M x1 y1 z1 k x2 y2 z2 тогда координаты вектора km равны (2 видео)

Координаты и компоненты вектора

Выберем в пространстве ПДСК Oxyz. Обозначим через i, j, k орты положительных направлений осей Ox, Oy, Oz (рис.19). Рассмотрим произвольный вектор а, начало которого лежит в т.О, а конец – в т. А. Проведем через т. А плоскости, перпендикулярные осям Ox, Oy, Oz. Эти плоскости пересекут координатные оси в точках P, Q, R соответственно. Из рис. 17 видно, что a = + + . (1)

Векторы , , коллинеарны соответственно ортам i, j, k, поэтому найдутся числа x, y, z такие, что = xi, = уj, = zk и, следовательно,

а = xi + уj + zk . (2)

Формула (2) называется разложением вектора а по векторамi, j, k .

Векторы i, j, k попарно ортогональны, а их длины равны единице. Тройку i, j, k называют ортонормированным (координатным) базисом или ортобазисом.

M x1 y1 z1 k x2 y2 z2 тогда координаты вектора km равны

Рис. 19. Рис. 20. Рис.21. Рис.22.

Для каждого вектора а разложение (2) по базису i, j, k единственно, т.е. коэффициенты x, y, z в разложении вектора а по векторам i, j, k определены однозначно. Эти коэффициенты называются координатами вектораа. Они совпадают с координатами

x, y, z т. А – конца вектора а. В этом случае пишется а = <x, y, z >. Эта запись означает, что свободный вектор а однозначно задается упорядоченной тройкой своих координат.

Векторы xi, уj, zk, сумма которых равна вектору а, называется компонентами вектораа.

Из сказанного следует, что два вектораа = <x₁, y₁, z₁ > и b = <x₂, y₂, z₂ > равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их координаты, т.е. а = b Û .

Радиусом–вектором т.М (x, y, z) называется вектор r = xi + уj + zk, идущий из начала координат О в т.М (рис.20).

Линейные операции над векторами

Пусть имеем два вектора а = <x₁, y₁, z₁ > и b = <x₂, y₂, z₂ >, так что а = x₁ i + у₁ j + z₁ k, b = x₂ i + у₂ j + z₂ k. На основании правила сложения векторов имеем:

попарно складываются.

Далее, lа = lx₁ i + lу₁ j + lz₁ k или lа = lx₁, ly₁, lz₁> — при умножении вектора

на число все его координаты умножаются на это же число.

Пусть а = <x₁, y₁, z₁ > и b = <x₂, y₂, z₂ > – коллинеарные векторы, причем b ¹ 0. Тогда

а = m b, т.е. x₁ = m x₂ , у₁ = m у₂ , z₁ = m z₂ , или . (3)

Обратно, если выполняется (3), то а = m b, т.е. векторы а и b коллинеарны.

Т.о., векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты

Пропорциональны.

Пример. Найти координаты вектора , начало которого находится в т. М₁(x₁, y₁, z₁),

Из рис.22 видно, что = r₂ – r₁ , где r₁ и r₂ — радиусы-векторы точек М₁ и М₂

соответственно. Поэтому = < x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁> — координаты вектора равны

разности одноименных координат конечной М₂ и начальной М₁ точек этого вектора..

Проекция вектора на ось

Рассмотрим на оси l ненулевой направленный отрезок АВ (рис.23).

Величиной направленного отрезка АВ на оси l называется число, рав-

ное длине отрезка АВ, взятое со знаком «+», если направление отрезка АВ

совпадает с направление оси l , и со знаком «–», если эти направления Рис.23. Рис.24.

Рассмотрим теперь произвольный вектор , определяемый связанным вектором . Опуская из его начала и конца перпендикуляры на заданную ось l, построим на ней направленный отрезок CD (рис.24).

Проекцией вектора на ось l называется величина направленного отрезка CD, построенного указанным выше способом.

Обозначение: pr_l = CD.

Основные свойства проекций:

Проекция вектора на какую-либо ось l равна произведению Рис.25.

длины вектора на косинус угла между осью и этим вектором (рис.25)

pr_l = | | cosα . Рис.26.

Проекция суммы векторов на какую-либо ось l равна сумме проекций

векторов на эту же ось. Например, pr_l (a + b + c) = pr_l a + pr_l b + pr_l c (рис.26).

Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор .

Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М₁ и М₂ и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору .

Векторы и вектор должны быть компланарны, т.е.

( ) = 0

Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам,

коллинеарным плоскости.

Пусть заданы два вектора и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы должны быть компланарны.

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.

Теорема. Если в пространстве задана точка М₀(х₀, у₀, z₀), то уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендикулярно вектору нормали (A, B, C) имеет вид:

Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор — вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение

× = 0

Таким образом, получаем уравнение плоскости

Уравнение плоскости в отрезках.

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)

заменив , получим уравнение плоскости в отрезках:

Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

Уравнение плоскости в векторной форме.

где

— радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),

— единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.

a, b и g — углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.

p – длина этого перпендикуляра.

В координатах это уравнение имеет вид:

xcosa + ycosb + zcosg — p = 0.

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и

Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.

Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0 параллелен искомой плоскости.

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и

В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.

Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11×2 + 7×1 — 2×4 + D = 0; D = -21.

Итого, получаем уравнение плоскости: 11x — 7y – 2z – 21 = 0.

Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Находим координаты вектора нормали = (4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости имеет вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р:

16 + 9 + 144 + D = 0

Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0

Пример. Даны координаты вершин пирамиды А₁(1; 0; 3), A₂(2; -1; 3), A₃(2; 1; 1),

Сначала найдем вектор нормали к грани А₁А₂А₃ как векторное произведение векторов и .

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Найдем угол между вектором нормали и вектором .

-4 – 4 = -8.

Искомый угол g между вектором и плоскостью будет равен g = 90 0 — b.

5) Найти объем пирамиды.

(ед 3 ).

Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” можно запустить программу, которая решит рассмотренный выше пример для любых координат вершин пирамиды.

Для запуска программы дважды щелкните на значке:

В открывшемся окне программы введите координаты вершин пирамиды и, нажимите Enter. Таким образом, поочередно могут быть получены все пункты решения.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Геометрия. 11 класс

Скалярное произведение векторов

Необходимо запомнить

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Запишем формулу: $overrightarrowcdotoverrightarrow = |overrightarrow|cdot|overrightarrow|cosalpha$

Косинус угла между векторами пространства

$overline(nu_;nu_;nu_), overline(omega_;omega_;omega_),$ заданными в ортонормированном базисе

1) $overrightarrow<a^> geq 0,$ причем $overrightarrow<a^> > 0$ при $overrightarrow neq overrightarrow.$

Формула нахождения угла между двумя прямыми:

Формула нахождения угла между прямой и плоскостью: