Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Свойство четырехугольника вписанного в трапециюВписанные четырехугольники и их свойства
Свойство четырехугольника вписанного в трапециюТеорема Птолемея
Содержание
  1. Вписанные четырёхугольники и их свойства
  2. Теорема Птолемея
  3. Трапеция. Свойства трапеции
  4. Свойства трапеции
  5. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
  6. Вписанная окружность
  7. Площадь
  8. Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
  9. Основные свойства трапеции
  10. Сторона трапеции
  11. Формулы определения длин сторон трапеции:
  12. Средняя линия трапеции
  13. Формулы определения длины средней линии трапеции:
  14. Высота трапеции
  15. Формулы определения длины высоты трапеции:
  16. Диагонали трапеции
  17. Формулы определения длины диагоналей трапеции:
  18. Площадь трапеции
  19. Формулы определения площади трапеции:
  20. Периметр трапеции
  21. Формула определения периметра трапеции:
  22. Окружность описанная вокруг трапеции
  23. Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
  24. Окружность вписанная в трапецию
  25. Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
  26. Другие отрезки разносторонней трапеции
  27. Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
  28. 💥 Видео

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаСвойство четырехугольника вписанного в трапециюОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаСвойство четырехугольника вписанного в трапециюОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииСвойство четырехугольника вписанного в трапециюОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаСвойство четырехугольника вписанного в трапециюОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникСвойство четырехугольника вписанного в трапецию

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Окружность, описанная около параллелограмма
Свойство четырехугольника вписанного в трапециюОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Свойство четырехугольника вписанного в трапециюОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Свойство четырехугольника вписанного в трапециюОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Свойство четырехугольника вписанного в трапециюОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Свойство четырехугольника вписанного в трапецию
Окружность, описанная около параллелограмма
Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаСвойство четырехугольника вписанного в трапецию

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииСвойство четырехугольника вписанного в трапецию

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаСвойство четырехугольника вписанного в трапецию

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникСвойство четырехугольника вписанного в трапецию

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Докажем, что справедливо равенство:

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

откуда вытекает равенство:

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

3. Треугольники Свойство четырехугольника вписанного в трапециюи Свойство четырехугольника вписанного в трапецию, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Отношение площадей этих треугольников есть Свойство четырехугольника вписанного в трапецию.

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

4. Треугольники Свойство четырехугольника вписанного в трапециюи Свойство четырехугольника вписанного в трапецию, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Видео:Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Свойство четырехугольника вписанного в трапециюи она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Свойство четырехугольника вписанного в трапециюи Свойство четырехугольника вписанного в трапецию, то Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

Площадь

Свойство четырехугольника вписанного в трапециюили Свойство четырехугольника вписанного в трапециюгде Свойство четырехугольника вписанного в трапецию– средняя линия

Свойство четырехугольника вписанного в трапецию

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTSСкачать

свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTS

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Свойство четырехугольника вписанного в трапециюСвойство четырехугольника вписанного в трапецию
Рис.1Рис.2

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m =a + b
2

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =hd =h
sin αsin β

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =S
h

Видео:Свойство и признак вписанного четырехугольникаСкачать

Свойство и признак вписанного четырехугольника

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
2 m2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

h =2S
a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h =S
m

Видео:#Свойство углов вписанного четырехугольникаСкачать

#Свойство углов вписанного четырехугольника

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =d 2 + ab —a ( d 2 — c 2 )
a — b
d 2 =c 2 + ab —a ( c 2 — d 2 )
a — b

d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2

d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2

Видео:Трапеция и вписанная окружностьСкачать

Трапеция и вписанная окружность

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S =( a + b )· h
2

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =d 1 d 2· sin γ=d 1 d 2· sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S =a + bc 2 —(( a — b ) 2 + c 2 — d 2)2
22( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =a + b√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |

где

p =a + b + c + d— полупериметр трапеции.
2

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

где

p =a + c + d 1
2

a — большее основание

Видео:СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ. ТРАПЕЦИЯ. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. Контрольная № 2 Геометрия 8 классСкачать

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ. ТРАПЕЦИЯ. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. Контрольная № 2 Геометрия 8 класс

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r =h
2

Видео:Бицентрический четырёхугольник. Вписанно-описанная трапецияСкачать

Бицентрический четырёхугольник.  Вписанно-описанная трапеция

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =bKN = ML =aTO = OQ =a · b
22a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

💥 Видео

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика
Поделиться или сохранить к себе: