1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол
a — сторона ромба
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α — острый угол
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :
2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты
a — сторона ромба
h — высота
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :
- Сторона ромба через радиус вписанной окружности и острый угол
- Сторона ромба онлайн
- 1. Сторона ромба через высоту и площадь
- 2. Сторона ромба через высоту и угол
- 3. Сторона ромба через диагонали
- 4. Сторона ромба через угол и противолежащую диагональ
- 5. Сторона ромба через угол и диагональ из данного угла
- 6. Сторона ромба через площадь и радиус вписанной в ромб окружности
- 7. Сторона ромба через площадь и угол
Сторона ромба через радиус вписанной окружности и острый угол
Острый угол ромба равен 
Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 1.
Найдите сторону ромба.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Острый угол ромба равен 30°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 2. Найдите сторону ромба.
Радиус r вписанной в ромб окружности вдвое меньше его высоты d. Поэтому
Сторона ромба онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти длину стороны ромба по известным элементам. Для нахождения стороны ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.
| Открыть онлайн калькулятор |
1. Сторона ромба через высоту и площадь
Пусть известны площадь и высота ромба (Рис.1).
 |
Покажем, что сторона ромба через высоту и площадь вычисляется формулой
| (small a=frac.) | (1) |
Формула площади ромба через сторону и высоту имеет следующий вид:
| (small S=a cdot h.) |
Откуда легко вывести формулу (1).
2. Сторона ромба через высоту и угол
Рассмотрим ромб с высотой h и углом α между сторонами (Рис.2). Выведем формулу вычисления стороны ромба через высоту и угол.
 |
Для прямоугольного треугольника AHB применим теорему синусов:
| (small frac=frac.) |
Откуда получим формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол между сторонами:
| (small a=frac.) | (2) |
Заметим, что формула (2) справедлива для любого угла ромба, как для острого, так и для тупого. Действительно. Из четвертого свойста ромба (см. статью Ромб) следует, что сумма соседних углов ромба равна 180°. Тогда для угла C можно записать: (small angle C=180°-alpha.) Следовательно (small sin angle C=sin(180°-alpha)=sin alpha.) Получили, что синусы углов ромба равны. Поэтому в качестве угла между сторонами ромба можно выбрать любой угол ромба.
3. Сторона ромба через диагонали
Выведем формулу вычисления сторон ромба через диагонали.
Выразим сторону a ромба через диагонали. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника (Рис.3).
 |
Применим к прямоугольному треугольнику AOB теорему Пифагора:
| (small a^2= left( frac right)^2+left( frac right)^2.) |
| (small a= frac<sqrt> ) | (3) |
4. Сторона ромба через угол и противолежащую диагональ
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления сторон ромба.
 |
Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Кроме этого, диагонали ромба делят углы ромба пополам. Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:
| (small frac=frac<large frac><large sin frac>.) |
Откуда получим формулу стороны ромба через угол и противолежащую диагональ:
| (small a=frac<large 2 cdot sin frac>.) | (4) |
Формулу (4) можно записать и в другом виде, применяя формулу синуса половинного угла:
| (small sin frac=sqrt<frac>.) | (5) |
Подставляя (5) в (4), получим:
| (small a=frac<large 2 cdot sqrt<frac>>.) |
| (small a=large frac< sqrt>.) | (6) |
5. Сторона ромба через угол и диагональ из данного угла
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления высоты ромба.
 |
Проведем другой диагональ AC. Как было отмечено в выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:
| (small frac =cos angle ABO.) | (7) |
Учитывая, что ( small BO=frac) и ( small angle ABO=frac), формулу (13) можно записать так:
| (small frac< large frac >= cos frac .) |
| (small a=frac<large 2 cdot cos large frac>.) | (8) |
Формулу (8) можно записать и в другом виде, применяя формулу косинуса половинного угла:
| (small cos frac=sqrt<frac>.) | (9) |
Подставляя (9) в (8), получим:
| (small a=frac<large 2 cdot sqrt<frac>>.) |
| (small a=large frac< sqrt>.) | (10) |
6. Сторона ромба через площадь и радиус вписанной в ромб окружности
В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и радиус вписанной в ромб окружности вычисляется формулой
| (small S= 2 cdot a cdot r.) | (11) |
Из формулы (11) получим:
| ( small a=frac ) | (12) |
7. Сторона ромба через площадь и угол
В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и угол вычисляется формулой
| (small S= a^2 cdot sin alpha.) | (13) |
Из формулы (13) найдем a:
| ( small a=frac ) | (14) |
Получили формулу сторон ромба через площадь и угол.