Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Все формулы стороны квадрата

1. Формула стороны квадрата через диагональ

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

a — сторона квадрата

d — диагональ квадрата

Формула стороны квадрата, ( a ):

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

2. Формула стороны квадрата через радиус вписанной окружности

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

a — сторона квадрата

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

Формула стороны квадрата, ( a ):

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

3. Формула стороны квадрата через радиус описанной окружности

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

a — сторона квадрата

R — радиус описанной окружности

D — диаметр описанной окружности

d — диагональ

Формула стороны квадрата, ( a ):

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

4. Формула стороны квадрата через площадь и периметр

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

a — сторона квадрата

S — площадь квадрата

P — периметр квадрата

Формула стороны квадрата, ( a ):

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

5. Формула стороны квадрата через линию выходящую из угла на середину стороны квадрата

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

a — сторона квадрата

C — линия выходящая из угла на середину стороны квадрата

Формула стороны квадрата, ( a ):

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностейСкачать

СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностей

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон квадрата равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  • Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружностиСторона квадрата равна радиусу описанной окружностиСторона квадрата равна радиусу описанной окружностиСторона квадрата равна радиусу описанной окружностиСторона квадрата равна радиусу описанной окружностиСторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Видео:Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.Скачать

Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности
Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности.(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Ответ: Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Видео:ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ВОСЕМНАДЦАТОГО ЗАДАНИЯ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2018Скачать

ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ВОСЕМНАДЦАТОГО ЗАДАНИЯ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2018

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Ответ: Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Ответ: Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности
Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности(5)

Из формулы (5) найдем R:

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности
Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности(6)

или, умножая числитель и знаменатель на Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности, получим:

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности.(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Ответ: Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадратаСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадрата

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности
Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности.(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Сторона квадрата равна радиусу описанной окружностиНайти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя Сторона квадрата равна радиусу описанной окружностив (8), получим:

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Ответ: Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Видео:Урок 9 Сторона квадрата радиусы вписанной и описанной окружностейСкачать

Урок 9 Сторона квадрата радиусы вписанной и описанной окружностей

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности(9)

где Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя Сторона квадрата равна радиусу описанной окружностив (9), получим:

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Ответ: Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружностиСторона квадрата равна радиусу описанной окружности(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружностиСторона квадрата равна радиусу описанной окружности(13)

Из (13) следует, что

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Видео:ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематикаСкачать

ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематика

Нахождение радиуса описанной вокруг квадрата окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около квадрата. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Видео:Задание 16 Часть 3Скачать

Задание 16  Часть 3

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Через сторону квадрата

Радиус R окружности, описанной около квадрата, равняется длине его стороны a, умноженной на квадратный корень из двух и деленной на два.

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Через диагональ квадрата

Радиус R описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали d.

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Видео:Задача 6 №27922 ЕГЭ по математике. Урок 139Скачать

Задача 6 №27922 ЕГЭ по математике. Урок 139

Примеры задач

Задание 1

Длина стороны квадрата равняется 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Применим первую формулу, рассмотренную выше:

Сторона квадрата равна радиусу описанной окружности

Задание 2

Вычислите длину диагонали квадрата, если радиус описанной вокруг него окружности составляет 6 см.

Как мы знаем, радиус описанной окружности равняется половине диагонали квадрата. Следовательно, общая длина диагонали равняется 12 см (6 см ⋅ 2).

📸 Видео

Радиус окружности рассчитываем через длину стороны квадратаСкачать

Радиус окружности рассчитываем через длину стороны квадрата

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать

Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133

Радиус описанной около треугольника окружностиСкачать

Радиус описанной около треугольника окружности
Поделиться или сохранить к себе: