Гомотетия и подобия треугольников

Гомотетия

Гомотетия — это преобразование, при котором каждой точке A ставится в соответствие точка A1, лежащая на прямой OA, по правилу

Гомотетия и подобия треугольников

где k — постоянное, отличное от нуля число, O — фиксированная точка.

Точка O называется центром гомотетии, число k — коэффициентом гомотетии.

Гомотетия и подобия треугольников

гомотетия с коэффициентом k>0

Чтобы построить четырёхугольник, гомотетичный 4-угольнику ABCD с центром гомотетии в точке O и коэффициентом k, k>0, нужно провести лучи с началом в точке O, проходящие через вершины A, B, C, D, отложить на них отрезки соответствующей длины:

Гомотетия и подобия треугольников

Гомотетия и подобия треугольников

Гомотетия и подобия треугольников

Гомотетия и подобия треугольников

и соединить вершины A1, B1, C1и D1 отрезками.

При k Гомотетия и подобия треугольников

Гомотетия и подобия треугольников

Гомотетия и подобия треугольников

и соединить вершины A1, B1, C1 отрезками.

При гомотетии с коэффициентом k=1 каждая точка переводится сама в себя.

При k= -1 гомотетия является симметрией относительно центра O (то есть центральная симметрия является частным случаем гомотетии).

Гомотетия есть преобразование подобия. Следовательно, гомотетия обладает свойствами подобия.

Свойства преобразования гомотетии

1) При гомотетии прямые переходят в прямые, полупрямые- в полупрямые, отрезки — в отрезки, углы — в углы.

2) Сохраняются углы между полупрямыми (соответственно, сохраняется параллельность прямых).

Стороны гомотетичных фигур пропорциональны. а углы — равны.

Видео:ГомотетияСкачать

Гомотетия

Конспект по теме «Подобие треугольников. Гомотетия»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Преобразование подобия. Подобные фигуры

Параллельный перенос симметрии относительно точки, относительно прямой и поворот вокруг точки отображают фигуры в равные им фигуры.

Преобразование, при котором фигура сохраняет вид, но изменяет размеры, называется преобразованием подобия.

Размеры фигуры 1, подобной фигуре 2, могут быть в к раз меньше соответствующих размеров фигуры 1. Число к называется коэффициентом подобия.

Если любой точке Х на плоскости будет соответствовать точка Х 1 , удовлетворяющая равенству Гомотетия и подобия треугольников= Гомотетия и подобия треугольников, то такое преобразование называется гомотетией.

В гомотетии возможно к Точка О называется центром, к- коэффициент гомотетии.

Теорема: В гомотетии с коэффициентом к каждый вектор удлиняется (уменьшается) в к раз.

Теорема: Преобразование подобия сохраняет углы между лучам.

Если треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны, то соответствующие углы этих треугольников равны между собой и соответствующие стороны – пропорциональны

1 признак: Если два угла одного треугольника, соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

2 признак: Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответственно двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

3 признак: Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственно трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны

Преобразование подобия. Подобные фигуры

Параллельный перенос симметрии относительно точки, относительно прямой и поворот вокруг точки отображают фигуры в равные им фигуры.

Преобразование, при котором фигура сохраняет вид, но изменяет размеры, называется преобразованием подобия.

Размеры фигуры 1, подобной фигуре 2, могут быть в к раз меньше соответствующих размеров фигуры 1. Число к называется коэффициентом подобия.

Если любой точке Х на плоскости будет соответствовать точка Х 1 , удовлетворяющая равенству Гомотетия и подобия треугольников= Гомотетия и подобия треугольников, то такое преобразование называется гомотетией.

В гомотетии возможно к Точка О называется центром, к- коэффициент гомотетии.

Теорема: В гомотетии с коэффициентом к каждый вектор удлиняется (уменьшается) в к раз.

Теорема: Преобразование подобия сохраняет углы между лучам.

Если треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны, то соответствующие углы этих треугольников равны между собой и соответствующие стороны – пропорциональны

1 признак: Если два угла одного треугольника, соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

2 признак: Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответственно двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

3 признак: Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственно трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны

Краткое описание документа:

  • Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
  • Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка лежит между точками , и , , — соответствующие их образы при некотором подобии, то также лежит между точками и .
  • Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
  • Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
  • При подобии угол сохраняет величину.
  • Подобие с коэффициентом , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом или .
    • Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения и некоторой гомотетии с положительным коэффициентом.
    • Подобие называется собственным (несобственным), если движение является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
  • Два треугольника являются подобными, если
    • их соответственные углы равны, или
    • стороны пропорциональны. См. также Признаки подобия треугольников.
  • Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Гомотетия. Подобные фигуры. Признаки подобия треугольников, подобие прямоугольных треугольников

Подобие – это понятие, характеризующее наличие одинаковой, не зависящей от размеров, формы у геометрических фигур.

Подобные фигуры – это фигуры, для которых существует взаимно-однозначное соответствие, при котором расстояние между любыми парами их соответствующих точек изменяется в одно и то же число раз.

Например, то, что фигуры F1 и F2 подобны, означает, что для любых двух точек M1 и N1 фигуры F1 и сопоставленных им точек M2 и N2 фигуры F2 выполняется соответствие (frac=k) , где k – одно и то же число для всех точек (k > 0). Число k называется коэффициентом подобия.Преобразование фигуры F1 в фигуру F2, при котором расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, называется преобразованием подобия.

Гомотетия – это преобразование подобия. Это преобразование, в котором получаются подобные фигуры (фигуры, у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны).

Гомотетия – это преобразование, при котором каждой точке A ставится в соответствие точка A1, лежащая на прямой OA, по правилу (OA_1=kcdot OA) , где k – постоянное, отличное от нуля число, O – фиксированная точка. Точка O называется центром гомотетии, число k – коэффициентом гомотетии.

Свойства преобразования гомотетии:

1) При гомотетии прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки, углы – в углы.

2) Сохраняются углы между полупрямыми (соответственно, сохраняется параллельность прямых). Стороны гомотетичных фигур пропорциональны, а углы равны.

Подобные треугольники – это треугольники, у которых углы равны, а стороны пропорциональны.

Свойства подобных треугольников

  1. Периметры подобных треугольников относятся как их соответствующие стороны: (frac<P_><P_>=frac=frac=frac=k) .
  2. Соответствующие линейные элементы подобных треугольников (медианы, высоты, биссектрисы и т. д.) относятся как их соответствующие стороны.
  3. Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров: (frac<S_><S_>=frac=frac=frac=k^2) .

1-й признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

(left. begin angle A=angle A_1\ angle B=angle B_1 end right > Rightarrow Delta ABC sim Delta A_1B_1C_1)

2-й признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3-й признак подобия треугольников

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

  1. Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
  2. Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
  3. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.

В треугольник AFK вписан ромб ABCD так, что угол A у них общий, а вершина C принадлежит стороне FK. Найдите сторону ромба, если AF = 21 см, AK = 24 см.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A, сторонами AB = 4 см, BC = 8 см и высотой AK, найдите отрезки KB и KC.

Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

🔍 Видео

Гомотетия (преобразование подобия)Скачать

Гомотетия (преобразование подобия)

Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать

Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | Математика

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnline

урок №1 по геометрии по теме: Подобие фигур. ГомотетияСкачать

урок №1 по геометрии по теме: Подобие фигур. Гомотетия

11 класс, 13 урок, Преобразование подобияСкачать

11 класс, 13 урок, Преобразование подобия

Геометрия. 9 класс. Гомотетия и ее свойства /26.11.2020/Скачать

Геометрия. 9 класс. Гомотетия и ее свойства /26.11.2020/

Преобразование подобия. Геометрия 9классСкачать

Преобразование подобия. Геометрия 9класс

Гомотетия преобразование подобия. Свойства преобразования подобия. Геометрия 8-9 классСкачать

Гомотетия преобразование подобия. Свойства преобразования подобия. Геометрия 8-9 класс

Преобразование подобия. Гомотетия.Скачать

Преобразование подобия.  Гомотетия.

Гомотетия Геометрия, 1965Скачать

Гомотетия Геометрия, 1965

гомотетияСкачать

гомотетия

Геометрия. 9 класс. Признаки подобия треугольников /10.12.2020/Скачать

Геометрия. 9 класс. Признаки подобия треугольников /10.12.2020/

Гомотетия. Подобие фигурСкачать

Гомотетия. Подобие фигур

9 класс. Геометрия. Гомотетия.Скачать

9 класс. Геометрия. Гомотетия.

Задача на подобие треугольников 1частьСкачать

Задача на подобие треугольников 1часть

Как использовать подобие треугольников и правильно составить пропорцию. #математика #геометрия #углыСкачать

Как использовать подобие треугольников и правильно составить пропорцию. #математика #геометрия #углы
Поделиться или сохранить к себе: