- 1. Как найти неизвестную сторону треугольника
- 2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
- 3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
- 4. Найти длину высоты треугольника
- Формулы треугольника
- Виды треугольников
- Свойства треугольника, применимые к любому треугольнику:
- Признаки равенства треугольников
- Подобные треугольники
- Площадь треугольника
- Стороны треугольника
- Высота треугольника
- Биссектрисы в треугольнике
- Медиана в треугольнике
- Описанная окружность
- Вписанная окружность
- Решение треугольников онлайн
- Решение треугольника по трем сторонам
- Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
- Решение треугольника по стороне и любым двум углам
- 🎦 Видео
Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать
1. Как найти неизвестную сторону треугольника
Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.
a , b , c — стороны произвольного треугольника
α , β , γ — противоположные углы
Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):
* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение
Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):
Видео:ОГЭ по математике. В треугольнике АБС известно три стороны. Найди косинус угла. (Вар.8) √ 16Скачать
2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы
a , b — катеты
c — гипотенуза
α , β — острые углы
Формулы для катета, ( a ):
Формулы для катета, ( b ):
Формулы для гипотенузы, ( c ):
Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):
Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы
b — сторона (основание)
a — равные стороны
α — углы при основании
β — угол образованный равными сторонами
Формулы длины стороны (основания), (b ):
Формулы длины равных сторон , (a):
Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать
4. Найти длину высоты треугольника
Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.
H — высота треугольника
a — сторона, основание
b, c — стороны
β , γ — углы при основании
p — полупериметр, p=(a+b+c)/2
R — радиус описанной окружности
S — площадь треугольника
Формула длины высоты через стороны, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):
Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):
Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Формулы треугольника
Для расчёта всех основных параметров треугольника воспользуйтесь калькулятором.
Виды треугольников
Остроугольный треугольник — это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°. Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.
Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).
Тупоугольный треугольник — это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.(по числу равных сторон) Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°). Равнобедренный тругольник — это треугольник, у которого два угла и две стороны равны. Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.
Свойства треугольника, применимые к любому треугольнику:
- Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
- Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
- Сумма углов треугольника равна 180° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60°).
- Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
- Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
- $$ AB BC — CA $$
- $$ BC AB — CA $$
- $$ CA AB — BC $$
Признаки равенства треугольников
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
h – высота треугольника | |
α, β, γ– углы треугольника | |
P – полупериметр | |
AC – основание треугольника |
Площадь произвольного треугольника
Площадь треугольника по формуле Герона
Площадь треугольника по углу и двум сторонам
$$ S = * AB * AC * sin(α) $$ $$ S = * AB * BC * sin(β) $$ $$ S = * AC * BC * sin(γ) $$
Площадь треугольника по двум углам и стороне
Площадь прямоугольного треугольника по катетам
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
$$ S = * AB * AC $$
Площадь равнобедренного треугольника
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника |
$$ S = * sqrt $$
Площадь равностороннего треугольника
Где: | AB,BC,AC – равные стороны треугольника |
h – высота треугольника |
$$ S = <sqrtover 4> * AB^2 $$ $$ S = <h^2 over sqrt> $$
Стороны треугольника
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
h – высота треугольника | |
α, β, γ– углы треугольника | |
P – полупериметр | |
AC – основание треугольника |
Сторона треугольника по двум сторонам и углу
Сторона треугольника по стороне и двум углам
Сторона прямоугольного треугольника
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника |
$$ AC = BC * cos(β) = BC * sin(α) = AB * tg(α) $$ $$ AB = BC * cos(α) = BC * sin(β) = AC * tg(β) $$ $$ BC = = $$ $$ BC = = $$
Сторона прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.
Сторона равнобедренного треугольника
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника |
$$ AC = 2 * AB * sin() = AB * sqrt $$ $$ AC = 2 * AB * cos(α) $$ $$ AB = = <AC over sqrt> $$ $$ AB = $$
Высота треугольника
Высота – это перпендикуляр, выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне или её продолжению для треугольника с тупым углом. Высоты треугольника пересекаются в одной точке
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
h – высота треугольника | |
P – полупериметр $$ P = $$ | |
α, β, γ – углы треугольника | |
R — радиус описанной окружности | |
S — площадь треугольника |
Высота на сторону АС, hAC
Высота на сторону AB, hAB
Высота на сторону BC, hBC
Формула длины высоты через сторону и угол
Высота на сторону АС, hAC
$$ h_ = AB * sin(α) = BC * sin(γ) $$
Высота на сторону AB, hAB
$$ h_ = BC * sin(β) = AC * sin(α) $$
Высота на сторону BC, hBC
$$ h_ = AC * sin(γ) = AB * sin(β) $$
Формула длины высоты через сторону и площадь
Высота на сторону АС, hAC
Высота на сторону AB, hAB
Высота на сторону BC, hBC
Формула длины высоты через стороны и радиус
Высота на сторону АС, hAC
Высота на сторону AB, hAB
Высота на сторону BC, hBC
Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника | |
BD, DC – отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой | |
α, β– углы треугольника |
Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы
$$ h = BC * sin(α) * cos(α) = BC * sin(β) * cos(β) $$
Формула длины высоты через катет и угол
$$ h = AB * sin(α) = AC * sin(β) $$
Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы
Биссектрисы в треугольнике
Биссектриса – это отрезок, который делит угол пополам из которого выходит. Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника совпадает с центром вписанной окружности.
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
AA1,BB1,CC1 — биссектрисы в треугольнике | |
α, β, γ– углы треугольника | |
P – полупериметр $$ P = $$ |
Длина биссектрисы через две стороны и угол
Длина биссектрисы через полупериметр и стороны
Длина биссектрисы через три стороны
Длина биссектрисы через стороны и отрезки, на которые делит биссектриса
Формула длины биссектрис в прямоугольном треугольнике
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника | |
β, γ– острые углы треугольника |
Длина биссектрисы из прямого угла, через катеты.
Длина биссектрисы из прямого угла, через гипотенузу и угол
Длина биссектрисы через катет и угол
Длина биссектрисы через катет и гипотенузу
Длина биссектрисы равнобедренного треугольника
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника | |
α – равные углы при основании треугольника | |
β – угол образованный равными сторонами треугольника |
Длина биссектрисы через стороны и угол, равнобедренного треугольника
$$ BB_1 = AB * sin(α) = * tg(α) = AB * cos() $$ $$ BB_1 = AB * sqrt <over 2> $$
Длина биссектрисы через стороны, равнобедренного треугольника
Длина биссектрисы равностороннего треугольника
Где: | AB,BC,AC – равные стороны треугольника |
$$ BB_1 = <AB * sqrtover 2> $$
Медиана в треугольнике
Медиана – это отрезок, который выходит из вершины и делит противоположную сторону пополам. Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника.
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
AA1,BB1,CC1 — медианы в треугольнике | |
α, β, γ– углы треугольника |
Длина медианы через три стороны
Длина медианы через две стороны и угол между ними
Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла.
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника | |
AA1,BB1,CC1 — медианы в треугольнике | |
β, γ– острые углы треугольника |
Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла, равна радиусу описанной окружности, а середина гипотенузы является центром описанной окружности
Длина медианы через катеты
Длина медианы через катет и острый угол
Описанная окружность
Радиус описанной окружности произвольного треугольника по сторонам
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
P – полупериметр $$ P = $$ | |
R — радиус описанной окружности |
$$ R = <AB * BC * CA over 4 * sqrt
> $$
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте
Где: | AB,BC,AC – равные стороны треугольника |
h – высота треугольника | |
R — радиус описанной окружности |
$$ R = <AB over sqrt> $$ $$ R = $$
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника | |
h – высота треугольника | |
R — радиус описанной окружности |
$$ R = <AB^2 over sqrt> $$
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника | |
R — радиус описанной окружности |
$$ R = * sqrt = $$
Длина окружности, L
Площадь окружности, S
Вписанная окружность
Радиус вписанной окружности произвольного треугольника по сторонам
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
P – полупериметр $$ P = $$ | |
R — радиус вписанной окружности |
$$ R = sqrt <
over P> $$
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
Где: | AB,BC,AC – равные стороны треугольника |
R — радиус вписанной окружности |
$$ R = <AB over 2 * sqrt> $$
Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольник
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника | |
R — радиус вписанной окружности | |
h – высота треугольника | |
α – угол при основании треугольника |
$$ R = * sqrt <> $$ $$ R = AB * = AB * cos(α) * tan() $$ $$ R = * = * tan() $$ $$ R = <AC * h over AC + sqrt> $$ $$ R = <h * sqrtover AB + sqrt> $$
Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать
Решение треугольников онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:
- Три стороны треугольника.
- Две стороны треугольника и угол между ними.
- Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
- Одна сторона и любые два угла.
Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.
Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать
Решение треугольника по трем сторонам
Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .
(1) |
(2) |
Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения
. |
Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).
Решение. Из формул (1) и (2) находим:
. |
. |
, . |
И, наконец, находим угол C:
Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.
Найдем сторону c используя теорему косинусов:
. |
. |
Далее, из формулы
. |
. | (3) |
Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
. |
Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.
Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:
, |
. |
Из формулы (3) найдем cosA:
. |
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
. |
Видео:9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать
Решение треугольника по стороне и любым двум углам
Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.
Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:
. |
Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:
, . |
, . |
Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.
Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:
Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:
Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:
🎦 Видео
Нахождение стороны подобного треугольникаСкачать
Треугольники. 7 класс.Скачать
Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать
№90. Сторона AB треугольника ABC равна 17см, сторона АС вдвое больше стороны AB, а сторона ВССкачать
Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 15Скачать
Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать
№156. Периметр треугольника ABC равен 15 см. Сторона ВС больше стороны АВ на 2 см, а сторона ABСкачать
Найдите третью сторону треугольникаСкачать
Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
ОГЭ как найти тангенс угла, если нет треугольника #математика #огэ #огэматематика #геометрияСкачать
Нахождение стороны равнобедренного треугольникаСкачать