Соотношение длины дуги окружности и хорды

Сегмент круга

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Соотношение длины дуги окружности и хордыСегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Соотношение длины дуги окружности и хордыОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Соотношение длины дуги окружности и хордыСвойства хорд и дуг окружности
Соотношение длины дуги окружности и хордыТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Соотношение длины дуги окружности и хордыДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Соотношение длины дуги окружности и хордыТеорема о бабочке

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьСоотношение длины дуги окружности и хорды
КругСоотношение длины дуги окружности и хорды
РадиусСоотношение длины дуги окружности и хорды
ХордаСоотношение длины дуги окружности и хорды
ДиаметрСоотношение длины дуги окружности и хорды
КасательнаяСоотношение длины дуги окружности и хорды
СекущаяСоотношение длины дуги окружности и хорды
Окружность
Соотношение длины дуги окружности и хорды

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругСоотношение длины дуги окружности и хорды

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусСоотношение длины дуги окружности и хорды

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаСоотношение длины дуги окружности и хорды

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрСоотношение длины дуги окружности и хорды

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяСоотношение длины дуги окружности и хорды

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяСоотношение длины дуги окружности и хорды

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеСоотношение длины дуги окружности и хордыДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыСоотношение длины дуги окружности и хордыЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныСоотношение длины дуги окружности и хордыБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиСоотношение длины дуги окружности и хордыУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыСоотношение длины дуги окружности и хордыДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Соотношение длины дуги окружности и хорды

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыСоотношение длины дуги окружности и хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыСоотношение длины дуги окружности и хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиСоотношение длины дуги окружности и хорды

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныСоотношение длины дуги окружности и хорды

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиСоотношение длины дуги окружности и хорды

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыСоотношение длины дуги окружности и хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыСоотношение длины дуги окружности и хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиСоотношение длины дуги окружности и хорды
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСоотношение длины дуги окружности и хорды
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСоотношение длины дуги окружности и хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Пересекающиеся хорды
Соотношение длины дуги окружности и хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Соотношение длины дуги окружности и хорды
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Соотношение длины дуги окружности и хорды
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Соотношение длины дуги окружности и хорды
Пересекающиеся хорды
Соотношение длины дуги окружности и хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Тогда справедливо равенство

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Соотношение длины дуги окружности и хорды

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Соотношение длины дуги окружности и хорды

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Соотношение длины дуги окружности и хорды

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Соотношение длины дуги окружности и хорды

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Соотношение длины дуги окружности и хорды

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Геометрия круга

Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии.

Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.Соотношение длины дуги окружности и хорды

  • Окружность — линия, ограничивающая круг.
  • Дуга — часть окружности.
  • Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
  • Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
  • Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
  • Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.

Интересующие нас величины и их обозначения:

  • R — радиус круга (здесь «радиус» — это уже не отрезок, а его длина);Соотношение длины дуги окружности и хорды
  • D — диаметр круга — двойной радиус;
  • C — длина окружности;
  • L — длина дуги;
  • X — длина хорды;
  • H — высота сегмента;
  • φ — центральный угол — угол между двумя радиусами;
  • Соотношение длины дуги окружности и хорды— площадь круга;
  • Соотношение длины дуги окружности и хорды— площадь сектора;
  • Соотношение длины дуги окружности и хорды— площадь сегмента.

Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.

  • Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
  • Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
  • Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.

Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.

Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).

И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.

И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.

1. Даны диаметр D и длина дуги L

Соотношение длины дуги окружности и хорды; длина хорды Соотношение длины дуги окружности и хорды;
высота сегмента Соотношение длины дуги окружности и хорды; центральный угол Соотношение длины дуги окружности и хорды.

2. Даны диаметр D и длина хорды X

Соотношение длины дуги окружности и хорды; длина дуги Соотношение длины дуги окружности и хорды;
высота сегмента Соотношение длины дуги окружности и хорды; центральный угол Соотношение длины дуги окружности и хорды.

Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол Соотношение длины дуги окружности и хорды.

3. Даны диаметр D и центральный угол φ

Соотношение длины дуги окружности и хорды; длина дуги Соотношение длины дуги окружности и хорды;
длина хорды Соотношение длины дуги окружности и хорды; высота сегмента Соотношение длины дуги окружности и хорды.

4. Даны диаметр D и высота сегмента H

Соотношение длины дуги окружности и хорды; длина дуги Соотношение длины дуги окружности и хорды;
длина хорды Соотношение длины дуги окружности и хорды; центральный угол Соотношение длины дуги окружности и хорды.

6. Даны длина дуги L и центральный угол φ

Соотношение длины дуги окружности и хорды; диаметр Соотношение длины дуги окружности и хорды;
длина хорды Соотношение длины дуги окружности и хорды; высота сегмента Соотношение длины дуги окружности и хорды.

8. Даны длина хорды X и центральный угол φ

Соотношение длины дуги окружности и хорды; длина дуги Соотношение длины дуги окружности и хорды;
диаметр Соотношение длины дуги окружности и хорды; высота сегмента Соотношение длины дуги окружности и хорды.

9. Даны длина хорды X и высота сегмента H

Соотношение длины дуги окружности и хорды; длина дуги Соотношение длины дуги окружности и хорды;
диаметр Соотношение длины дуги окружности и хорды; центральный угол Соотношение длины дуги окружности и хорды.

10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H

Соотношение длины дуги окружности и хорды; диаметр Соотношение длины дуги окружности и хорды;
длина дуги Соотношение длины дуги окружности и хорды; длина хорды Соотношение длины дуги окружности и хорды.

Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:

5. Даны длина дуги L и длина хорды X
7. Даны длина дуги L и высота сегмента H

Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?

Задача эта сводится к решению уравнений:
Соотношение длины дуги окружности и хорды; — в варианте 5
Соотношение длины дуги окружности и хорды; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем Segment. Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.

Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:

длина окружности Соотношение длины дуги окружности и хорды;
площадь круга Соотношение длины дуги окружности и хорды;
площадь сектора Соотношение длины дуги окружности и хорды;
площадь сегмента Соотношение длины дуги окружности и хорды;

И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.

🎬 Видео

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Длина окружности. 9 класс.Скачать

Длина окружности. 9 класс.

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Как измерить радиус детали по длине хорды и высоте сегментаСкачать

Как измерить радиус детали по длине хорды и высоте сегмента

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)Скачать

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)

Длина окружности и дугиСкачать

Длина окружности и дуги

+Как найти длину окружностиСкачать

+Как найти длину окружности
Поделиться или сохранить к себе: