Свойства диаметра в окружности

Радиус и диаметр окружности

Окружность — это фигура в геометрии, которая состоит
из множества точек, расположенных на одинаковом
расстоянии от заданной точки (центра окружности).

Радиус окружности — это отрезок, который соединяет
центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Диаметр окружности — это отрезок, который соединяет
две любые точки окружности, причем сам отрезок
должен проходить через центр окружности

Eсли от центра окружности провести
отрезки ко всем точкам окружности, то они будут иметь
одинаковую длину, то есть равны. В математике
такие отрезки называют радиусами.

Все радиусы окружности, как и диаметры окружности,
равны между собой, имеют одинаковую длину.

Свойства диаметра в окружности

На рисунке выше изображена окружность, с центром в точке O.
OA = OB = OC — радиусы окружности;
BC = CO + OB — диаметр окружности;

Радиус окружности принято обозначать маленькой либо большой буквой, r или R.
Диаметр окружности обозначают буквой D.

Диаметр окружности условно состоит из двух
радиусов и равен длинам этих радиусов.

Длину радиуса окружности можно найти через диаметр окружности.
Для этого достаточно разделить на два длину диаметра окружности,
получившееся число и будет радиусом.

Формула радиуса окружности через диаметр:

Формула диаметра окружности через радиус:

Также, окружность, может быть вписанной в фигуру, описанной
около фигуры; или вообще может быть не вписана и не описана.
Формула радиуса окружности зависит от того находится фигура
внутри окружности, или окружность находится около фигуры.

Существует радиус вписанной окружности
и радиус описанной окружности.

Формулы радиуса вписанной и радиуса описанной окружностей
зависят в первую очередь от геометрической фигуры.

Радиус вписанной окружности — это радиус окружности,
которая вписана в геометрическую фигуру.

Радиус описанной окружности — это радиус окружности,
которая описана около геометрической фигуры.

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Видео:Свойство диаметра окружности. 7 класс.Скачать

Свойство диаметра окружности. 7 класс.

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Видео:Радиус и диаметрСкачать

    Радиус и диаметр

    Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

    Свойства диаметра в окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
    Свойства диаметра в окружностиСвойства хорд и дуг окружности
    Свойства диаметра в окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
    Свойства диаметра в окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
    Свойства диаметра в окружностиТеорема о бабочке

    Свойства диаметра в окружности

    Видео:№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружностиСкачать

    №145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности

    Отрезки и прямые, связанные с окружностью

    Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

    Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

    Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

    Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

    Хорда, проходящая через центр окружности.

    Диаметр является самой длинной хордой окружности

    Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

    Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

    Прямая, пересекающая окружность в двух точках

    ФигураРисунокОпределение и свойства
    ОкружностьСвойства диаметра в окружности
    КругСвойства диаметра в окружности
    РадиусСвойства диаметра в окружности
    ХордаСвойства диаметра в окружности
    ДиаметрСвойства диаметра в окружности
    КасательнаяСвойства диаметра в окружности
    СекущаяСвойства диаметра в окружности
    Окружность
    Свойства диаметра в окружности

    Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

    КругСвойства диаметра в окружности

    Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

    РадиусСвойства диаметра в окружности

    Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

    ХордаСвойства диаметра в окружности

    Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

    ДиаметрСвойства диаметра в окружности

    Хорда, проходящая через центр окружности.

    Диаметр является самой длинной хордой окружности

    КасательнаяСвойства диаметра в окружности

    Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

    Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

    СекущаяСвойства диаметра в окружности

    Прямая, пересекающая окружность в двух точках

    Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

    Окружность. 7 класс.

    Свойства хорд и дуг окружности

    ФигураРисунокСвойство
    Диаметр, перпендикулярный к хордеСвойства диаметра в окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
    Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
    Равные хордыСвойства диаметра в окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
    Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
    Две хорды разной длиныСвойства диаметра в окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
    Равные дугиСвойства диаметра в окружностиУ равных дуг равны и хорды.
    Параллельные хордыСвойства диаметра в окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
    Диаметр, перпендикулярный к хорде
    Свойства диаметра в окружности

    Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

    Диаметр, проходящий через середину хордыСвойства диаметра в окружности

    Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

    Равные хордыСвойства диаметра в окружности

    Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

    Хорды, равноудалённые от центра окружностиСвойства диаметра в окружности

    Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

    Две хорды разной длиныСвойства диаметра в окружности

    Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

    Равные дугиСвойства диаметра в окружности

    У равных дуг равны и хорды.

    Параллельные хордыСвойства диаметра в окружности

    Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

    Видео:№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

    №144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

    Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

    Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

    Свойства диаметра в окружности

    Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    ФигураРисунокТеорема
    Пересекающиеся хордыСвойства диаметра в окружности
    Касательные, проведённые к окружности из одной точкиСвойства диаметра в окружности
    Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСвойства диаметра в окружности
    Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСвойства диаметра в окружности

    Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

    Свойства диаметра в окружности

    Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Пересекающиеся хорды
    Свойства диаметра в окружности
    Касательные, проведённые к окружности из одной точки
    Свойства диаметра в окружности
    Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
    Свойства диаметра в окружности
    Секущие, проведённые из одной точки вне круга
    Свойства диаметра в окружности
    Пересекающиеся хорды
    Свойства диаметра в окружности

    Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

    Свойства диаметра в окружности

    Касательные, проведённые к окружности из одной точки

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

    Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Секущие, проведённые из одной точки вне круга

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

    Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

    Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Тогда справедливо равенство

    Свойства диаметра в окружности

    Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

    Свойства диаметра в окружности

    откуда и вытекает требуемое утверждение.

    Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

    Свойства диаметра в окружности

    Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

    Свойства диаметра в окружности

    откуда и вытекает требуемое утверждение.

    Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

    Свойства диаметра в окружности

    Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

    Свойства диаметра в окружности

    откуда и вытекает требуемое утверждение.

    Видео:КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

    КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

    Теорема о бабочке

    Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Воспользовавшись теоремой 1, получим

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Свойства диаметра в окружности

    Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

    Свойства диаметра в окружности

    откуда вытекает равенство

    что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

    🎥 Видео

    Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

    Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

    Геометрия. Свойства окружности. Диаметр и хордаСкачать

    Геометрия. Свойства окружности. Диаметр и хорда

    Радиус Хорда ДиаметрСкачать

    Радиус Хорда Диаметр

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

    Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

    Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

    Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

    Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать

    Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде

    РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

    РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?

    7 класс, 21 урок, ОкружностьСкачать

    7 класс, 21 урок, Окружность
    Поделиться или сохранить к себе: