Существенные свойства понятия треугольник

math4school.ru

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Содержание
  1. Треугольники
  2. Основные свойства
  3. Равенство треугольников
  4. Подобие треугольников
  5. Медианы треугольника
  6. Биссектрисы треугольника
  7. Высоты треугольника
  8. Серединные перпендикуляры
  9. Окружность, вписанная в треугольник
  10. Окружность, описанная около треугольника
  11. Расположение центра описанной окружности
  12. Равнобедренный треугольник
  13. Равносторонний треугольник
  14. Прямоугольный треугольник
  15. Вневписанные окружности
  16. Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде
  17. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  18. Типы треугольников
  19. По величине углов
  20. По числу равных сторон
  21. Вершины углы и стороны треугольника
  22. Свойства углов и сторон треугольника
  23. Теорема синусов
  24. Теорема косинусов
  25. Теорема о проекциях
  26. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  27. Медианы треугольника
  28. Свойства медиан треугольника:
  29. Формулы медиан треугольника
  30. Биссектрисы треугольника
  31. Свойства биссектрис треугольника:
  32. Формулы биссектрис треугольника
  33. Высоты треугольника
  34. Свойства высот треугольника
  35. Формулы высот треугольника
  36. Окружность вписанная в треугольник
  37. Свойства окружности вписанной в треугольник
  38. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  39. Окружность описанная вокруг треугольника
  40. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  41. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  42. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  43. Средняя линия треугольника
  44. Свойства средней линии треугольника
  45. Периметр треугольника
  46. Формулы площади треугольника
  47. Формула Герона
  48. Равенство треугольников
  49. Признаки равенства треугольников
  50. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  51. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  52. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  53. Подобие треугольников
  54. Признаки подобия треугольников
  55. Первый признак подобия треугольников
  56. Второй признак подобия треугольников
  57. Третий признак подобия треугольников
  58. Треугольник
  59. Треугольник произвольный
  60. Свойства
  61. Признаки равенства треугольников
  62. Биссектриса, высота, медиана
  63. Средняя линия треугольника
  64. Вписанная окружность
  65. Описанная окружность
  66. Соотношение сторон в произвольном треугольнике
  67. Площадь треугольника

Видео:Медиана треугольника. Построение. Свойства.Скачать

Медиана треугольника. Построение. Свойства.

Треугольники

Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать

Треугольники. 7 класс.

Основные свойства

Существенные свойства понятия треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:

Существенные свойства понятия треугольник

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

Существенные свойства понятия треугольник

Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

Существенные свойства понятия треугольник

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Существенные свойства понятия треугольник

Видео:Треугольники и их свойстваСкачать

Треугольники и их свойства

Равенство треугольников

Существенные свойства понятия треугольник

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

Существенные свойства понятия треугольник

У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

Существенные свойства понятия треугольник

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Существенные свойства понятия треугольник

Видео:Свойства биссектрисы треугольникаСкачать

Свойства биссектрисы треугольника

Подобие треугольников

Существенные свойства понятия треугольник

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

Существенные свойства понятия треугольник

Два треугольника подобны, если:

  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
  • Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

Существенные свойства понятия треугольник

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Существенные свойства понятия треугольник

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Существенные свойства понятия треугольник

Видео:[Т.А.] Треугольник Фреге. Введение в семиотику.Скачать

[Т.А.] Треугольник Фреге. Введение в семиотику.

Медианы треугольника

Существенные свойства понятия треугольник

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

Существенные свойства понятия треугольник

  • Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
  • Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

Существенные свойства понятия треугольник

Видео:Геометрия. 7 класс. Треугольник и его виды /06.10.2020/Скачать

Геометрия. 7 класс. Треугольник и его виды /06.10.2020/

Биссектрисы треугольника

Существенные свойства понятия треугольник

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Существенные свойства понятия треугольник

Длина биссектрисы угла А :

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BL – биссектриса угла В ;

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

Существенные свойства понятия треугольник

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)

Высоты треугольника

Существенные свойства понятия треугольник

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Существенные свойства понятия треугольник

Длина высоты, проведённой к стороне а :

Существенные свойства понятия треугольник

Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Серединные перпендикуляры

Существенные свойства понятия треугольник

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Видео:Равнобедренный треугольник и его свойстваСкачать

Равнобедренный треугольник и его свойства

Окружность, вписанная в треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

Существенные свойства понятия треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

Существенные свойства понятия треугольник

Видео:Отношения между понятиями ЛОГИКА Урок 5Скачать

Отношения между понятиями ЛОГИКА  Урок 5

Окружность, описанная около треугольника

Существенные свойства понятия треугольник

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Радиус описанной окружности:

Существенные свойства понятия треугольник

Видео:Равнобедренный треугольникСкачать

Равнобедренный треугольник

Расположение центра описанной окружности

Существенные свойства понятия треугольникСущественные свойства понятия треугольникСущественные свойства понятия треугольникЦентр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

Видео:Видеоурок - формирование понятияСкачать

Видеоурок - формирование понятия

Равнобедренный треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

Существенные свойства понятия треугольник

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Существенные свойства понятия треугольник

Видео:Найдите угол: задача по геометрииСкачать

Найдите угол: задача по геометрии

Равносторонний треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

Существенные свойства понятия треугольник

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

Существенные свойства понятия треугольник

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

Существенные свойства понятия треугольник

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Решение задач по теме "Равнобедренный треугольник"Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Решение задач по теме "Равнобедренный треугольник"

Прямоугольный треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

  • два катета;
  • катет и гипотенуза;
  • катет и прилежащий острый угол;
  • катет и противолежащий острый угол;
  • гипотенуза и острый угол.
  • одному острому углу;
  • из пропорциональности двух катетов;
  • из пропорциональности катета и гипотенузы.

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Существенные свойства понятия треугольник

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Существенные свойства понятия треугольник

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:

Существенные свойства понятия треугольник

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

Существенные свойства понятия треугольник

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:

Существенные свойства понятия треугольник

Площадь прямоугольного треугольника можно определить

через катеты: Существенные свойства понятия треугольник

через катет и острый угол: Существенные свойства понятия треугольник

через гипотенузу и острый угол: Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Радиус вписанной окружности:

Существенные свойства понятия треугольник

Видео:Логика. 1. ПонятиеСкачать

Логика. 1. Понятие

Вневписанные окружности

Существенные свойства понятия треугольник

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.

Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Так точка О1 , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО1 и C О1 внешних углов Δ ABC при вершинах B и C .

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Δ ABC является ортоцентричным в Δ О1О2О3 (точки A , B и C – основания высот в Δ О1О2О3 ).

В Δ ABC углы равны 180°–2 О1 , 180°–2 О2 , 180°–2 О3 .

Радиус окружности, описанной около Δ О1О2О3 , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC .

Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О1О2О3 .

Если ra , rb , rс – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно:

для rСущественные свойства понятия треугольник

для R – Существенные свойства понятия треугольник

для S – Существенные свойства понятия треугольник

для самих ra , rb , rсСущественные свойства понятия треугольник

Видео:ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ ЗА 30 МИНУТСкачать

ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ ЗА 30 МИНУТ

Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

Существенные свойства понятия треугольник

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

  • если c 2 > a 2 +b 2 , то угол γ – тупой ( cos γ
  • если c 2 2 +b 2 , то угол γ – острый ( cos γ > 0 );
  • если c 2 = a 2 +b 2 , то угол γ – прямой ( cos γ = 0 ).

Существенные свойства понятия треугольник

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Существенные свойства понятия треугольник

Теорема тангенсов (формула Региомонтана):

Видео:3.2. Знак. Теория Г. Фреге.Скачать

3.2. Знак. Теория Г. Фреге.

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | Математика

Типы треугольников

По величине углов

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

По числу равных сторон

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Видео:Геометрия 8. Урок 7 - Средняя линия треугольника и трапецииСкачать

Геометрия 8. Урок 7 - Средняя линия треугольника и трапеции

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Существенные свойства понятия треугольник

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Учусь учиться. Формы мышления. ПонятияСкачать

Учусь учиться. Формы мышления. Понятия

Медианы треугольника

Существенные свойства понятия треугольник

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Существенные свойства понятия треугольник

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Существенные свойства понятия треугольник

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Существенные свойства понятия треугольник

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Существенные свойства понятия треугольник

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Существенные свойства понятия треугольник

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Существенные свойства понятия треугольник

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Существенные свойства понятия треугольник

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Треугольник

Треугольник произвольный

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).

Виды треугольников :+ показать

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).

Существенные свойства понятия треугольник

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .

Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.

Существенные свойства понятия треугольник

Свойства

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним: Существенные свойства понятия треугольник

(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).

Существенные свойства понятия треугольник

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Признаки равенства треугольников

1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.

Существенные свойства понятия треугольник

2 . Треугольники равны, если у них соответственно равны два угла и прилегающая к ним сторона.

Существенные свойства понятия треугольник

3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.

Существенные свойства понятия треугольник

Биссектриса, высота, медиана

Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Существенные свойства понятия треугольник

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Описанная окружность

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

Теорема косинусов: Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Теорема синусов: Существенные свойства понятия треугольник

Существенные свойства понятия треугольник

Площадь треугольника

Существенные свойства понятия треугольникЧерез сторону и высоту

Существенные свойства понятия треугольник

Через две стороны и угол между ними

Существенные свойства понятия треугольник

Через радиус описанной окружности

Существенные свойства понятия треугольник

Через радиус вписанной окружности

Существенные свойства понятия треугольник, где Существенные свойства понятия треугольник– полупериметр

Существенные свойства понятия треугольник, где Существенные свойства понятия треугольник– полупериметр

Существенные свойства понятия треугольник

Смотрите также площадь треугольника здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен 😉

Анатолий, спасибо!
В разделе “свойства” ошибок не нашла…
В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
Благодарю еще раз!

В разделе свойства: Существенные свойства понятия треугольник

Да, не хватало значка «Существенные свойства понятия треугольник» у А. Спасибо! 😉

Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.

Подозреваю, у вас опечатка в условии…
Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении Существенные свойства понятия треугольник, то выходим на уравнение Существенные свойства понятия треугольникОткуда Существенные свойства понятия треугольникЗначит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть Существенные свойства понятия треугольник
Применяем теорему синусов: Существенные свойства понятия треугольник, откуда Существенные свойства понятия треугольник

спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!

Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3

Очевидно, Существенные свойства понятия треугольник
Примите Существенные свойства понятия треугольникза Существенные свойства понятия треугольник.
Примените к треугольнику Существенные свойства понятия треугольниктеорему косинусов:
Существенные свойства понятия треугольник
Найдете Существенные свойства понятия треугольник, далее можно найти угол Существенные свойства понятия треугольники из треугольника Существенные свойства понятия треугольникнайти Существенные свойства понятия треугольник

Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно

Поделиться или сохранить к себе: