСкачать
Неравенство Коши о среднихСкачать
Неравенство Коши — Буняковского | Ботай со мной #049 | Борис Трушин |Скачать
Как доказать числовое неравенство через неравенства о среднихСкачать
Бельчонок-2023. Жесткое неравенствоСкачать
НЕРАВЕНСТВО О СРЕДНИХ: классика олимпиад #алгебраСкачать
Неравенства. Введение | Ботай со мной #046 | Борис Трушин !Скачать
Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать
10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать
Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать
Хитрая задача на доказательство неравенства | Неравенство о среднихСкачать
Математика это не ИсламСкачать
Математика. ПЕРЕЧНЕВЫЕ ОЛИМПИАДЫ. Неравенства-1Скачать
Неравенство о среднихСкачать