Как решить равносторонний треугольник

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Как решить равносторонний треугольник

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Как решить равносторонний треугольник

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

Как решить равносторонний треугольник

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Как решить равносторонний треугольник

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Как решить равносторонний треугольник

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Как решить равносторонний треугольник

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
Как решить равносторонний треугольник

2. Радиус вписанной окружности:
Как решить равносторонний треугольник

3. Радиус описанной окружности:
Как решить равносторонний треугольник

4. Периметр:
Как решить равносторонний треугольник

5. Площадь:
Как решить равносторонний треугольник

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать

Равносторонний треугольник в окружности

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Как решить равносторонний треугольник

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна .

Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .

Как решить равносторонний треугольник

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Как решить равносторонний треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем Как решить равносторонний треугольник.

Как решить равносторонний треугольник
Как решить равносторонний треугольник
Как решить равносторонний треугольник
Как решить равносторонний треугольник(1)
Как решить равносторонний треугольник(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Как решить равносторонний треугольник.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Как решить равносторонний треугольникНайти Как решить равносторонний треугольник(Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Как решить равносторонний треугольникКак решить равносторонний треугольник.
Как решить равносторонний треугольникКак решить равносторонний треугольник.
Как решить равносторонний треугольник, Как решить равносторонний треугольник.

И, наконец, находим угол C:

Как решить равносторонний треугольникКак решить равносторонний треугольник

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. 7 класс.

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Как решить равносторонний треугольник

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Как решить равносторонний треугольник.
Как решить равносторонний треугольник.

Далее, из формулы

Как решить равносторонний треугольник.
Как решить равносторонний треугольник.(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Как решить равносторонний треугольник.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Как решить равносторонний треугольники Как решить равносторонний треугольник(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Как решить равносторонний треугольник,
Как решить равносторонний треугольникКак решить равносторонний треугольникКак решить равносторонний треугольник.

Из формулы (3) найдем cosA:

Как решить равносторонний треугольникКак решить равносторонний треугольник
Как решить равносторонний треугольник.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Как решить равносторонний треугольникКак решить равносторонний треугольник.

Видео:Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

Геометрия  Равносторонний треугольник

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Как решить равносторонний треугольник

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Как решить равносторонний треугольник.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Как решить равносторонний треугольник, Как решить равносторонний треугольник.
Как решить равносторонний треугольник, Как решить равносторонний треугольник.

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Как решить равносторонний треугольники углы Как решить равносторонний треугольник(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Как решить равносторонний треугольникКак решить равносторонний треугольник

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Как решить равносторонний треугольник
Как решить равносторонний треугольник

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

🌟 Видео

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.

Как построить равнобедренный или равносторонний треугольник по клеткам.Скачать

Как построить равнобедренный или равносторонний треугольник по клеткам.

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

7 класс. Геометрия. Равнобедренный треугольник. Равносторонний треугольник. Решение задачи. Урок #6Скачать

7 класс. Геометрия. Равнобедренный треугольник. Равносторонний треугольник. Решение задачи. Урок #6

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Решение задач по теме "Равнобедренный треугольник"Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Решение задач по теме "Равнобедренный треугольник"

Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольникаСкачать

Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольника

7 фактов про равносторонний треугольникСкачать

7 фактов про равносторонний треугольник

Равнобедренный треугольник. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. Практическая часть. 7 класс.

Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать

Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16

Учимся решать задачи по геометрии. Равнобедренный треугольникСкачать

Учимся решать задачи по геометрии. Равнобедренный треугольник
Поделиться или сохранить к себе: