Неравенства о средних в окружности

Неравенства между средними значениями
Неравенства о средних в окружностиНеравенства между средними значениями
Неравенства о средних в окружностиНеравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом
Неравенства о средних в окружностиНеравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом
Неравенства о средних в окружностиНеравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом

Неравенства о средних в окружности

Видео:Неравенство о средних | Ботай со мной #048 | Борис Трушин !Скачать

Неравенство о средних | Ботай со мной #048 | Борис Трушин !

Неравенства между средними значениями

Для удобства приведем Таблицу из введенных в разделе «Средние значения» определений средних значений для произвольного набора из n положительных действительных чисел

Таблица – Средние значения

ОбозначениеФормулаНазвание
Неравенства о средних в окружностиmin ( x1 , x2 , … , xn )Минимум
M– 1Неравенства о средних в окружностиСреднее гармоническое
M0Неравенства о средних в окружностиСреднее геометрическое
M1Неравенства о средних в окружностиСреднее арифметическое
M2Неравенства о средних в окружностиСреднее квадратичное
Неравенства о средних в окружностиmax ( x1 , x2 , … , xn )Максимум

Неравенства о средних в окружности

Среднее гармоническое

Неравенства о средних в окружности

Среднее геометрическое

Неравенства о средних в окружности

Среднее арифметическое

Неравенства о средних в окружности

Среднее квадратичное

Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности

Утверждение 1 . Пусть p1 и p2 – произвольные действительные числа, удовлетворяющие неравенству p1 Тогда для произвольного набора из n положительных действительных чисел

Неравенства о средних в окружности,

причем в этом неравенстве знак равенства выполняется тогда и только тогда, когда все числа

Замечание . Утверждение 1 остается справедливым и в случае, когда Неравенства о средних в окружности, и в случае, когдаНеравенства о средних в окружности.

Следствие 1 . Для произвольного набора из n положительных чисел

справедливы следующие неравенства между его средними значениями:

Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности

Следствие 2 . Для произвольного набора из n положительных чисел

любые два из его средних значений

Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности

равны между собой тогда и только тогда, когда все числа

Итак, для n произвольных положительных чисел

справедлива следующая цепочка неравенств:

Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности

Видео:#167. НЕРАВЕНСТВО КОШИ О СРЕДНИХ!Скачать

#167. НЕРАВЕНСТВО КОШИ О СРЕДНИХ!

Неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности

утверждающее, что среднее геометрическое n положительных чисел не превосходит их среднего арифметического, называется неравенством Коши .

В случае, когда n = 2 , неравенство Коши имеет вид

Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности

Докажем это неравенство:

Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности

что и требовалось.

Из неравенства Коши с n = 2 , взяв

Неравенства о средних в окружности

нетрудно получить очень полезное следствие .

Следствие . Для произвольного положительного числа x выполнено неравенство

Неравенства о средних в окружности

Видео:Неравенство о среднихСкачать

Неравенство о средних

Неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом

В случае n переменных неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом имеет вид:

Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности

В случае, когда n = 2 , это неравенство имеет вид:

Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности

Докажем это неравенство:

Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности

На последнем этапе получилось неравенство Коши, доказанное в предыдущем разделе, следовательно, доказательство неравенства о среднем гармоническом и среднем геометрическом закончено.

Видео:Что больше? Или при чем тут неравенство Коши?Скачать

Что больше? Или при чем тут неравенство Коши?

Неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом

В случае n переменных неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом имеет вид:

Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности

В случае, когда n = 2 , это неравенство имеет вид:

Видео:#240. Неравенства Йенсена, о средних, Коши-Буняковского, ГёльдераСкачать

#240. Неравенства Йенсена, о средних, Коши-Буняковского, Гёльдера

Различные средние положительных. Неравенство Коши

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Соотношение между средними величинами.

Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического.

Хорошо известно, что с двумя положительными числами а и в , связаны их среднее арифметическое Неравенства о средних в окружностии среднее геометрическоеНеравенства о средних в окружности, причем Неравенства о средних в окружности(равенство выполняется только при а = в ). Алгебраическое доказательство этого неравенства чрезвычайно простое:

Применим формулу «квадрат разности»:

Прибавим к обеим частям неравенства 4ав :

Применим формулу «квадрат суммы»:

Разделим обе части неравенства на 4 :

Неравенства о средних в окружности;

ТНеравенства о средних в окружностиак как а и в – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень:

Получили искомое выражение.

Сравнение среднего арифметического и среднего квадратичного.

По определению неравенства если (а – в) ≥0, то а ≥ в, а если (а – в)≤0, то а ≤ в. Но для положительных а и в имеет место выражение: если ( а² — в²)≥0, то а ≥ в и наоборот .

Для доказательства Неравенства о средних в окружностирассмотрим разность

Неравенства о средних в окружности

Значит по определению неравенства (при а≥0; b ≥0 ) разность квадратов отрицательна, то есть уменьшаемое меньше вычитаемого. Таким образом Неравенства о средних в окружности, причём равенство достигается только при a = b .

Сравнение среднего гармонического и среднего геометрического.

Докажем, что среднее гармоническое не больше среднего геометрического, то есть Неравенства о средних в окружности. Рассмотрим разность Неравенства о средних в окружности

При условии, что a и b положительны разность квадратов Неравенства о средних в окружности, то есть уменьшаемое меньше вычитаемого. Значит Неравенства о средних в окружности, причём равенство достигается лишь при a = b .

Таким образом мы доказали одно из важнейших неравенств, связанных со средними:

Неравенства о средних в окружности.

Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического для двух положительных чисел a и b .

Неравенства о средних в окружности

Дано: окр. (О;ОА); AD = a ; BD = b

Доказать: Неравенства о средних в окружности

АНеравенства о средних в окружностиВ – диаметр, АВ = a + b и Неравенства о средних в окружности, следовательно, Неравенства о средних в окружности.

угол АСВ – вписанный

дуга АКВ = 180° значит, угол АСВ = 90 ° (по свойству вписанного угла)

ТНеравенства о средних в окружностиаким образом, ∆АСВ – прямоугольный,

∆ АВС подобен ∆ ADC

(по общему острому углу)

2) ∆АВС подобен ∆ CBD

3) CD ┴АВ , то есть ∆ ADC подобен ∆ CBD .

4) Неравенства о средних в окружности, следовательно, Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности, следовательно, Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности, следовательно, Неравенства о средних в окружности, значит, Неравенства о средних в окружности, то есть Неравенства о средних в окружности.

5) ∆ CDO – прямоугольный, CD ┴ OD , значит, CD OC , то есть Неравенства о средних в окружности.

6) Если a = b , то точка D совпадает с точкой О , то Неравенства о средних в окружности.

Поэтому Неравенства о средних в окружности, что и требовалось доказать.

Это неравенство можно доказать и другим способом.

Неравенства о средних в окружности

Дано: ABCD – прямоугольный, AD = a, AB = b, AK – биссектриса угла ВАD.

Доказать: Неравенства о средних в окружности

АК – биссектриса, следовательно, Неравенства о средних в окружностиВАL = Неравенства о средних в окружностиLAD. Неравенства о средних в окружностиLAD и Неравенства о средних в окружностиBLA – внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD и секущей AL, то есть Неравенства о средних в окружностиBLA = Неравенства о средних в окружностиLAD.

Неравенства о средних в окружностиВ = 90°, следовательно, Неравенства о средних в окружностиBAL = Неравенства о средних в окружностиLAD = 45°, но Неравенства о средних в окружностиBLA = Неравенства о средних в окружностиLAD, значит, ∆ АВL – равнобедренный, BL = AB = b.

∆ AKD – равнобедренный, так как KD ┴ AD, Неравенства о средних в окружностиDAL = 45°, значит AD = KD = a.

4) Неравенства о средних в окружностиНеравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности

Очевидно, что Неравенства о средних в окружности, Неравенства о средних в окружностиравенство достигается при

a = b , то есть ABCD – квадрат.

Неравенства о средних в окружности; Неравенства о средних в окружности,

заменим в неравенстве а² на m , b ² на n , получим

Неравенства о средних в окружностиили Неравенства о средних в окружности,

то есть среднее геометрическое не больше среднего арифметического.

Сравнение среднего квадратичного и среднего арифметического.

Средние для n положительных чисел .

Средние величины можно находить для любого количества положительных чисел Неравенства о средних в окружности. Определения этих средних даны выше. Для любых положительных чисел Неравенства о средних в окружностисреднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратичное удовлетворят неравенствам:

Неравенства о средних в окружности,

в каждом из которых знак равенства достигается лишь в случае, когда Неравенства о средних в окружности.

Самым важным и значимым из этих неравенств является неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, которое носит название неравенства Коши.

Замечательные пределы, порождаемые классическими средними.

Пусть даны два положительных числа a и b , a b . Вычислив какую – либо пару средних этих чисел, получим числа Неравенства о средних в окружностии Неравенства о средних в окружности. Затем для чисел Неравенства о средних в окружностии Неравенства о средних в окружностивычислим те же средние – получим числа Неравенства о средних в окружностии Неравенства о средних в окружности. С ними повторим ту же процедуру и так далее. В результате получим последовательности Неравенства о средних в окружностии Неравенства о средних в окружности.

Например, взяв среднее геометрическое и среднее арифметическое и отправляясь от чисел 1 и 3, получаем

Неравенства о средних в окружностиНеравенства о средних в окружности

В этом примере последовательности Неравенства о средних в окружностии Неравенства о средних в окружностиочень быстро сближаются. Всегда ли так будет? Оказывается, подобные последовательности всегда имеют общий предел.

Арифметико – гармоническое среднее.

Пусть выбранная пара средних – это среднее гармоническое и среднее арифметическое; таким образом, члены последовательностей Неравенства о средних в окружностии Неравенства о средних в окружностиопределяются формулами

Неравенства о средних в окружности, Неравенства о средних в окружности, Неравенства о средних в окружностиНеравенства о средних в окружности, Неравенства о средних в окружности.

Рассмотрим среднее гармоническое, среднее геометрическое и среднее арифметическое

Неравенства о средних в окружности.

Отсюда следует, что

Неравенства о средних в окружности.

То есть последовательность Неравенства о средних в окружностивозрастает «навстречу» убывающей последовательности Неравенства о средних в окружности.

Таким образом, обе последовательности монотонны и ограничены, следовательно, они имеют пределы. Пусть Неравенства о средних в окружности, Неравенства о средних в окружности. Вычислим предел Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности

Неравенства о средних в окружности

То есть последовательности Неравенства о средних в окружностии Неравенства о средних в окружностиимеют общий предел. Этот предел называется арифметико – гармоническим средним чисел a и b .

Так как Неравенства о средних в окружностии Неравенства о средних в окружности, где n =0, 1, 2, 3,… ; Неравенства о средних в окружности; Неравенства о средних в окружности, то

Неравенства о средних в окружности, поэтому

Неравенства о средних в окружности

Поэтому Неравенства о средних в окружности.

Арифметико – гармоническое среднее совпадает со средним геометрическим.

Таким образом последовательности Неравенства о средних в окружностии Неравенства о средних в окружностидостаточно быстро сходятся к Неравенства о средних в окружности. Поэтому они могут оказаться полезными для приближённого вычисления квадратных корней. Для вычисления Неравенства о средних в окружностинужно начинать последовательности Неравенства о средних в окружности, Неравенства о средних в окружностис таких чисел a и b , что c = ab (например, a =1, b = c ), причём процесс будет сходиться тем быстрее, чем меньше разность между этими множителями (например, для вычисления Неравенства о средних в окружностилучше брать не a =1, b =56 , а a =7, b =8 ). Последовательности Неравенства о средних в окружностии Неравенства о средних в окружностиполучаются по формулам

Неравенства о средних в окружности; Неравенства о средних в окружности.

Для иллюстрации вычислим Неравенства о средних в окружности, положив b =4 . Получаем

Неравенства о средних в окружности

и далее все знаки стабилизируются:

Неравенства о средних в окружности.

Арифметико – геометрическое среднее.

Четырнадцатилетний карл Фридрих Гаусс обнаружил на числовых примерах, что при вычислении последовательностей Неравенства о средних в окружностии Неравенства о средних в окружностис помощью арифметических и геометрических средних:

Неравенства о средних в окружности, Неравенства о средних в окружности, Неравенства о средних в окружности

эти последовательности очень быстро сближаются.

Их общий предел называется арифметико – геометрическим средним чисел a и b и обозначается через Неравенства о средних в окружности. Найти явное выражение Неравенства о средних в окружностичерез a и b очень не просто. Впервые оно было получено Гауссом в результате необычайно остроумных и виртуозных рассуждений и преобразований, использующих свойства так называемых эллиптических интегралов.

Геометрическо – гармоническое среднее.

Если строить последовательности Неравенства о средних в окружностии Неравенства о средних в окружностис помощью средних гармонических и средних геометрических:

Неравенства о средних в окружностиНеравенства о средних в окружности; Неравенства о средних в окружности,

то в этом случае они сходятся к общему пределу. Назовём его геометрическо – гармоническим средним a и b и обозначим его через Неравенства о средних в окружности. Однако ничего существенно нового по сравнению с предыдущими последовательностями здесь нет, так как

Неравенства о средних в окружности; Неравенства о средних в окружности.

Неравенства о средних в окружности.

Видео:Неравенства о средних Часть 1 AM GM неравенствоСкачать

Неравенства о средних  Часть 1  AM GM неравенство

Неравенство круга

Решите систему неравенств

Решение:

Данную систему можно записать следующим образом:

Первое неравенство системы задает круг радиуса 5 с центром в точке А(2; -1), второе неравенство — круг радиуса 5 с центром в точке В(-4; 7) (смотри рисунок). Расстояние между центрами этих кругов равно

и, следовательно, равно сумме их радиусов. Значит, круги касаются и координаты точки касания С — единственное решение данной системы неравенств. Точка касания С является серединой отрезка АВ, и ее координаты можно найти как среднее арифметическое соответствующих координат точек А и В, то есть С(-1; 3).

Иные задачи с уравнениями и неравенствами кругов и окружностей здесь.

💥 Видео

✅ Неравенство Коши #shortsСкачать

✅ Неравенство Коши #shorts

Неравенство Коши о среднихСкачать

Неравенство Коши о средних

Неравенство Коши — Буняковского | Ботай со мной #049 | Борис Трушин |Скачать

Неравенство Коши — Буняковского | Ботай со мной #049 | Борис Трушин |

Как доказать числовое неравенство через неравенства о среднихСкачать

Как доказать числовое неравенство через неравенства о средних

Бельчонок-2023. Жесткое неравенствоСкачать

Бельчонок-2023. Жесткое неравенство

НЕРАВЕНСТВО О СРЕДНИХ: классика олимпиад #алгебраСкачать

НЕРАВЕНСТВО О СРЕДНИХ: классика олимпиад #алгебра

Неравенства. Введение | Ботай со мной #046 | Борис Трушин !Скачать

Неравенства. Введение | Ботай со мной #046 | Борис Трушин !

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать

10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенства

Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать

Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnline

Хитрая задача на доказательство неравенства | Неравенство о среднихСкачать

Хитрая задача на доказательство неравенства | Неравенство о средних

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Математика. ПЕРЕЧНЕВЫЕ ОЛИМПИАДЫ. Неравенства-1Скачать

Математика. ПЕРЕЧНЕВЫЕ ОЛИМПИАДЫ. Неравенства-1

Неравенство о среднихСкачать

Неравенство о средних
Поделиться или сохранить к себе: