Составлен из 6 ти правильных четырехугольников называется

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок № 16. Правильные многогранники

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• определение правильного многогранника;
• виды правильных многогранников;
• симметрия в пространстве;
• элементы симметрии правильных многогранников.

Глоссарий по теме

Правильный многогранник – выпуклый многогранник, все грани которого равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Правильный тетраэдр – многогранник, составленный из четырех равносторонних треугольников.

Правильный октаэдр – многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников.

Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из двадцати равносторонних треугольников.

Куб (гексаэдр) – многогранник, составленный из шести квадратов.

Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников.

Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1.

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.

Точки Аи А1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 368 с.: ил. (128 с. – 131 с.)

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. (68 с. – 73 с.)

Открытые электронные ресурсы:

Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из бумаги https://www.mnogogranniki.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Отметим, что поскольку все грани — равные правильные многоугольники, то все ребра правильного многогранника равны.

Вам уже известны примеры некоторых правильных многогранников. Например, куб. Все его грани — равные квадраты и к каждой вершине сходится три ребра.

Также нам уже знаком правильный тетраэдр.

Заметьте, что правильный тетраэдр и правильная треугольная пирамида – это различные многогранники!

Напомним, что пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром многоугольника. Таким образом, в правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны друг другу, но могут быть не равны ребрам основания пирамиды, а в правильном тетраэдре все ребра равны.

Правильных многогранников существует всего 5. Перечислим их.

Правильный тетраэдр – многогранник, составленный из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников, значит сумма плоских углов при каждой вершине равна 180.

Рисунок 1 — Правильный тетраэдр

Правильный октаэдр – многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников, значит, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240.

Рисунок 2 — Правильный октаэдр

Куб (гексаэдр) – многогранник, составленный из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов, значит, сумма плоских углов при

каждой вершине равна 270.

Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников, значит, сумма плоских углов при каждой равна 300.

Рисунок 4 – Правильный икосаэдр

Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников, значит, сумма плоских углов при каждой равна 324.

Рисунок 5 – Правильный додекаэдр

Название каждого правильного многогранника происходит от греческого наименования «эдра» — грань; «тетра» — 4; «гекса» — 6; «окта» — 8; «икоса» — 20; «додека» -12.

Докажем, что правильных многогранников существует ровно 5, то есть что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n≥6.

Действительно, угол правильного n-угольника при n≥6 не меньше 120 0 . С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани — правильные n-угольники при n≥6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше 360 0 . Но это не возможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 0 .

По этой причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, либо четырех, либо пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников.

Симметрия в пространстве

Одно из интересных свойств правильных многогранников – это элементы симметрии.

Прежде чем мы их выделим давайте определим симметрию в пространстве.

Вам уже знакома симметрия из курса планиметрии. Там мы рассматривали фигуры симметричные относительно прямой и точки. В стереометрии же рассматривают симметрию относительно точки, прямой и плоскости.

Будем говорить, что точки А и А1 симметричны относительно точки О (рис. 6), если О – середина отрезка АА1. В таком случае О будет являться центром симметрии и будет симметрична сама себе.

Рисунок 6 – Центральная симметрия

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этом отрезку (рис. 7). Прямая а называется осью симметрии, а каждая ее точка считается симметричной самой себе.

Рисунок 7 – Осевая симметрия

Точки АА1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку (рис. 8). Плоскость α называется плоскостью симметрии, а каждая ее точка считается симметричной самой себе.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией.

Рисунок 8 – Зеркальная симметрия

Рисунок 9 – Элементы симметрии куба

Примером фигуры, обладающей и центральной, и осевой и зеркальной симметрией является куб (рис. 9).

Фигура может иметь один или несколько центров (осей, плоскостей) симметрии. Так, например, у куба один центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии.

В геометрии центр, ось и плоскость симметрии многогранника называют элементами симметрии многогранников.

С симметрией мы часто можем встретиться в природе, архитектуре, быту.

Например, многие кристаллы имеют центр ось или плоскость симметрии.

Многие здания симметричны относительно плоскости. Примером такого здания является здание Московского государственного университета.

Рисунок 10 – Здание Московского государственного университета

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1 Выберите неверные утверждения

1) правильный додекаэдр состоит из 8 правильных треугольников

2) тетраэдр имеет 4 грани

3) гексаэдр состоит из шести параллелограммов

4) правильный октаэдр состоит из правильных пятиугольников

Утверждение под номером 1 неверно, так как название «додекаэдр» с греческого означает «двенадцать граней». В действительности, додекаэдр состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

Утверждение 2 верно. Тетраэдр с греческого означает 4 грани и состоит тетраэдр из 4-х треугольников.

Гексаэдр, он же куб состоит из квадратов, которые в свою очередь являются параллелограммами, поэтому утверждение 3 верно.

С греческого «октаэдр» означает 8 граней, состоять в таком случае из пятиугольников он не может. Октаэдр состоит из восьми треугольников. Утверждение 4 неверно.

№ 2 Установите соответствие между правильными многогранниками и их развертками.

1) 2) 3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Для выполнения этого задания необходимо понять, из каких многоугольников составлен многогранник.

Итак, куб состоит из квадратов. Единственная развертка, состоящая из квадратов это развертка под номером 6. Проверить себя можно и мысленно сложив из развертки кубик.

Многогранник под номером 2 – тетраэдр, состоит из четырех треугольников. Поэтому ему будет соответствовать развертка под номером 7. Мысленно сложите из развертки тетраэдр.

Октаэдр состоит из 8 треугольников, в этом несложно убедиться исходя из изображения. Развертка под номером 8 как раз состоит из 8 треугольников.

Многогранник под номером 4 состоит также из треугольников, а единственная развертка, состоящая из треугольников, осталась под номером 10. Попробуйте вырезать такую развертку из бумаги и собрать свой икосаэдр!

Многогранник под номером 5 состоит из пятиугольников. Оставшаяся развертка 9 тоже состоит из пятиугольников. Осталось проверить, что количество совпадает.

Видео:Видеоурок по математике "Понятие правильного многогранника"Скачать

Презентация по геометрии на тему «Правильные многогранники» (10 класс)

Видео:10 класс, 36 урок, Понятие правильного многогранникаСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Видео:ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

ТЕМА: Правильные многогранники.

С глубокой древности человеку известны пять удивительных многогранников

По числу граней их называют правильный тетраэдр (четырёхгранник)

гексаэдр (шестигранник) или куб

Свойства этих многогранников изучали ученые и священники, их модели можно было увидеть в работах архитекторов и ювелиров, им приписывались различные магические и целебные свойства

Великий древнегреческий философ Платон, живший в IV – V вв. до нашей эры, считал, что эти тела олицетворяют сущность природы

Четыре сущности природы были известны человечеству: огонь, вода, земля и воздух. По мнению Платона, их атомы имели вид правильных многогранников

атом огня имел вид тетраэдра, земли – гексаэдра (куба) воздуха – октаэдра воды — икосаэдра

огонь тетраэдр вода икосаэдр воздух октаэдр земля гексаэдр вселенная додекаэдр

Платон и его ученики в своих работах большое внимание уделяли перечисленным многогранникам. Поэтому эти многогранники называют также платоновыми телами

Определение правильного многогранника Многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники, из каждой вершины выходит одинаковое число ребер и все двугранные углы равны

Платоновы тела — трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. Однако между двумерным и трехмерным случаями есть важное отличие: существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников

Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются «Начала» Евклида

Существует лишь пять выпуклых правильных многогранников — тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями

Подсчитайте количество вершин, граней и ребер у правильных многогранников. Многогранник Число сторон грани Число граней, сходящихся в каждой вершине Число граней (Г) Число ребер (Р) Число вершин (В) Тетраэдр Гексаэдр Октаэдр Икосаэдр Додекаэдр

Характеристики правильных многогранников Многогранник Число сторон грани Число граней, сходящихся в каждой вершине Число граней (Г) Число ребер (Р) Число вершин (В) Тетраэдр 3 3 4 6 4 Гексаэдр 4 3 6 12 8 Октаэдр 3 4 8 12 6 Икосаэдр 3 5 20 30 12 Додекаэдр 5 3 12 30 20

Развертки правильных многогранников

Двойственность правильных многогранников Гексаэдр (куб) и октаэдр образуют двойственную пару многогранников. Число граней одного многогранника равно числу вершин другого и наоборот.

Возьмем любой куб и рассмотрим многогранник с вершинами в центрах его граней. Как нетрудно убедиться, получим октаэдр

Центры граней октаэдра служат вершинами куба

Икосаэдр и додекаэдр также являются двойственными многогранниками

Двойственным многогранником к тетраэдру является сам тетраэдр

1. Поверхность, составленная из четырех треугольников А) ТЕТРАЭДР С) КВАДРАТ B) ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД D) ШАР

2. Поверхность, составленная из многоугольников и ограничива- ющая некоторое геометрическое тело А) МНОГОУГОЛЬНИК С) ТРЕУГОЛЬНИК B) МНОГОГРАННИК D) КВАДРАТ

3. Многоугольник, из которого составлен многогранник А) СТОРОНА С) ГРАНЬ B) РЕБРО D) ВЕРШИНА

4. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани А) ДИАГОНАЛЬ С) ВЫСОТА B) МЕДИАНА D) АПОФЕМА

5. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины А) ДИАГОНАЛЬ С) КАТЕТ B) АПОФЕМА D) ГИПОТЕНУЗА

5. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины А) ДИАГОНАЛЬ С) КАТЕТ B) АПОФЕМА D) ГИПОТЕНУЗА

6. Этот правильный многогранник составлен из 8-ми равносторонних треугольников А) КВАДРАТ С) ДОДЕКАЭДР B) ТЕТРАЭДР D) ОКТАЭДР

7. Составлен из 6-ти правильных четырехугольников А) КВАДРАТ С) КУБ B) ТЕТРАЭДР D) ПИРАМИДА

8. Стихия тетраэдра А) ВОДА С) ЗЕМЛЯ B) ВОЗДУХ D) ОГОНЬ

9. Многоугольник, подобный пчелиным сотам А) 8-МИ УГОЛЬНИК С) 4-Х УГОЛЬНИК B) 6-ТИ УГОЛЬНИК D) ТРЕУГОЛЬНИК

Проверь себя. 1. A 2. B 3. C 4. A 5. B 6. D 7. C 8. D 9. B

По горизонтали: 1. Количество сходящихся ребер у октаэдра. 2. Грань додекаэдра. 3. Боковая грань усеченной пирамиды. 4. Правильный многогранник. По вертикали: 2. Граница многогранника. 5. Правильная треугольная пирамида. 6. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. 1 2 2 3 4 6 5 ч е т ы р е п я т и у г о л ь н и к т р а п е ц и я о о к т а э д р о в е х н с т ь т т р э д р в с т а

Домашняя работа: Читать §36-37 стр 76-79. Решить №271-275 стр 80.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 966 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 339 человек из 71 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 689 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

• Чугунова Татьяна ВикторовнаНаписать 2140 19.04.2017

Номер материала: ДБ-390091

19.04.2017 2070

19.04.2017 436

19.04.2017 1563

19.04.2017 1244

19.04.2017 988

19.04.2017 414

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Глава СПЧ предложил ввести подготовительные курсы перед обучением в школе для детей мигрантов

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

Россия направит $10,3 млн на развитие школьного питания в нескольких странах

Время чтения: 1 минута

Во всех педвузах страны появятся технопарки

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№16 - Правильные многогранники.)Скачать

Тест с ответами: “Правильные многогранники”

1. Из каких равносторонних фигур составлен икосаэдр:
а) треугольников +
б) шестиугольников
в) четырехугольников

2. Вершиной скольких фигур является каждая вершина тетраэдра:
а) 4
б) 3 +
в) 6

3. Из каких равносторонних фигур составлен октаэдр:
а) шестиугольников
б) четырехугольников
в) треугольников +

4. Многогранник называется правильным, если:
а) он выпуклый +
б) он не выпуклый
в) он имеет острые углы

5. Какой из математиков впервые ввел понятия правильных многогранников:
а) Архимед
б) Кеплер
в) Платон +

6. Многогранник называется правильным, если:
а) все его грани являются равными неправильными многоугольниками
б) все его грани являются равными правильными многоугольниками +
в) две его грани являются равными правильными многоугольниками

7. Будет ли пирамида правильной, если ее грани равнобедренные треугольники:
а) нет
б) отчасти
в) да +

8. Многогранник называется правильным, если:
а) в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер +
б) в каждой его вершине сходится разное число рёбер
в) в каждом его основании сходится одинаковое число рёбер

9. Какой из правильных многогранников не имеет центра симметрии:
а) додекаэдр
б) икосаэдр
в) тетраэдр +

10. Выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией:
а) равносторонний многогранник
б) правильный многогранник +
в) обычный многогранник

11. Из каких равносторонних фигур составлен гексаэдр:
а) четырехугольников +
б) треугольников
в) шестиугольников

12. С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы, так ли это:
а) нет
б) да +
в) отчасти

13. Какой из предложенных многогранников правильный:
а) куб +
б) призма
в) пирамида

14. Сумма плоских углов при каждой вершине гексаэдра равна:
а) 300
б) 324
в) 270 +

15. Какой из предложенных многогранников правильный:
а) октаэдр +
б) призма
в) параллелепипед

16. Сколько плоскостей симметрии имеет тетраэдр:
а) 12
б) 15
в) 6 +

17. Из каких равносторонних фигур составлен додекаэдр:
а) треугольников
б) шестиугольников
в) пятиугольников +

18. С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства, так ли это:
а) нет
б) да +
в) отчасти

19. Как чаще называют гексаэдр:
а) призма
б) пирамида
в) куб +

20. Икосаэдр имеет … число граней:
а) наименьшее
б) наибольшее +
в) одинаковое с другими правильными многогранниками число граней

21. Сколько правильных многогранников существует в геометрии:
а) 5 +
б) 7
в) 6

22. У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах:
а) разные
б) равны +
в) зависит от условия задачи

23. Какой из многоугольников является гранями додекаэдра:
а) пятиугольник
б) треугольник
в) ромб +

24. Каждая вершина правильного тетраэдра является вершиной трех равносторонних треугольников, так ли это:
а) нет
б) да +
в) отчасти

25. Сколько ребер имеет тетраэдр:
а) 8
б) 7
в) 6 +

26. Правильный октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра, так ли это:
а) нет
б) да +
в) отчасти

27. Сколько вершин имеет тетраэдр:
а) 4 +
б) 2
в) 1

28. Необходимо установить соответствие между названием фигуры и количеством ее граней:
Октаэдр:
а) 12
б) 10
в) 8 +

29. Необходимо установить соответствие между названием фигуры и количеством ее граней:
Тетраэдр:
а) 4 +
б) 14
в) 16

30. Сколько граней имеет тетраэдр:
а) 2
б) 4 +
в) 1

💥 Видео

Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

9 класс, 21 урок, Правильный многоугольникСкачать

МногоугольникСкачать

9 класс, 25 урок, Построение правильных многоугольниковСкачать

Правильные и полуправильные многогранникиСкачать

Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать

Правильные многогранникиСкачать

Урок 6. Треугольники, четырёхугольники, многоугольники. ОГЭ. Вебинар | МатематикаСкачать

#203. Правильные многогранники: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдрСкачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Задача 11. Правильные многогранники | Стереометрия #12 | ИнфоурокСкачать

Видеоурок по темам Многоугольники и МногогранникиСкачать

Правильные многогранники. Мини-курс по математике от Николая АндрееваСкачать

10 класс, 37 урок, Элементы симметрии правильных многогранниковСкачать

Пропорция. Основное свойство пропорции. 6 класс.Скачать