Нахождение стороны bc треугольника

Все формулы для треугольника

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Нахождение стороны bc треугольника

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

Нахождение стороны bc треугольника

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Нахождение стороны bc треугольника

Видео:ОГЭ по математике. В треугольнике АБС известно три стороны. Найди косинус угла. (Вар.8) √ 16Скачать

ОГЭ по математике. В треугольнике АБС известно три стороны. Найди косинус угла. (Вар.8) √ 16

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

Нахождение стороны bc треугольника

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Нахождение стороны bc треугольника

Формулы для катета, ( b ):

Нахождение стороны bc треугольника

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Нахождение стороны bc треугольника

Нахождение стороны bc треугольника

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Нахождение стороны bc треугольника

Нахождение стороны bc треугольника

Нахождение стороны bc треугольника

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Нахождение стороны bc треугольника

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Нахождение стороны bc треугольника

Нахождение стороны bc треугольника

Формулы длины равных сторон , (a):

Нахождение стороны bc треугольника

Нахождение стороны bc треугольника

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

Нахождение стороны bc треугольника H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Нахождение стороны bc треугольника

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Нахождение стороны bc треугольника

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Нахождение стороны bc треугольника

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Формулы треугольника

Для расчёта всех основных параметров треугольника воспользуйтесь калькулятором.

Виды треугольников

  1. Нахождение стороны bc треугольникаОстроугольный треугольник — это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.
  2. Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.

    Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).

    Нахождение стороны bc треугольника
  3. Нахождение стороны bc треугольникаТупоугольный треугольник — это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.(по числу равных сторон)
  4. Нахождение стороны bc треугольникаРавносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).
  5. Нахождение стороны bc треугольникаРавнобедренный тругольник — это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.
  6. Нахождение стороны bc треугольникаРазносторонний треугольник — это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.

Свойства треугольника, применимые к любому треугольнику:

  1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
  2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
  3. Сумма углов треугольника равна 180° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60°).
  4. Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
  5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
  • $$ AB BC — CA $$
  • $$ BC AB — CA $$
  • $$ CA AB — BC $$

Признаки равенства треугольников

Произвольные треугольники равны, если:

Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам).

AB = DE и BC = EF и AC = DF

Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними).

AB = DE и BC = EF и ∠ABC = ∠DEF;

BC = EF и AC = DF и ∠BCA = ∠EFD;

AB = DE и AC = DF и ∠CAB = ∠FDE;

Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).

∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;

Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.

∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD;

∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;

∠CAB = ∠FDE и ∠ABC = ∠DEF;

AB = DE или BC = EF или AC = DF

Прямоугольные треугольники равны, если равны:

    Гипотенуза и острый угол.

BC = EF и ∠ABC = ∠DEF

BC = EF и ∠BCA = ∠EFD;

Катет и противолежащий угол.

AB = DE и ∠BCA = ∠EFD

AC = DF и ∠ABC = ∠DEF

Катет и прилежащий угол.

AB = DE и ∠ABC = ∠DEF

AC = DF и ∠BCA = ∠EFD

AB = DE и AC = DF

Гипотенуза и катет.

AB = DE и BC = EF

AC = DF и BC = EF

Подобные треугольники

Нахождение стороны bc треугольника

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны

Признаки подобия треугольников

  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
  • Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (Kподобия) $$ <S_over S_> = К_^2 $$
  • Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

Нахождение стороны bc треугольника

  • Треугольники, образованные высотой, опущенной из прямого угла, являются подобными друг другу
  • Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
  • Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
  • Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.

Площадь треугольника

Нахождение стороны bc треугольника

Нахождение стороны bc треугольника Нахождение стороны bc треугольника
Нахождение стороны bc треугольникаНахождение стороны bc треугольника
Где:AB,BC,AC – стороны треугольника
h – высота треугольника
α, β, γ– углы треугольника
P – полупериметр
AC – основание треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь треугольника по формуле Герона

Площадь треугольника по углу и двум сторонам

$$ S = * AB * AC * sin(α) $$ $$ S = * AB * BC * sin(β) $$ $$ S = * AC * BC * sin(γ) $$

Площадь треугольника по двум углам и стороне

Нахождение стороны bc треугольника

Площадь прямоугольного треугольника по катетам

Где:AB,AC – катеты треугольника

$$ S = * AB * AC $$

Нахождение стороны bc треугольника

Площадь равнобедренного треугольника

Где:AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника

$$ S = * sqrt $$

Нахождение стороны bc треугольника

Площадь равностороннего треугольника

Где:AB,BC,AC – равные стороны треугольника
h – высота треугольника

$$ S = <sqrtover 4> * AB^2 $$ $$ S = <h^2 over sqrt> $$

Стороны треугольника

Нахождение стороны bc треугольника

Где:AB,BC,AC – стороны треугольника
h – высота треугольника
α, β, γ– углы треугольника
P – полупериметр
AC – основание треугольника

Сторона треугольника по двум сторонам и углу

Сторона треугольника по стороне и двум углам

Нахождение стороны bc треугольника

Сторона прямоугольного треугольника

Где:AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника

$$ AC = BC * cos(β) = BC * sin(α) = AB * tg(α) $$ $$ AB = BC * cos(α) = BC * sin(β) = AC * tg(β) $$ $$ BC = = $$ $$ BC = = $$

Сторона прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.

Нахождение стороны bc треугольника

Сторона равнобедренного треугольника

Где:AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника

$$ AC = 2 * AB * sin() = AB * sqrt $$ $$ AC = 2 * AB * cos(α) $$ $$ AB = = <AC over sqrt> $$ $$ AB = $$

Высота треугольника

Высота – это перпендикуляр, выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне или её продолжению для треугольника с тупым углом. Высоты треугольника пересекаются в одной точке

Нахождение стороны bc треугольника

Где:AB,BC,AC – стороны треугольника
h – высота треугольника
P – полупериметр $$ P = $$
α, β, γ – углы треугольника
R — радиус описанной окружности
S — площадь треугольника

Высота на сторону АС, hAC

Высота на сторону AB, hAB

Высота на сторону BC, hBC

Формула длины высоты через сторону и угол

Высота на сторону АС, hAC

$$ h_ = AB * sin(α) = BC * sin(γ) $$

Высота на сторону AB, hAB

$$ h_ = BC * sin(β) = AC * sin(α) $$

Высота на сторону BC, hBC

$$ h_ = AC * sin(γ) = AB * sin(β) $$

Формула длины высоты через сторону и площадь

Высота на сторону АС, hAC

Высота на сторону AB, hAB

Высота на сторону BC, hBC

Формула длины высоты через стороны и радиус

Высота на сторону АС, hAC

Высота на сторону AB, hAB

Высота на сторону BC, hBC

Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

Нахождение стороны bc треугольника

Где:AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника
BD, DC – отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой
α, β– углы треугольника

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы

$$ h = BC * sin(α) * cos(α) = BC * sin(β) * cos(β) $$

Формула длины высоты через катет и угол

$$ h = AB * sin(α) = AC * sin(β) $$

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы

Биссектрисы в треугольнике

Биссектриса – это отрезок, который делит угол пополам из которого выходит. Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника совпадает с центром вписанной окружности.

Нахождение стороны bc треугольника

Где:AB,BC,AC – стороны треугольника
AA1,BB1,CC1 — биссектрисы в треугольнике
α, β, γ– углы треугольника
P – полупериметр $$ P = $$

Длина биссектрисы через две стороны и угол

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны

Длина биссектрисы через три стороны

Длина биссектрисы через стороны и отрезки, на которые делит биссектриса

Формула длины биссектрис в прямоугольном треугольнике

Нахождение стороны bc треугольника

Где:AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника
β, γ– острые углы треугольника

Длина биссектрисы из прямого угла, через катеты.

Длина биссектрисы из прямого угла, через гипотенузу и угол

Длина биссектрисы через катет и угол

Длина биссектрисы через катет и гипотенузу

Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

Нахождение стороны bc треугольника

Где:AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника
α – равные углы при основании треугольника
β – угол образованный равными сторонами треугольника

Длина биссектрисы через стороны и угол, равнобедренного треугольника

$$ BB_1 = AB * sin(α) = * tg(α) = AB * cos() $$ $$ BB_1 = AB * sqrt <over 2> $$

Длина биссектрисы через стороны, равнобедренного треугольника

Длина биссектрисы равностороннего треугольника

Нахождение стороны bc треугольника

Где:AB,BC,AC – равные стороны треугольника

$$ BB_1 = <AB * sqrtover 2> $$

Медиана в треугольнике

Медиана – это отрезок, который выходит из вершины и делит противоположную сторону пополам. Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника.

Нахождение стороны bc треугольника

Где:AB,BC,AC – стороны треугольника
AA1,BB1,CC1 — медианы в треугольнике
α, β, γ– углы треугольника

Длина медианы через три стороны

Длина медианы через две стороны и угол между ними

Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла.

Нахождение стороны bc треугольника

Где:AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника
AA1,BB1,CC1 — медианы в треугольнике
β, γ– острые углы треугольника

Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла, равна радиусу описанной окружности, а середина гипотенузы является центром описанной окружности

Длина медианы через катеты

Длина медианы через катет и острый угол

Описанная окружность

Радиус описанной окружности произвольного треугольника по сторонам

Нахождение стороны bc треугольника

Где:AB,BC,AC – стороны треугольника
P – полупериметр $$ P = $$
R — радиус описанной окружности

$$ R = <AB * BC * CA over 4 * sqrt

> $$

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

Нахождение стороны bc треугольника

Где:AB,BC,AC – равные стороны треугольника
h – высота треугольника
R — радиус описанной окружности

$$ R = <AB over sqrt> $$ $$ R = $$

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

Нахождение стороны bc треугольника

Где:AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника
h – высота треугольника
R — радиус описанной окружности

$$ R = <AB^2 over sqrt> $$

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам

Нахождение стороны bc треугольника

Где:AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника
R — радиус описанной окружности

$$ R = * sqrt = $$

Длина окружности, L

Площадь окружности, S

Вписанная окружность

Радиус вписанной окружности произвольного треугольника по сторонам

Нахождение стороны bc треугольника

Где:AB,BC,AC – стороны треугольника
P – полупериметр $$ P = $$
R — радиус вписанной окружности

$$ R = sqrt <

over P> $$

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Нахождение стороны bc треугольника

Где:AB,BC,AC – равные стороны треугольника
R — радиус вписанной окружности

$$ R = <AB over 2 * sqrt> $$

Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольник

Нахождение стороны bc треугольника

Где:AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника
R — радиус вписанной окружности
h – высота треугольника
α – угол при основании треугольника

$$ R = * sqrt <> $$ $$ R = AB * = AB * cos(α) * tan() $$ $$ R = * = * tan() $$ $$ R = <AC * h over AC + sqrt> $$ $$ R = <h * sqrtover AB + sqrt> $$

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем Нахождение стороны bc треугольника.

Нахождение стороны bc треугольника
Нахождение стороны bc треугольника
Нахождение стороны bc треугольника
Нахождение стороны bc треугольника(1)
Нахождение стороны bc треугольника(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Нахождение стороны bc треугольника.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Нахождение стороны bc треугольникаНайти Нахождение стороны bc треугольника(Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Нахождение стороны bc треугольникаНахождение стороны bc треугольника.
Нахождение стороны bc треугольникаНахождение стороны bc треугольника.
Нахождение стороны bc треугольника, Нахождение стороны bc треугольника.

И, наконец, находим угол C:

Нахождение стороны bc треугольникаНахождение стороны bc треугольника

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Нахождение стороны bc треугольника

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Нахождение стороны bc треугольника.
Нахождение стороны bc треугольника.

Далее, из формулы

Нахождение стороны bc треугольника.
Нахождение стороны bc треугольника.(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Нахождение стороны bc треугольника.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Нахождение стороны bc треугольникаи Нахождение стороны bc треугольника(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Нахождение стороны bc треугольника,
Нахождение стороны bc треугольникаНахождение стороны bc треугольникаНахождение стороны bc треугольника.

Из формулы (3) найдем cosA:

Нахождение стороны bc треугольникаНахождение стороны bc треугольника
Нахождение стороны bc треугольника.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Нахождение стороны bc треугольникаНахождение стороны bc треугольника.

Видео:9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать

9 класс, 13 урок, Теорема синусов

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Нахождение стороны bc треугольника

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Нахождение стороны bc треугольника.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Нахождение стороны bc треугольника, Нахождение стороны bc треугольника.
Нахождение стороны bc треугольника, Нахождение стороны bc треугольника.

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Нахождение стороны bc треугольникаи углы Нахождение стороны bc треугольника(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Нахождение стороны bc треугольникаНахождение стороны bc треугольника

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Нахождение стороны bc треугольника
Нахождение стороны bc треугольника

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

🎦 Видео

Нахождение стороны подобного треугольникаСкачать

Нахождение стороны подобного треугольника

Треугольники. 7 класс.Скачать

Треугольники. 7 класс.

Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать

Найдите сторону треугольника на рисунке

№90. Сторона AB треугольника ABC равна 17см, сторона АС вдвое больше стороны AB, а сторона ВССкачать

№90. Сторона AB треугольника ABC равна 17см, сторона АС вдвое больше стороны AB, а сторона ВС

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 15Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 15

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.

№156. Периметр треугольника ABC равен 15 см. Сторона ВС больше стороны АВ на 2 см, а сторона ABСкачать

№156. Периметр треугольника ABC равен 15 см. Сторона ВС больше стороны АВ на 2 см, а сторона AB

Найдите третью сторону треугольникаСкачать

Найдите третью сторону треугольника

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

ОГЭ как найти тангенс угла, если нет треугольника #математика #огэ #огэматематика #геометрияСкачать

ОГЭ как найти тангенс угла, если нет треугольника #математика #огэ #огэматематика #геометрия

Нахождение стороны равнобедренного треугольникаСкачать

Нахождение стороны равнобедренного треугольника
Поделиться или сохранить к себе: