Центры трех попарно касающихся друг друга окружностей разных радиусов (3 видео)

Содержание

Центры трёх попарно касающихся друг друга внешним образом окружностей расположены в точках А, В и С, ABC = 90°. Точки касания К, Р и М; точка Р находится на стороне АС. Найдите угол КРМ.
Ваш ответ
Похожие вопросы
Технологическая карта урока геометрии в 8 классе «Касающиеся окружности»
Задача №1 Решение:
Ответ: 9
Задача №3 Решение:
Краткое описание документа:
🔥 Видео

Видео:Геометрия Три окружности разных радиусов попарно касаются друг друга. Отрезки, соединяющие их центрыСкачать

Центры трёх попарно касающихся друг друга внешним образом окружностей расположены в точках А, В и С, ABC = 90°. Точки касания К, Р и М; точка Р находится на стороне АС. Найдите угол КРМ.

Видео:ЕГЭ Задание 16 Комбинация трёх окружностейСкачать

Ваш ответ

Видео:ЕГЭ Задание 16 Внешнее касание трёх окружностейСкачать

Технологическая карта урока геометрии в 8 классе «Касающиеся окружности»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Технологическая карта урока геометрии в 8 классе по теме

Ценова Елена Николаевна , учитель математики

Тип урока : урок обобщения, повторения и формирования новых знаний.

Вид урока : комбинированный.

Цель: Создать условия для систематизации знаний о случаях внешнего и внутреннего касания окружностей и формирование умения решать задачи с опорой на эти знания.

Повторить ранее изученный материал.

Обобщить и систематизировать знания учащихся о возможных случаях касания окружностей.

Применить полученные знания при решении задач разного уровня сложности, в том числе задач ОГЭ и и ЕГЭ.

Формировать познавательную мотивацию.

Развивать пространственное представление, геометрическое мышление.

Личностные: у меть проводить самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.

Метапредметные: работа над понятием информация-знание; развивать познавательную деятельность учащихся.

Предметные: иметь представление о возможных случаях касания окружностей; применять знания при решении задач .

Познавательные УУД: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение.

Коммуникативные УУД: умение находить общее решение и решать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов.

Регулятивные УУД: умение адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи.

Личностные УУД: способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений.

Формы урока: индивидуальная; фронтальная; групповая.

Оборудование: ПК, проектор и экран.

Преподавание ведется по учебнику Геометрия 7-9 классов общеобразовательных учреждений / под редакцией Л.С. Атанасяна и др. М.: Просвещение, 2013 год.

Цель этапа : создать

настрой на работу

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.

Включаются в деловой ритм урока.

Умение совместно договариваться о правилах поведения и общения.

2. Актуализация знаний и умений

Цель этапа: напомнить предыдущий изученный материал, на базе какого будут усваиваться новые знания.

Ребята, в качестве повторения теоретического материала, я предлагаю Вам разгадать кроссворд.

— Один мудрец сказал: « Окружность – душа геометрии. Познайте окружность и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою». Как вы понимаете его слова?

— Попробуйте решить софизм.

Вспоминают пройденный материал, дают объяснения на поставленные вопросы самостоятельно, сравнивают свои ответы с изображением на экране.

Осмысливают слова мудреца, высказывают свои мнения.

Вспоминают, что такое софизм (Софизмом называют умышленно-ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного.

Приходят к выводу, что нарушено применение признака равенства треугольников.

Умение ориентироваться в своей системе знаний.

Умение слушать и слышать; формулировать устные высказывания.

Умение соотнесения того, что уже известно и усвоено, и того, что ещё неизвестно; умение определения последовательности промежуточных целей с учётом конечного результата; составление плана и последовательности

Умение устанавливать причинно-следственные связи, мыслить аналитически.

Умение выражать свои мысли, аргументировать свое решение.

Умение адекватно реагировать на трудности и не боятся сделать ошибку.

3. Целеполагание и мотивация

Цель этапа: обеспечить у учащихся ощущение продвижения вперед, переживания успеха в учебной деятельности.

— Определиться с темой сегодняшнего урока нам поможет кроссенс. Что можно расположить в центре таблицы? Ваша задача – объяснить кроссенс, составить рассказ — ассоциативную цепочку, посредством взаимосвязи изображений; вывести тему урока.

Учащиеся дают определение кроссенса. Кроссенс — это головоломка, которая состоит из 9 квадратиков, в которых помещены изображения. Девять изображений расставлены таким образом, что каждая картинка имеет связь с предыдущей и

центральная объединяет по смыслу сразу несколько. Объясняют кроссенс и самостоятельно выводят тему урока «Касающиеся окружности».

Предполагаемые ответы учеников:

1. Окружность. Касание окружностей бывает

внешним и внутренним.

касаются внешним образом (касаются извне), если их центры лежат по разные стороны от их общей касательной. Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей.

касаются внутренним образом (касаются изнутри), если их центры лежат по одну сторону от их общей касательной. Линия

центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания.

4. Можно рассмотреть касание не только 2-х окружностей, но и 3-х, 4-х. Здесь три окружности разных радиусов попарно касаются друг друга внешним образом. К ним проведена общая касательная.

касание 3-х окружностей. Две окружности касаются третьей – одна изнутри другая извне.

6. Две окружности

касаются друг друга внешним образом, причём, каждая из них изнутри касается третьей окружности.

7. В угол вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом.

8. Три окружности

касаются друг друга внешним образом, причём, каждая из них изнутри касается четвёртой окружности.

Умение структурировать информацию в нужной форме.

Умение ставить учебную задачу на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено, и того, что ещё неизвестно.

Организация совместного обсуждения, установления сотрудничества с учителем, речевая коммуникация. Проявление интереса к новому содержанию.

4. Первичное усвоение новых знаний.

Цель этапа: помочь усвоить учащимися новый материал с помощью активной деятельности на уроке, осмыслить определенные понятия , организовать решение и объяснение задания.

Организует в группах самостоятельную работу. Решение задач полуустно.

Задача №1 Три равных окружности радиуса R касаются друг друга внешним образом. Найдите углы треугольника, вершинами которого служат точки касания.

Задача №2 Две равных окружности касаются изнутри третьей и касаются между собой. Соединив три центра, получим треугольник с периметром, равным 18. Найдите радиус большей окружности.

Задача №3 Три окружности радиусов 6, 7 и 8 попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах этих окружностей.

Задача №4 Три окружности разных радиусов попарно касаются друг друга внешним образом. Отрезки, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник. Найдите радиус меньшей окружности, если радиусы большей и средней равны 6 и 4.

Учитель осуществляет взаимооценивание интересным приёмом «Кулак-ладонь».

Сущность метода направлена на формирование навыков самооценивания и самоуправления:

раскрытая ладонь, если они ученики уверены, что достигли целей и ожидаемых результатов;

три пальца вверх, если они считают, что частично преуспели в достижении целей, но следует еще поработать;

кулак, если они считают, что сделали незначительные успехи или совсем ничего для достижения цели.

Решают задачи по карточкам в группах самостоятельно.

Задача №1 Решение:

Рассмотрим равносторонний треугольник с вершинами в центрах окружностей. Его стороны равны 2R. Стороны искомого треугольника являются его средними линиями, поэтому равны R.

Ответ: 60 0 ; 60 0 ; 60 0 .

Пусть радиусы данных окружностей равны r , r и R ( r R ). Тогда стороны указанного треугольника равны R — r , R — r и 2 r . Поэтому

Следовательно, R = 9.

Ответ: 9

Задача №3 Решение:

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому стороны треугольника с вершинами в центрах окружностей равны 13, 14 и 15. Пусть S — площадь треугольника, p-п олупериметр. Тогда p= (13 + 14 + 15) = 21 . По формуле Герона

S== == 7 · 3 · 4 = 84 .

Задача №4 Решение:

Пусть x – радиус меньшей окружности. Стороны получившегося треугольника равны 10, 6 + x и 4 + x.
Поскольку 10 – наибольшая сторона, это гипотенуза. Значит, (x + 6)² + (x + 4)² = 100, откуда x = 2.

Умение строить рассуждения в форме связи простых суждений об объекте, ориентироваться в своей системе знаний, умение производить выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.

Умение контролировать и оценивать свои действия, саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию (к выбору в ситуации мотивационного конфликта) и преодолению препятствий.

Умение осуществлять инициативное сотрудничество в поиске, сборе и структурировании информации. Формирование внутренней позиции, адекватной мотивации учебной деятельности, умение замечать и признавать расхождение своих поступков со своими заявленными позициями.

5. Контроль усвоения, обсуждение ошибок и их коррекция

Цель этапа : закрепление знаний и способов действий.

Решение задачи с полным оформлением.

Задача №5 Две окружности радиуса r касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается извне третьей окружности радиуса R в точках A и B

соответственно. Найдите радиус r, если AB = 12, R = 8.

Умение преобразовывать информацию из одной формы в другую, самостоятельно создавать алгоритмы деятельности при решении проблем творческого и поискового характера.

Выделения и осознания обучающимися того, что уже усвоено и что ещѐ нужно усвоить, осознание качества и уровня усвоения; оценка результатов работы; умение вносить необходимые коррективы в действие.

Умение оформлять свои мысли в устной и письменной форме, умение осуществлять самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.

6. Домашнее задание.

Цель этапа: выделить основные моменты по выполнению домашнего задания .

Даёт пояснения к выполнению домашнего задания. Обеспечивает понимание детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.
1) Дана окружность радиуса R . Четыре окружности равных радиусов касаются данной внешним образом, и каждая из этих четырёх окружностей касается двух других. Найдите радиусы этих четырёх окружностей.

2) В угол, равный 60 о , вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен r . Найдите радиус большей окружности.

Слушают речь учителя, читают текст задач домашнего задания.

Способность использовать полученные знания при выполнении домашнего задания.

Умение работать по плану.

7. Рефлексия учебной деятельности на уроке

Подведение итогов урока.

Организует рефлексию, соотносит цель и результаты учебной деятельности, намечает дальнейшие цели деятельности

— Давайте подведём итоги. Представьте, что сегодняшний урок вы провели в ресторане. Ответьте на вопросы:

С оотносят цели урока и результаты собственной деятельности.

Анализируют свою деятельность на уроке, отвечая на вопросы учителя.

Умение выражать свои мысли, строить высказывание в соответствие с задачами коммуникации. Умение размышлять, заниматься самонаблюдением; самоанализ, осмысление, условий и результатов собственной деятельности.

Умение проговаривать последовательность действий на уроке, оценивать правильность выполнения действий на уровне адекватной ретроспективной оценки.

Умение осуществлять самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности, формирование внутренней позиции, ориентируемой на моральные нормы

Краткое описание документа:

Технологическая карта разработана с учётом требований ФГОС. Данный урок позволяет обобщить и систематизировать знания учащихся о случаях внешнего и внутреннего касания окружностей и применить полученные знания при решении задач разного уровня сложности, в том числе задач ОГЭ и и ЕГЭ.