Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов

Смежные и вертикальные углы

Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Смежные углы

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Следовательно, два смежных угла составляют развёрнутый угол. Общая сторона двух смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат другие стороны (только в том случае, когда смежные углы не равны).

Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов

∠ABD и ∠DBC — это смежные углы, AC — прямая, луч BD — общая сторона углов и наклонная к прямой AC, ∠ABC — развёрнутый угол, B — основание наклонной.

Чтобы построить угол, смежный с данным углом, нужно одну из сторон угла продлить за вершину:

Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов

Видео:7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углыСкачать

7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углы

Сумма смежных углов

Любые два смежных угла составляют в сумме развёрнутый угол. Развёрнутый угол равен двум прямым углам, поэтому можно сказать, что сумма двух смежных углов равна двум прямым углам.

Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов

где d — это обозначение прямого угла (d = 90°).

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Вертикальные углы

Вертикальные углы — это пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла. Пересечение двух прямых линий образует две пары вертикальных углов:

Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов

∠AOB и ∠COD, а также ∠AOD и ∠BOC — вертикальные углы.

Видео:Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

Равенство вертикальных углов

Вертикальные углы равны между собой. Рассмотрим вертикальные углы 1 и 3:

Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов

Сумма 1 и 2 равна развёрнутому углу (180°). Сумма 2 и 3 тоже равна развёрнутому углу (180°). Значит:

Следовательно, 1 = 3. Равенство вертикальных углов доказано.

Видео:Геометрия 7 класс | Вертикальные, смежные, накрест лежащие и другие углы (теория) | МАТЕМАТИКА 2021Скачать

Геометрия 7 класс | Вертикальные, смежные, накрест лежащие и другие углы (теория) | МАТЕМАТИКА 2021

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Видео:Смежные углы. 7 класс.Скачать

Смежные углы. 7 класс.

Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов

Определение 1. Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов

На Рис.1 углы AOB и COD вертикальные. Вертикальные также углы AOD и BOC.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Свойства вертикальных углов

1. Вертикальные углы равны.

2. Две пересекающие прямые образуют две пары вертикальных углов.

Доказательство пункта 1. Поскольку 1, 3 и 2, 3 смежные углы, то имеем

Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов, Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов
Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов, Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов

Следовательно Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов. Аналогично доказывается, что Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№6 - Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№6 - Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы.)

Задачи и решения

Задание 1. Угол 1 равен 32°. Найти углы 2, 3, 4 (Рис.2).

Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов

Решение. Так как углы 1 и 2 вертикальны, то Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов. Углы 1 и 4 смежные. Следовательно Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов. Тогда

Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных угловСвойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов.

Углы 3 и 4 вертикальные. Тогда Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов

Ответ. Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов.

Задание 2. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух углов равна 220°. Найти все углы.

Решение. Из образованных четырех углов любые две или смежные, или вертикальные. Поскольку в нашей задаче сумма двух углов равна 220°, то эти углы вертикальные (так как сумма смежных углов равна 180°). Тогда каждый из этих углов равен 220°:2=110°. Смежный по отношению угла 110° , будет угол 180°-110°=70°. Следовательно остальные два угла равны 70°. Отметим, что сумма всех четырех углов равен 360°:

Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов.

Ответ. Свойства параллельных прямых и свойства смежных и вертикальных углов.

🔥 Видео

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. §15 геометрия 7 классСкачать

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. §15 геометрия 7 класс

Вертикальные углы. 7 класс.Скачать

Вертикальные углы. 7 класс.

Пары углов в геометрииСкачать

Пары углов в геометрии

Это пора запомнить! Свойства углов при параллельных прямых и секущей. #геометрияСкачать

Это пора запомнить! Свойства углов при параллельных прямых и секущей. #геометрия

Свойства параллельных прямых - 7 класс геометрияСкачать

Свойства параллельных прямых - 7 класс геометрия

Вертикальные углы. Теорема и свойстваСкачать

Вертикальные углы. Теорема и свойства

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

ГЕОМЕТРИЯ 7 КЛАСС: Смежные и Вертикальные Углы // Свойства угловСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 КЛАСС: Смежные и Вертикальные Углы // Свойства углов

Смежные и вертикальные углы. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Смежные и вертикальные углы. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.

Применение свойств смежных и вертикальных угловСкачать

Применение свойств смежных и вертикальных углов

СМЕЖНЫЕ ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ геометрия 7 класс. Теорема, доказательствоСкачать

СМЕЖНЫЕ ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ геометрия 7 класс. Теорема, доказательство

Урок 15 Свойства параллельных прямых (7 класс)Скачать

Урок 15  Свойства параллельных прямых (7 класс)
Поделиться или сохранить к себе: