Гомотетия — это преобразование, при котором каждой точке A ставится в соответствие точка A1, лежащая на прямой OA, по правилу
где k — постоянное, отличное от нуля число, O — фиксированная точка.
Точка O называется центром гомотетии, число k — коэффициентом гомотетии.
гомотетия с коэффициентом k>0
Чтобы построить четырёхугольник, гомотетичный 4-угольнику ABCD с центром гомотетии в точке O и коэффициентом k, k>0, нужно провести лучи с началом в точке O, проходящие через вершины A, B, C, D, отложить на них отрезки соответствующей длины:
и соединить вершины A1, B1, C1и D1 отрезками.
При k
и соединить вершины A1, B1, C1 отрезками.
При гомотетии с коэффициентом k=1 каждая точка переводится сама в себя.
При k= -1 гомотетия является симметрией относительно центра O (то есть центральная симметрия является частным случаем гомотетии).
Гомотетия есть преобразование подобия. Следовательно, гомотетия обладает свойствами подобия.
Свойства преобразования гомотетии
1) При гомотетии прямые переходят в прямые, полупрямые- в полупрямые, отрезки — в отрезки, углы — в углы.
2) Сохраняются углы между полупрямыми (соответственно, сохраняется параллельность прямых).
Стороны гомотетичных фигур пропорциональны. а углы — равны.
Видео:ГомотетияСкачать
Конспект по теме «Подобие треугольников. Гомотетия»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Преобразование подобия. Подобные фигуры
Параллельный перенос симметрии относительно точки, относительно прямой и поворот вокруг точки отображают фигуры в равные им фигуры.
Преобразование, при котором фигура сохраняет вид, но изменяет размеры, называется преобразованием подобия.
Размеры фигуры 1, подобной фигуре 2, могут быть в к раз меньше соответствующих размеров фигуры 1. Число к называется коэффициентом подобия.
Если любой точке Х на плоскости будет соответствовать точка Х 1 , удовлетворяющая равенству = , то такое преобразование называется гомотетией.
В гомотетии возможно к Точка О называется центром, к- коэффициент гомотетии.
Теорема: В гомотетии с коэффициентом к каждый вектор удлиняется (уменьшается) в к раз.
Теорема: Преобразование подобия сохраняет углы между лучам.
Если треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны, то соответствующие углы этих треугольников равны между собой и соответствующие стороны – пропорциональны
1 признак: Если два угла одного треугольника, соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
2 признак: Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответственно двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны
3 признак: Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственно трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны
Преобразование подобия. Подобные фигуры
Параллельный перенос симметрии относительно точки, относительно прямой и поворот вокруг точки отображают фигуры в равные им фигуры.
Преобразование, при котором фигура сохраняет вид, но изменяет размеры, называется преобразованием подобия.
Размеры фигуры 1, подобной фигуре 2, могут быть в к раз меньше соответствующих размеров фигуры 1. Число к называется коэффициентом подобия.
Если любой точке Х на плоскости будет соответствовать точка Х 1 , удовлетворяющая равенству = , то такое преобразование называется гомотетией.
В гомотетии возможно к Точка О называется центром, к- коэффициент гомотетии.
Теорема: В гомотетии с коэффициентом к каждый вектор удлиняется (уменьшается) в к раз.
Теорема: Преобразование подобия сохраняет углы между лучам.
Если треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны, то соответствующие углы этих треугольников равны между собой и соответствующие стороны – пропорциональны
1 признак: Если два угла одного треугольника, соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
2 признак: Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответственно двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны
3 признак: Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственно трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны
Краткое описание документа:
- Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
- Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка лежит между точками , и , , — соответствующие их образы при некотором подобии, то также лежит между точками и .
- Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
- Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
- При подобии угол сохраняет величину.
- Подобие с коэффициентом , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом или .
- Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения и некоторой гомотетии с положительным коэффициентом.
- Подобие называется собственным (несобственным), если движение является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
- Два треугольника являются подобными, если
- их соответственные углы равны, или
- стороны пропорциональны. См. также Признаки подобия треугольников.
- Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).
Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Гомотетия. Подобные фигуры. Признаки подобия треугольников, подобие прямоугольных треугольников
Подобие – это понятие, характеризующее наличие одинаковой, не зависящей от размеров, формы у геометрических фигур.
Подобные фигуры – это фигуры, для которых существует взаимно-однозначное соответствие, при котором расстояние между любыми парами их соответствующих точек изменяется в одно и то же число раз.
Например, то, что фигуры F1 и F2 подобны, означает, что для любых двух точек M1 и N1 фигуры F1 и сопоставленных им точек M2 и N2 фигуры F2 выполняется соответствие (frac=k) , где k – одно и то же число для всех точек (k > 0). Число k называется коэффициентом подобия.Преобразование фигуры F1 в фигуру F2, при котором расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, называется преобразованием подобия.
Гомотетия – это преобразование подобия. Это преобразование, в котором получаются подобные фигуры (фигуры, у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны).
Гомотетия – это преобразование, при котором каждой точке A ставится в соответствие точка A1, лежащая на прямой OA, по правилу (OA_1=kcdot OA) , где k – постоянное, отличное от нуля число, O – фиксированная точка. Точка O называется центром гомотетии, число k – коэффициентом гомотетии.
Свойства преобразования гомотетии:
1) При гомотетии прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки, углы – в углы.
2) Сохраняются углы между полупрямыми (соответственно, сохраняется параллельность прямых). Стороны гомотетичных фигур пропорциональны, а углы равны.
Подобные треугольники – это треугольники, у которых углы равны, а стороны пропорциональны.
Свойства подобных треугольников
- Периметры подобных треугольников относятся как их соответствующие стороны: (frac<P_><P_>=frac=frac=frac=k) .
- Соответствующие линейные элементы подобных треугольников (медианы, высоты, биссектрисы и т. д.) относятся как их соответствующие стороны.
- Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров: (frac<S_><S_>=frac=frac=frac=k^2) .
1-й признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
(left. begin angle A=angle A_1\ angle B=angle B_1 end right > Rightarrow Delta ABC sim Delta A_1B_1C_1)
2-й признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
3-й признак подобия треугольников
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Признаки подобия прямоугольных треугольников
- Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
- Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
- Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
В треугольник AFK вписан ромб ABCD так, что угол A у них общий, а вершина C принадлежит стороне FK. Найдите сторону ромба, если AF = 21 см, AK = 24 см.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A, сторонами AB = 4 см, BC = 8 см и высотой AK, найдите отрезки KB и KC.
Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.
🔍 Видео
Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать
Гомотетия (преобразование подобия)Скачать
Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать
Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать
Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать
урок №1 по геометрии по теме: Подобие фигур. ГомотетияСкачать
11 класс, 13 урок, Преобразование подобияСкачать
Геометрия. 9 класс. Гомотетия и ее свойства /26.11.2020/Скачать
Преобразование подобия. Геометрия 9классСкачать
Гомотетия преобразование подобия. Свойства преобразования подобия. Геометрия 8-9 классСкачать
Преобразование подобия. Гомотетия.Скачать
Гомотетия Геометрия, 1965Скачать
гомотетияСкачать
Геометрия. 9 класс. Признаки подобия треугольников /10.12.2020/Скачать
Гомотетия. Подобие фигурСкачать
9 класс. Геометрия. Гомотетия.Скачать
Задача на подобие треугольников 1частьСкачать
Как использовать подобие треугольников и правильно составить пропорцию. #математика #геометрия #углыСкачать