Сопряжение двух окружностей касательной

Возможны два варианта построений сопряжений двух окружностей:

· Задан радиус сопряжения.

· Задана точка сопряжения на одной из окружностей.

Сопряжение может быть внешним, внутренним и смешанным.

1. Сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса R (Рисунок16)

При внешнем сопряжении (рисунок 16) центр сопряжения О определяется пересечением двух геометрических мест – вспомогательных окружностей радиусов R₁ + R и R₂ + R, проведенных соответственно из центров сопрягаемых дуг, то есть из точек О₁ и О₂. Точки сопряжения А и В определяются как точки пересечения заданных дуг с прямыми ОО₁ и ОО₂.

При внутреннем сопряжении (рисунок 17) центр сопряжения О определяется пересечением двух геометрических мест – вспомогательных окружностей радиусов R – R₁ и R – R₂, проведенных соответственно из О₁ и О₂ (рисунок 17).

При смешанном сопряжении (рисунок 18) центр сопряжения О определяется в пересечении вспомогательных окружностей радиусов R — R₁ и R + R₂, проведенных соответственно из О₁ и О₂. Точки сопряжения А и В лежат на пересечении линий центров ОО₁ и ОО₂ с дугами заданных окружностей.

2. Сопряжение двух окружностей, если задано точка сопряжения А на одной из окружностей (рисунок 19).

Соединяют точку А с центром О₁ и откладывают на этой прямой отрезок АС, равный R₂. К середине отрезка СО₂ восставляют перпендикуляр до пересечения с продолжением линии О₁А. Точка О пересечения и является центром сопряжения. Вторая точка сопряжения В лежит на пересечении линии центров ОО₂ с дугой второй окружности.

Рисунок 19

ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ

Построение касательных к окружности основано на том, что касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

1. Касательная к окружности из точки А, лежащей вне окружности (рисунок 20).

Отрезок ОА, соединяющий данную точку с центром окружности, делят пополам и из полученной О₁, как из центра описывают вспомогательную окружность радиусом R = О₁А. Вспомогательная окружность пересекает заданную в точке С. Прямая АС является касательной к окружности, так как угол АСО прямой, как вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр.

2. Касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон от касательных.

2.1 Внешняя касательная к окружностям радиусов R₁ и R₂ (рисунок 21).

Из центра О₁ большей окружности проводят вспомогательную окружность радиусом R₁ – R₂. Отрезок О₁О₂ делят пополам и проводят вспомогательную окружность радиусом R = О₃О₁. Точки пересечения этих окружностей соединяют с центром О₁ и продолжают до пересечения с окружностью радиуса R₁ в точках В и D. Эти точки являются точками касания окружности большего диаметра. Из центра О₂ проводят прямые О₂А и О₂С, соответственно параллельные О₁В и ОD, до пересечения с контуром окружности в точках А и С. Прямые АВ и СD – искомые внешние касательные к двум окружностям.

2.2 Внутренняя касательная к двум окружностям радиусов R₁ и R₂ (рисунок 22).

Рисунок 22

Из центра окружности О₁ проводят вспомогательную окружность радиусом R₁ + R₂. Делят отрезок О₁О₂ пополам, и из полученной точки О₃ проводят вторую вспомогательную окружность радиусом R = О₃О₁. Точки пересечения этих окружностей соединяют с центром О₁ и на пересечении с окружностью радиуса R₁ получают точки касания А и С. Из точки О₂ проводят прямую, параллельную прямой О₁А, и получают точку касания В на малой окружности. Аналогично построена точка касания D. Прямые АВ и СD – искомые внутренние касательные к двум окружностям.

Видео:1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

Сопряжения в инженерной графике на чертежах с примерами

Содержание:

В очертаниях технических форм часто встречаются плавные переходы от од- ной линии к другой. Плавный переход одной линии в другую, выполненный при помощи промежуточной линии, называется сопряжением. Построение сопряжений основано на следующих положениях геометрии.

1. Переход окружности в прямую будет плавным только тогда, когда заданная прямая является касательной к окружности (рис. 11а). Радиус окружности, проведенный в точку касания К, перпендикулярен к касательной прямой.
2. Переход от одной окружности к другой в точке К только тогда будет плавным, когда окружности имеют в данной точке общую касательную (рис. 11б).

Точка касания К и центры окружностей

• Центром сопряжения О называется точка, равноудаленная от сопрягаемых линий (рис. 12).
• Точкой сопряжения А (В) называется точка касания двух сопрягаемых линий (рис. 12).
• Дуга сопряжения АВ – это дуга окружности, с помощью которой выполняется сопряжение (рис. 12).
• Радиус сопряжения R – это радиус дуги сопряжения (рис. 12).

Для выполнения сопряжений необходимо определить три элемента построения: 1) радиус сопряжения; 2) центр сопряжения; 3) точки сопряжения.

Видео:Сопряжение двух окружностей по касательной прямойСкачать

Сопряжение двух пересекающихся прямых линий

Пусть даны две пересекающиеся прямые m, n и радиус сопряжения R (рис. 12). Необходимо построить сопряжение данных прямых дугой окружности радиусом R.

Выполним следующие построения:

1. Построим множество точек центров сопряжения, удаленных от прямой n на расстояние радиуса R сопряжения. Таким множеством является прямая параллельная данной прямой n и отстоящая от неё на расстояние R.
2. Построим множество точек центров сопряжения, удаленных от прямой m на расстояние радиуса сопряжения. Таким множеством является прямая параллельная m и отстоящая от последней на расстояние R.
3. В пересечении построенных прямых найдем центр сопряжения О.
4. Определим точку А сопряжения на прямой n. Для этого опустим из центра О перпендикуляр на прямую n . Для определения точки сопряжения В на прямой m необходимо опустить соответственно перпендикуляр из центра О на прямую m.

Проведем дугу сопряжения AB. Теперь будут определены все элементы сопряжения: радиус, центр и точки сопряжения.

Видео:Касательные к окружностиСкачать

Сопряжения прямой с окружностью

Сопряжение прямой с окружностью может быть внешним или внутренним. Рассмотрим построение внешнего сопряжения прямой с окружностью.

Пример 1. Пусть задана окружность радиусом R с центром в точке и прямая m. Требуется построить сопряжение окружности с прямой дугой окружности заданного радиуса R (рис. 13).

Для решения задачи выполним следующие построения:

1. Построим множество точек центров сопряжения, удаленных от сопрягаемой прямой на расстояние R. Это множество задает прямая параллельная m и отстоящая от неё на расстояние R.
2. Множество точек центров сопряжения, удаленных от окружности n на рас- стояние R, есть окружность проведенная радиусом
3. Центр сопряжения О находим как точку пересечения линий
4. Точку сопряжения А находим как основание перпендикуляра, проведенного из точки О на прямую m. Чтобы построить точку сопряжения В, необходимо про- вести линию центров т.е. соединить центры сопряженных дуг. В пересечении линии центров с заданной окружностью определим точку В.
5. Проведем дугу сопряжения АВ.

Пример 2. При построении внутреннего сопряжения (рис. 14) последовательность построений остается та же, что и в примере 1. Однако центр сопряжения определяется с помощью вспомогательной дуги окружности, проведенной из центра , радиусом

Видео:СОПРЯЖЕНИЕ ДУГ ОКРУЖНОСТЕЙ КАСАТЕЛЬНОЙ ЛИНИЕЙ [pairing 2 circles with a tangent line]Скачать

Сопряжение двух окружностей

Сопряжение двух окружностей может быть внешним, внутренним и смешанным. Пусть задан радиус сопряжения R, а центры сопряжения и точки сопряжения следует найти.

Пример 1. Построим сопряжение с внешним касанием двух данных окружностей m и n с радиусами дугой заданного радиуса R (рис. 15а).

1. Для нахождения центра сопряжения О проведем окружность удаленную от данной окружности m на расстояние R . Так как сопряжение с внешним касанием, то радиус окружности равен
2. Радиусом проведем окружность , удаленную от данной окружности n на расстояние R.
3. Найдем центр сопряжения О как точку пересечения окружностей .
4. Найдем точку сопряжения А как пересечение линии центров с дугой m.
5. Аналогично найдем точку В как пересечение линии центров с дугой n .
6. Проведем дугу сопряжения АВ.

Пример 2. Построим сопряжение с внутренним касанием двух данных окружностей m и n с радиусами дугой радиусом R (рис. 15б).

1. Для нахождения центра сопряжения О проведем окружность на расстоянии от данной окружности m.
2. Проведем окружность на расстоянии от данной окружности n.
3. Центр сопряжения О найдем как точку пересечения окружностей
4. Точку сопряжения А найдем как точку пересечения линии центров с заданной окружностью m.
5. Точку сопряжения В найдем как точку пересечения линии центров c заданной окружностью n.
6. Проведем дугу сопряжения AВ с центром в точке O.

Пример 3. На рис. 16 приведен пример построения сопряжения с внешне- внутренним касанием.

Видео:Черчение. Внутреннее, внешнее и смешенное сопряжение двух окружностей.Скачать

Построение касательных

Пример 1. Дана окружность с центром в точке и точка вне её. Через данную точку провести касательную к данной окружности (рис. 17).

Для решения задачи выполним следующие построения.

1. Соединим точку с центром окружности
2. Находим середину С отрезка
3. Из точки С, как из центра, проведем вспомогательную окружность радиусом
4. В точке пересечения вспомогательной окружности с заданной получим точку касания А. Соединим точку с точкой А.

Пример 2. Построим общую касательную АВ к двум заданным окружностям радиусов (рис. 18).

1. Находим середину С отрезка
2. Из точки С, как из центра, радиусом проведем вспомогательную окружность.
3. Из центра большей окружности проведем вторую вспомогательную окружность радиусом
4. Пересечение двух вспомогательных окружностей определяет точку К, через которую проходит радиус идущий в точку касания В. 5. Для построения второй точки касания А проведем
5. Соединим точки А и В отрезком прямой линии.

• Нанесение размеров на чертежах
• Резьба на чертеже
• Соединения разъемные и неразъемные в инженерной графике
• Виды конструкторских документов
• Виды в инженерной графике
• Разрезы в инженерной графике
• Сечения в инженерной графике
• Выносные элементы в инженерной графике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Сопряжение окружностейСкачать

Учебно-методическое пособие «Техника выполнения сопряжений»

При изучении дисциплины «Начертательная геометрия и инженерная графика» студенты должны усвоить правила и последовательность выполнения геометрических построений и сопряжений. В этом отношении лучшим способом приобретения навыков построения являются задания по вычерчиванию контуров сложных деталей.

Прежде чем приступить к выполнению контрольного задания, нужно изучить технику выполнения геометрических построений и сопряжений по методическому пособию.

Видео:Внешнее сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой. Урок13.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Сопряжения линий

Сопряжением называется плавный переход от одной линии к другой. Для построения любого сопряжения дугой заданного радиуса нужно найти:

1. Центр сопряжения – центр, из которого проводят дугу;
2. Точки сопряжения (касания) – точки, в которых одна линия переходит в другую.

Центр сопряжения находится от точек сопряжения на одинаковых расстояниях, равных радиусу сопряжения R. Переход от прямой к окружности будет плавным в том случае, если прямая касается к окружности. Точка сопряжения К лежит на перпендикуляре, опущенном из центра О окружности к прямой (рис. 1)

Переход от одной окружности к другой будет плавным, если окружности касаются.

Различают два случая касания дуг окружностей: внешнее (рис. 2) и внутреннее (рис.3).

При внешнем касании центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной L (рис. 2). Расстояние между их центрами ОО₁ равно сумме радиусов окружностей R+R₁ и точка касания лежит на прямой ОО₁, соединяющей их центры.

При внутреннем касании центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной L. Расстояние между их центрами ОО₁ равно разности их радиусов R-R₁ и точка касания К окружностей лежит на продолжении прямой ОО₁ (рис. 3).

Касание дуг окружностей:

рис. 2 – сопряжение двух окружностей (внешнее касание)

рис. 3 – сопряжение двух окружностей (внутреннее касание)

Сопряжение двух пересекающихся прямых

Даны пересекающиеся под прямым, острым и тупым углами прямые линии.

Требуется построить сопряжения этих прямых дугой заданного радиуса R.

1. Для нахождения центра сопряжения проводят вспомогательные прямые, параллельные данным на расстоянии равном радиусу R. Точка пересечения этих прямых т.О и будет центом дуги сопряжения (рис. 4).
2. Перпендикуляры, опущенные из центра дуги сопряжения т.О на данные прямые, определяют точки касания К и N.
3. Из точки О, как центра, описывают дугу заданного радиуса R.

Примечание.Для прямых углов центр сопряжения удобнее находить с помощью циркуля (рис. 5).

Сопряжение дуги окружности и прямой линии дугой заданного радиуса.

Дана окружность радиуса R и прямая АВ. Требуется соединить их дугой радиусом R1.

1. Для нахождения центра сопряжения из центра О заданной окружности проводят дугу m радиуса R + R₁ и на расстоянии R₁ – прямую n // AB. Точка О₁ пересечения прямой n и дуги m будет центром сопряжения.
2. Для получения точек сопряжения: К и К₁ проводят линию центров ОО₁ и восстанавливают к прямой АВ перпендикуляр ОК₁.
3. Из центра сопряжения О₁ между точками К и К₁ проводят дугу сопряжения радиусом R₁

В случае внутреннего касания выполняют те же построения, но дугу m вспомогательной окружности проводят радиусом R — R₁.

Сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса

Заданы две окружности радиусом R₁ и R₂. Требуется построить сопряжение дугой заданного радиуса R.

1. Для определения центра сопряжения О проводят вспомогательные дуги: из центра О₁окружности радиусом R + R₁ и из центра О₂ окружности радиуса R + R₂. Точка О пересечения этих дуг является центом сопряжения.
2. Соединяя центры О и О₁, а так же О и О₂ , определяют точки сопряжения (касания) К₁ и К₂.
3. Из центра О радиусом R проводят дугу сопряжения между точками К₁ и К₂

При внутреннем касании выполняют те же построения, но дуги проводят радиусами

Видео:Сопряжение двух пересекающихся прямых. Урок 9. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Центр сопряжения О находится в пересечении двух дуг, описанных из центра О₁ радиусом R — R₁ и из центра О₂ радиусом R + R₂

Примечание. При смешанном сопряжении центр О₁ одной из сопрягаемых дуг лежит внутри сопрягающей дуги радиуса R , а центр О₂ другой дуги – вне ее.

Нахождение центра дуги заданного радиуса.

Задана дуга радиусом R, соединяющая две параллельные прямые mи n и проходящая через точку А ∈ m (рис. 11). Требуется найти центр О заданной дуги.

В основу построения положено нахождение точки О, равноудаленной от заданных прямых (рис. 11).

1. Из точки А ∈ m, как из центра, проводят дугу вспомогательной окружности с заданным радиусом R.
2. Проводят вспомогательную прямую l, параллельную прямой n, на расстоянии, равном заданному радиусу R.
3. Точка О – точка пересечения этих вспомогательных линий является центром заданной дуги. (рис. 12)

Видео:Построение касательной к окружностиСкачать

Литература

1. Боголюбов С.К. Инженерная графика: Учебник для средних специальных учебных заведений. – 3-е изд., испр. И доп. — М.: Машиностроение, 2006. – с.392: ил.
2. Куприков М.Ю. Инженерная графика: учебник для ССУЗов – М.: Дрофа, 2010 – 495 с.: ил.
3. Федоренко В.А., Шошин А.И. Справочник по машиностроительному черчению Л.: Машиностроение. 1976. 336 с.

Copyright © 2010—2022
ООО «Современные медиа технологии в образовании и культуре»

Поддержка
(495) 589-87-71

Сервис «Комментарии» — это возможность для всех наших читателей дополнить опубликованный на сайте материал фактами или выразить свое мнение по затрагиваемой материалом теме.

Редакция Информио.ру оставляет за собой право удалить комментарий пользователя без предупреждения и объяснения причин. Однако этого, скорее всего, не произойдет, если Вы будете придерживаться следующих правил:

1. Не стоит размещать бессодержательные сообщения, не несущие смысловой нагрузки.
2. Не разрешается публикация комментариев, написанных полностью или частично в режиме Caps Lock (Заглавными буквами). Запрещается использование нецензурных выражений и ругательств, способных оскорбить честь и достоинство, а также национальные и религиозные чувства людей (на любом языке, в любой кодировке, в любой части сообщения — заголовке, тексте, подписи и пр.)
3. Запрещается пропаганда употребления наркотиков и спиртных напитков. Например, обсуждать преимущества употребления того или иного вида наркотиков; утверждать, что они якобы безвредны для здоровья.
4. Запрещается обсуждать способы изготовления, а также места и способы распространения наркотиков, оружия и взрывчатых веществ.
5. Запрещается размещение сообщений, направленных на разжигание социальной, национальной, половой и религиозной ненависти и нетерпимости в любых формах.
6. Запрещается размещение сообщений, прямо либо косвенно призывающих к нарушению законодательства РФ. Например: не платить налоги, не служить в армии, саботировать работу городских служб и т.д.
7. Запрещается использование в качестве аватара фотографии эротического характера, изображения с зарегистрированным товарным знаком и фотоснимки с узнаваемым изображением известных людей. Редакция оставляет за собой право удалять аватары без предупреждения и объяснения причин.
8. Запрещается публикация комментариев, содержащих личные оскорбления собеседника по форуму, комментатора, чье мнение приводится в статье, а также журналиста.

Претензии к качеству материалов, заголовкам, работе журналистов и СМИ в целом присылайте на адрес

Информация доступна только для зарегистрированных пользователей.

Уважаемые коллеги. Убедительная просьба быть внимательнее при оформлении заявки. На основании заполненной формы оформляется электронное свидетельство. В случае неверно указанных данных организация ответственности не несёт.

💥 Видео

Внешнее сопряжение двух окружностейСкачать

Внешняя касательная к двум окружностямСкачать

Смешанное сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой. Урок15.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Внутреннее сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой. Урок14.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Построение внутренней касательной к двум дугам окружностей.Урок12.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Построение касательной к окружности.Скачать

Сопряжение двух окружностейСкачать

Внутреннее сопряжение двух окружностейСкачать

Построение ВНЕШНЕГО СОПРЯЖЕНИЯСкачать

Смешанное сопряжение двух окружностейСкачать