Существуют ли параллельные плоскости проходящие через две скрещивающиеся прямые в и с нетда

2.14. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости (рис. 36).

Решение: Пусть прямые а и b скрещиваются. Выберем на прямой а произвольно точку А и проведем прямую с, параллельную b (через точку, не лежащую на данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной). Прямые а и с задают плоскость β. По признаку параллельности прямой и плоскости: b || β. Аналогично, проведем прямую d в плоскости α.

α || β (если две пересекающиеся прямые плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны).

3.06. Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью α, которая проходит через внутреннюю точку М основания ABCDE параллельно грани РAB (рис. 37).

Решение: Так как прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны, а плоскость α параллельна грани РАВ, то: а) прямая пересечения плоскости α с плоскостью основания пирамиды должна быть параллельна АВ; б) прямая пересечения α с плоскостью грани РВС – параллельна АР; в) прямая пересечения α с плоскостью РАD – параллельна РА, поэтому проводим: 1) через точку М прямую KF || AB; 2) FH || PA; 3) KR || PB; 4) ML || AP. Пятиугольник HLRKF – искомое сечение. В доказательстве используется признак параллельности прямой и плоскости, признак параллельности плоскостей.

3.07. Точки А, В и С лежат в плоскости α и не лежат на одной прямой. Равные и параллельные отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ расположены по одну сторону от плоскости α. Докажите, что (А₁В₁С₁) || (АВС) (рис. 38).

Решение: ВВ₁С₁С – параллелограмм (из параллельности и равенства ВВ₁ и СС₁), следовательно ВС || В₁С₁. АВ || А₁В₁ (аналогично). По теореме о параллельности плоскостей (по двум пересекающимся прямым): (А₁В₁С₁) || (АВС).

3.08. Точка В не лежит в плоскости ΔAEC, точки М, К и Р – середины отрезков соответственно АВ, ВС и ВЕ (рис.39). а) Докажите, что плоскости МКР и АЕС параллельны. б) Найдите площадь ΔМКР, если площадь ΔAEC равна 48 см 2 .

Решение: а)Заметим, что ΔAEC и не лежащая в нем точка В образуют тетраэдр ВАСЕ. МК || АС (МК – средняя линия ΔAВC). КР || СЕ (КР – средняя линия ΔВCЕ). По теореме о параллельности плоскостей (через пересекающиеся прямые): (МКР)||(АСЕ).

б) По формуле Герона:

, как средние линии соответствующих треугольников. Подставим данные значения в формулу: . Отсюда .

3.09. Три отрезка А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны (рис. 40).

Решение: Каждые две пересекающиеся прямые задают плоскость (через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну). Так как точка пересечения делит прямые пополам, то по теореме Фалеса: А₁В₁ || В₂А₂. Аналогично доказывается параллельность С₁В₁ и С₂В₂, А₁В₁ и А₂В₂. По теореме о параллельности плоскостей (через пересекающиеся прямые): (А₁В₁С₁)||(А₂В₂С₂).

3.10. Прямая DF пересекает параллельные плоскости α, β и γ соответственно в точках D, Е и F, при этом DF = 3, ЕF = 9 (рис. 41). Прямая EG пересекает плоскости α и γ соответственно в точках G и Н, при этом EG = 12. Найдите длину GН.

Решение: Прямые EF и ЕH задают плоскость EFH, которая пересекает плоскости α и γ по прямым GD и FH соответственно. ∆GED

∆HEF (так как GD || FH, ). По свойству преобразования подобия: . Тогда .

3.11. Плоскости α и β пересекаются по прямой с (рис. 42). Через точки А и В, расположенные вне этих плоскостей, проводятся параллельно плоскости β и параллельные между собой прямые АС и BD (), а также – параллельно плоскости α и параллельные между собой прямые АЕ и BF (). Докажите: а) плоскости АСЕ и BDF параллельны; б) плоскости АСЕ и BDF пересекают плоскости α и β по параллельным прямым.

Решение: а) GА || DB, АЕ || FВ по условию. По теореме о параллельности плоскостей (через пересекающиеся прямые): (АСЕ) || (DBF).

б) BF и АЕ задают плоскость, параллельную плоскости α. По свойству параллельных плоскостей: EF || с. Аналогично CD || c. По признаку параллельности прямых: CD || EF.

5.3. Уроки проверки знаний, умений и навыков

Для проверки знаний, умений и навыков разработаны три задачи на выявление типов оперирования пространственными образами: изменение пространственного положения образа (I тип); преобразование структуры образа (II тип); изменение положения и структуры образа одновременно (III тип).

1. Через вершины параллелограмма ABCD, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А₁, В₁, С₁ и D₁. Докажите, что четырехугольник А₁В₁С₁D₁ тоже параллелограмм (рис. 43).

Решение: АА₁ = DD₁ = СС₁ = ВВ₁ (отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны). Попарно параллельные прямые задают параллелограммы (задание плоскости через параллельные прямые), следовательно D₁А₁ || DА || СВ || С₁В₁. По определению А₁В₁С₁D₁ параллелограмм.

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Скрещивающиеся прямые. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы рассмотрим определение скрещивающихся прямых и докажем теорему – признак скрещивающихся прямых. Далее рассмотрим три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве. Докажем теорему о том, что через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
В конце урока решим несколько задач в тетраэдре на скрещиваемость прямых.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Материал к уроку геометрии в 10 классе «Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми»

Видео:10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

Взаимное расположение прямых в пространстве

Взаимное расположение прямых в пространстве

Скрещивающиеся прямые
Угол между прямыми

Видео:10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

Но надо жить без самозванства,

Но надо жить без самозванства,
Так жить, чтобы в конце концов
Привлечь к себе любовь
пространства,
Услышать будущего зов.
Б. Л. Пастернак

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Дан куб АВСDA1B1C1D1 Выясните взаимное расположение прямых

Дан куб АВСDA1B1C1D1

Выясните взаимное расположение
прямых АА1 и DD1;
АА1 и СС1 ?
Поясните.

Определение. Две прямые называются
скрещивающимися,
если они не лежат в одной плоскости.

Видео:Параллельность прямых, плоскостей, прямой и плоскости | Математика ЕГЭ для 10 класса | УмскулСкачать

Теорема. Признак скрещивающихся прямых

Теорема. Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Видео:10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

Алгоритм доказательства с использованием признака скрещивающихся прямых

Алгоритм доказательства
с использованием признака скрещивающихся прямых

Выделить плоскость,
в которой лежит одна
из скрещивающихся прямых.

2. Доказать, что вторая прямая
пересекает выделенную
плоскость в точке, не лежащей на
первой прямой.

3. Сделать вывод, что прямые
являются скрещивающимися
по признаку скрещивающихся прямых

А1C  (D1C1С D) = С; С DC1

Видео:10 класс - Геометрия - Скрещивающиеся прямыеСкачать

Куб ABCDA1B1C1D1

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

А В С D Тетраэдр DABC Скрещивающиеся ребра

AB ; CD
AD; CB
AC; DB

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Задача №34. А В С D M N P Р1 К

АМ = МD; ВN = ND; CP = PD

Определить взаимное
расположение прямых:

Видео:Геометрия 10 класс : Параллельные плоскости и их свойстваСкачать

Задача №34 А В С D M N P К Дано:

АМ = МD; ВN = ND; CP = PD

Определить взаимное
расположение прямых:

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Задача №93 α a b М N Дано: a || b

Определить
взаимное расположение
прямых MN u b.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Определить взаимное расположение прямых

1. Определить взаимное
расположение прямых
АВ1 и DC.

2. Указать взаимное
расположение прямой
DC и плоскости АА1В1В

3. Является ли прямая АВ1
параллельной плоскости
DD1С1С?

Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

Можно ли через одну из скрещивающихся прямых провести плоскость?

Можно ли через одну из скрещивающихся
прямых провести плоскость?

параллельно другой прямой

Видео:СТЕРЕОМЕТРИЯ. ВСЕ ЗАДАЧИ НА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬСкачать

О существовании параллельных плоскостей, проходящих через скрещивающиеся прямые

О существовании параллельных плоскостей, проходящих через скрещивающиеся прямые

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит
плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

— О каких фигурах идет речь в теореме?

— Что требуется доказать в теореме?

2. α- единственная

— Каким условиям эта плоскость должна удовлетворять?

а). AB ⊂α,

— Что ещё требуется доказать в теореме?

Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 10 класс стереометрияСкачать

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит
плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Что нужно доказать в первой части теоремы?

Нужно доказать, что существует плоскость, проходящая через одну из
скрещивающихся прямых и параллельная другой.

Какая фигура помогает убедиться в параллельности прямой и плоскости?

Прямая, параллельная данной прямой.

Каким образом построить эту прямую, чтобы она
помогла построить искомую плоскость?

Эта прямая должна пересекать прямую АВ.

Итак, с чего начнем построение плоскости α?

Что еще нужно доказать в теореме?

2) построим прямую, проходящую через эту точку,
параллельно CD;

3) построим плоскость.

Нужно доказать, что эта плоскость единственная.

1) Выберем точку на прямой АВ;

Каким методом доказывается обычно единственность?

Методом от противного.

Что делаем на первом этапе?

Предполагаем, что существует другая плоскость,
проходящая через АВ, параллельная CD.

Выясним взаимное расположение этой плоскости с другими фигурами.

Плоскость β пересекается с АЕ, т.к. АЕ⊂α.

Получили противоречие с требованием. Какой вывод можно сделать?

📸 Видео

Стереометрия для ЕГЭ: 2 - параллельные и скрещивающиеся прямыеСкачать

Параллельность прямых. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать