Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности квадрата

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Видео:2092 найдите радиус окружности описанной около квадрата со стороной 27 корней из 2Скачать

2092 найдите радиус окружности описанной около квадрата со стороной 27 корней из 2

Свойства

Так как радиус описанной вокруг квадрата окружности равен стороне квадрата, деленной на корень из двух, то чтобы найти сторону, необходимо данный радиус умножить на корень из двух. R=a/√2 a=√2 R

Тогда периметр и площадь будут зависеть от полученного выражения, подставляемого вместо стороны в формулы. P=4a=4√2 R S=a^2=〖(√2 R)〗^2=2R^2

Изначально радиус описанной окружности вокруг квадрата в два раза меньше его диагонали, поэтому диагональ равна удвоенному радиусу. (рис. 69.3) d=2R

Углы пересечения диагоналей между собой и диагоналей со сторонами квадрата равны каждый 45 градусам. (рис. 69.1) m(

Видео:ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ВОСЕМНАДЦАТОГО ЗАДАНИЯ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2018Скачать

ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ВОСЕМНАДЦАТОГО ЗАДАНИЯ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2018

Нахождение радиуса описанной вокруг квадрата окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около квадрата. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Через сторону квадрата

Радиус R окружности, описанной около квадрата, равняется длине его стороны a, умноженной на квадратный корень из двух и деленной на два.

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Через диагональ квадрата

Радиус R описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали d.

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадратаСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадрата

Примеры задач

Задание 1

Длина стороны квадрата равняется 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Применим первую формулу, рассмотренную выше:

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Задание 2

Вычислите длину диагонали квадрата, если радиус описанной вокруг него окружности составляет 6 см.

Как мы знаем, радиус описанной окружности равняется половине диагонали квадрата. Следовательно, общая длина диагонали равняется 12 см (6 см ⋅ 2).

Видео:СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностейСкачать

СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностей

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон квадрата равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  • Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружностиСторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружностиСторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружностиСторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружностиСторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружностиСторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Видео:17 задание ОГЭ по математикеСкачать

17 задание ОГЭ по математике

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности
Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности.(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Ответ: Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Видео:2095 Найдите сторону квадрата вписанного в окружность радиуса 18 корней из 2Скачать

2095 Найдите сторону квадрата вписанного в окружность радиуса 18 корней из 2

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Ответ: Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Видео:Задание № 1087 — Геометрия 9 класс (Атанасян)Скачать

Задание № 1087 — Геометрия 9 класс (Атанасян)

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Ответ: Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Видео:16)Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 8√2. Найдите длину стороны этого квадрата.Скачать

16)Радиус окружности,  описанной около квадрата, равен 8√2. Найдите длину стороны этого квадрата.

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности
Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности(5)

Из формулы (5) найдем R:

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности
Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности(6)

или, умножая числитель и знаменатель на Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности, получим:

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности.(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Ответ: Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Видео:Задание 16 Часть 3Скачать

Задание 16  Часть 3

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности
Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности.(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружностиНайти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружностив (8), получим:

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Ответ: Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Видео:Решение задания 17 #2 для подготовки к сдаче ОГЭ 2020 по математикеСкачать

Решение задания 17 #2 для подготовки к сдаче ОГЭ 2020 по математике

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности(9)

где Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружностив (9), получим:

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Ответ: Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружностиСторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружностиСторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности(13)

Из (13) следует, что

Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).Сторона квадрата корень из 2 радиус описанной окружности

🎬 Видео

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

2134 около окружности радиус которой равен 16 корней из 2Скачать

2134 около окружности радиус которой равен 16 корней из 2

Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать

Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133
Поделиться или сохранить к себе: