Доказательство равенства треугольников с медианой (7 видео)

№ 7. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.

Сделаем дополнительные построения:

Продолжим AD до точки K, так, что DK = AD. Продолжим A₁D₁ до точки K₁, так, что D₁K₁ = A₁D₁. В ΔADC и ΔDBK: AD = DK

∠ADC = ∠BDK (как вертикальные) BD = DC (т.к. AD — медиана)

Таким образом, ΔADC = ΔDBK по 1-му признаку, и ∠DAC = ∠DKB АС = BK.

Решебник по геометрии за 7 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №7
к главе «§ 3. Признаки равенства треугольников».

Содержание

Признаки равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты
Скачать:
Предварительный просмотр:
Медиана треугольника
💡 Видео

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты

Признаки равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты. Решетников Михаил Сергеевич, Харютченко Данил Александрович. Муниципальный этап.

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
Признаки равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты	1.67 МБ

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Предварительный просмотр:

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП XI ВСЕРОССИЙСКОГО ДЕТСКОГО КОНКУРСА
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ И ТВОРЧЕСКИХ РАБОТ
«ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКЕ»

Секция: информационные технологии; математика;

Тема: Признаки равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты

Авторы: Решетников Михаил Сергеевич, МОУ «Октябрьская СОШ им. Ю. Чумака», 8 класс

Харютченко Данил Александрович, МОУ «Октябрьская СОШ им. Ю. Чумака», 8 класс

Научный руководитель: Шевченко Елена Михайловна, учитель математики МОУ «Октябрьская СОШ им. Ю. Чумака»

Место выполнения работы: Белгородская область, Белгородский район, поселок Октябрьский

Признаки равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты

Треугольник – одна из самых простых и загадочных геометрических фигур. Вот уже два с половиной тысячелетия открываются его новые и новые свойства. Со времен «Начал» Евклида геометрия строится на основе трех признаков равенства треугольников. Исходя из того, что в треугольнике выделяют шесть основных элементов: три внутренних угла и три соответственно противолежащие им стороны, равенство треугольников устанавливается по равенству трех из шести элементов. Три следующих признака являются фундаментом геометрии:

по двум сторонам и углу между ними;
по стороне и прилежащим к ней углам;
по трём сторонам.

Эти признаки отличаются простотой формулировки и часто применяются при решении задач базового уровня. Рассматривая более сложные задачи, приходится фактически «изобретать велосипед», дважды или трижды применять известные признаки, конструируя из них решение. Это приводит к следующему выводу: известных трех признаков не всегда достаточно.

Если учесть, что для каждого треугольника однозначно определяются три медианы, три биссектрисы и три высоты, то число элементов треугольника увеличивается до 15. В связи с этим возникает следующая гипотеза: наряду с основными тремя признаками равенства треугольников можно сформулировать и доказать новые признаки равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты, знание которых поможет в решении многих геометрических задач.

Объектом данного исследования является треугольник и его элементы, в том числе медианы, биссектрисы и высоты; предмет исследования – признаки равенства треугольников.

сформулировать и доказать новые признаки равенства треугольников;

обосновать эффективность применения новых признаков равенства треугольников при решении геометрических задач.

проанализировать определения и свойства медианы, биссектрисы и высоты;
выявить зависимость между равенством отдельных элементов и равенством треугольников;
определить типы геометрических задач, при решении которых целесообразно применение полученных признаков.

В работе применялись методы научного исследования: анализ, сравнение, математическое моделирование.

Для доказательства новых признаков равенства треугольников использовались только первый, второй и третий признаки равенства треугольников, что обеспечивает простоту доказательства и доступность данной работы для широкого круга школьников.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).