Средняя линия четырехугольника образует с его диагоналями равные углы докажите что

Докажите теорему: если средние линии четырёхугольника равны, то диагонали четырёхугольника перпендикулярны.

Примечание. Средней линией четырёхугольника называют отрезок, соединяющий середины его противоположных сторон.

Середины противоположных сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма Вариньона, а если отрезки, соединяющие их, равны, то равны диагонали параллелограмма, а значит, этот параллелограмм является прямоугольником. По следствию из теоремы Вариньона стороны полученного четырёхугольника параллельны диагоналям исходного, а так как стороны прямоугольника перпендикулярны, перпендикулярны и диагонали исходного четырёхугольника.

Видео:Средняя линия треугольника | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классСкачать

Что такое средняя линия четырехугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства средних линий выпуклого четырехугольника касательно точки их пересечения, соотношения с диагоналями и т.д.

Примечание: далее мы будем рассматривать только выпуклую фигуру.

Видео:№797. Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.Скачать

Определение средней линии четырехугольника

Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника (т.е. не пересекающий их), называется его средней линией.

• EF – средняя линия, соединяющая середины AB и CD; AE=EB, CF=FD.
• GH – средняя линия, сеодиняющая середины BC и AD; BG=GC, AH=HD.

Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Свойства средней линии четырехугольника

Свойство 1

Средние линии четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Примечание: Точка O является центроидом (или барицентром) четырехугольника.

Свойство 2

Точка пересечения средних линий четырехугольника является серединой отрезка, соединяющего середины его диагоналей.

Свойство 3

Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, который называется параллелограммом Вариньона.

Центром образованного таким образом параллелограмма и точкой пересечения его диагоналей является середина средних линий исходного четырехугольника, т.е. точка их пересечения – O.

Примечание: Площадь параллелограмма равняется половине площади четырехугольника.

Свойство 4

Если углы между диагоналями четырехугольника и его средней линией равны, значит диагонали имеют одинаковую длину.

Свойство 5

Средняя линия четырехугольника меньше или равна полусумме непересекающих ее сторон (при условии, что данные стороны параллельны).

EF – средняя линия, не пересекающаяся со сторонами AD и BC.

Иначе говоря, средняя линия четырехугольника равняется половине суммы не пересекающих ее сторон тогда и только тогда, когда данный четырехугольник является трапецией. В этом случае рассматриваемые стороны являются основаниями фигуры.

Свойство 6

Для вектора средней линии произвольного четырехугольника выполняется следующее равенство:

Видео:СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ #математика #егэ #shorts #профильныйегэСкачать

Урок геометрии по теме «Теорема Вариньона. Решение задач». 8-й класс

Класс: 8

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (276 кБ)

Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Задачи:

1. Изучить теоретический материал: понятия «параллелограмм Вариньона», бимедианы четырехугольника, разобрать доказательство теоремы Вариньона и следствия из нее.
2. Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и, используя теорему Вариньона.
3. Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.

Видео:Теорема о средней линии треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Ход урока

Введение

В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм-менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у ученика занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.

Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы, но считаю изучение её необходимым.

1. Теоретическая часть

Вариньон Пьер [1] (1654–1722)

Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики. », в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).

Теорема Вариньона [2]

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

ABCD – выпуклый четырехугольник

AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND

1) KLMN – параллелограмм;

1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. KL– средняя линия треугольника ABC(по определению),следовательно, KL║AC. Аналогично, так как MN– средняя линия треугольника ADC,то MN║AC. Так как KL║AC и MN║AC следовательно, KL║NM и KL=MN=AC/2. Таким образом, KLMN – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.
2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника,
3. т.е. S_KBL = S_ABC/4, S_MDN=S_ADS/4. Следовательно, S₁+S₃=S_ABCD /4. Аналогично, S₂+S₄=S_ABCD/4. Следовательно, S₁+S₃ + S₂+S₄ = S_ABCD /4 + S_ABCD/4 = S_ABCD/2.

Т.е., SKLMN = S_ABCD/2. Что и требовалось доказать.

Определение. Бимедианы четырехугольниках [3] – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)

Следствия из теоремы Вариньона

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.

Доказать: KLMN – ромб

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

KM и LN перпендикулярны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Что и требовалось доказать.

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны

Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – равны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны; AC=BD

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – перпендикулярны; KM=LN

Доказать: KLMN – квадрат

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

Что и требовалось доказать.

2. Практическая часть. Решение задач.

Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1).

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2).

У четырехугольника диагонали равны aи b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

См. теорему Вариньона.

Докажите, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.

Т.к. средние линии четырехугольника являются диагоналями параллелограмма Вариньона, то точка пересечения делит их пополам.

Олимпиадные задачи

1. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий [5].

Доказать: S_ABCD= KM*LN

Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Что и требовалось доказать.

2. Докажите, что суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны [6].

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника.

Что и требовалось доказать.

Заключение

«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.

Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.

Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных.

От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.

🎦 Видео

8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольникаСкачать

Средняя линия. Теорема о средней линии треугольникаСкачать

8 класс, 49 урок, Средняя линия трапецииСкачать

СЕРЬЁЗНО готовимся к ОГЭ 2024! / Полный прогон задания 17 на ОГЭ по математикеСкачать

Теорема о средней линии треугольникаСкачать

№47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CDСкачать

Как доказать У равнобедренной трапеции углы при основаниях равны и диагонали равныСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

Геометрия 8 Класс Урок 4 Удвоение медианыСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Средняя линия треугольника – 8 класс геометрияСкачать

Средняя линия треугольника | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классСкачать

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

Решение задач пространственный четырехугольникСкачать