Собственные векторы матрицы степенной метод

Степенной метод используется в основном для вычисления доминирующего собственного значения и соответствующего ему собственного вектора. Он не является универсальным методом, но может быть полезен в ряде ситуаций, например в случае больших разреженных матриц. В дополнение схема этого метода демонстрирует некоторые важные аспекты вычисления собственных значений.

Степенной метод является итерационным процессом для нахождения собственных векторов матрицы А. Вначале проведем некоторый предварительный анализ. Возьмем произвольный начальный вектор х (()) . Предположим, что все собственные значения различны по абсолютной величине. Разложим вектор х (()) по собственным векторам матрицы А:

Умножая вектор х (0) k раз на матрицу А, получим

Когда k — 3 ? оо, у^ стремится к вектору, коллинеарному с вектором гдг. Поэтому последовательные степени матрицы А дают информацию о ее собственном значении X_N. Величина этого собственного значения может быть легко найдена: учитывая второе свойство отношения Рэлея, р(у^) стремится к Хдг, когда k —? оо.

Основываясь на проведенном анализе, можно предложить следующую реализацию степенного метода:

• 1) задать начальный вектор х (0 ^;
• 2) для каждого значения k = 0,1. вычислить у ( * +1) = Ax (k) ;
• 3) следующее приближение вычисляется как =

= У ( ^ 1 )/||у (Ь1 )|| (эта процедура называется нормализацией, и она предназначена для того, чтобы предотвратить переполнение или исчезновение порядка);

4) если при некотором значении k ||х^ +1 ^ — х^|| (А+1) есть приближенный собственный вектор z_jV и % = — р(х +1 >) есть приближенное максимальное по модулю собственное значение Х^.

Сходимость степенного метода. Если все Х_п различны и (zjv, х ) * О, тогда

и справедлива следующая оценка

Таким образом, скорость сходимости степенного метода зависит от того, насколько X_N_ _t| меньше, чем X_N.

Пример 4.2 (степенной метод) Рассмотрим следующую матрицу:

Выберем начальный вектор х (0) = (1, О, О, О) 1 и г_р = 10

5 . Результаты вычислений приведены в табл. 4.1.

Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Методы решения задач о собственных
значениях и векторах матриц

Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Постановка задачи

Пусть [math]A[/math] — действительная числовая квадратная матрица размера [math](ntimes n)[/math] . Ненулевой вектор [math]X= bigl(x_1,ldots,x_nbigr)^T[/math] размера [math](ntimes1)[/math] , удовлетворяющий условию

называется собственным вектором матрицы [math]A[/math] . Число [math]lambda[/math] в равенстве (2.1) называется собственным значением. Говорят, что собственный вектор [math]X[/math] соответствует (принадлежит) собственному значению [math]lambda[/math] .

Равенство (2.1) равносильно однородной относительно [math]X[/math] системе:

Система (2.2) имеет ненулевое решение для вектора [math]X[/math] (при известном [math]lambda[/math] ) при условии [math]|A-lambda E|=0[/math] . Это равенство есть характеристическое уравнение:

где [math]P_n(lambda)[/math] — характеристический многочлен n-й степени. Корни [math]lambda_1, lambda_2,ldots,lambda_n[/math] характеристического уравнения (2.3) являются собственными (характеристическими) значениями матрицы [math]A[/math] , а соответствующие каждому собственному значению [math]lambda_i,

i=1,ldots,n[/math] , ненулевые векторы [math]X^i[/math] , удовлетворяющие системе

являются собственными векторами.

Требуется найти собственные значения и собственные векторы заданной матрицы. Поставленная задача часто именуется второй задачей линейной алгебры.

Проблема собственных значений (частот) возникает при анализе поведения мостов, зданий, летательных аппаратов и других конструкций, характеризующихся малыми смещениями от положения равновесия, а также при анализе устойчивости численных схем. Характеристическое уравнение вместе с его собственными значениями и собственными векторами является основным в теории механических или электрических колебаний на макроскопическом или микроскопическом
уровнях.

Различают полную и частичную проблему собственных значений, когда необходимо найти весь спектр (все собственные значения) и собственные векторы либо часть спектра, например: [math]rho(A)= max_|lambda_i(A)|[/math] и [math]min_|lambda_i(A)|[/math] . Величина [math]rho(A)[/math] называется спектральным радиусом .

1. Если для собственного значения [math]lambda_i[/math] — найден собственный вектор [math]X^i[/math] , то вектор [math]mu X^i[/math] , где [math]mu[/math] — произвольное число, также является собственным вектором, соответствующим этому же собственному значению [math]lambda_i[/math] .

2. Попарно различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы; k-кратному корню характеристического уравнения соответствует не более [math]k[/math] линейно независимых собственных векторов.

3. Симметрическая матрица имеет полный спектр [math]lambda_i,

i=overline[/math] , действительных собственных значений; k-кратному корню характеристического уравнения симметрической матрицы соответствует ровно [math]k[/math] линейно независимых собственных векторов.

4. Положительно определенная симметрическая матрица имеет полный спектр действительных положительных собственных значений.

Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Метод непосредственного развертывания

Полную проблему собственных значений для матриц невысокого порядка [math](nleqslant10)[/math] можно решить методом непосредственного развертывания. В этом случае будем иметь

Уравнение [math]P_n(lambda)=0[/math] является нелинейным (методы его решения изложены в следующем разделе). Его решение дает [math]n[/math] , вообще говоря, комплексных собственных значений [math]lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n[/math] , при которых [math]P_n(lambda_i)=0

(i=overline)[/math] . Для каждого [math]lambda_i[/math] может быть найдено решение однородной системы [math](A-lambda_iE)X^i=0,

i=overline[/math] . Эти решения [math]X^i[/math] , определенные с точностью до произвольной константы, образуют систему [math]n[/math] , вообще говоря, различных векторов n-мерного пространства. В некоторых задачах несколько этих векторов (или все) могут совпадать.

Видео:Вычислительные методы алгебры - Степенной метод, метод вращенийСкачать

Алгоритм метода непосредственного развертывания

1. Для заданной матрицы [math]A[/math] составить характеристическое уравнение (2.5): [math]|A-lambda E|=0[/math] . Для развертывания детерминанта [math]|A-lambda E|[/math] можно использовать различные методы, например метод Крылова, метод Данилевского или другие методы.

2. Решить характеристическое уравнение и найти собственные значения [math]lambda_1, lambda_2, ldots,lambda_n[/math] . Для этого можно применить методы, изложенные далее.

3. Для каждого собственного значения составить систему (2.4):

и найти собственные векторы [math]X^i[/math] .

Замечание. Каждому собственному значению соответствует один или несколько векторов. Поскольку определитель [math]|A-lambda_iE|[/math] системы равен нулю, то ранг матрицы системы меньше числа неизвестных: [math]operatorname(A-lambda_iE)=r и в системе имеется ровно [math]r[/math] независимых уравнений, а [math](n-r)[/math] уравнений являются зависимыми. Для нахождения решения системы следует выбрать [math]r[/math] уравнений с [math]r[/math] неизвестными так, чтобы определитель составленной системы был отличен от нуля. Остальные [math](n-r)[/math] неизвестных следует перенести в правую часть и считать параметрами. Придавая параметрам различные значения, можно получить различные решения системы. Для простоты, как правило, попеременно полагают значение одного параметра равным 1, а остальные равными 0.

Пример 2.1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы [math]Ain mathbb^[/math] , где [math]A=begin3&-2\-4&1end[/math] .

1. Запишем уравнение (2.5): [math]|A-lambda E|= begin3-lambda&-2\-4& 1-lambda end= lambda^2-4 lambda-5=0[/math] , отсюда получаем характеристическое уравнение [math]P_2(lambda)equiv lambda^2-4 lambda-5=0[/math] .

2. Находим его корни (собственные значения): [math]lambda_1=5,

3. Составим систему [math](A-lambda_iE)X^i=0,

i=1,2[/math] , для каждого собственного
значения и найдем собственные векторы:

Отсюда [math]x_1^1=-x_2^1[/math] . Если [math]x_2^1=mu[/math] , то [math]x_1^1=-mu[/math] . В результате получаем [math]X^1= bigl^T= bigl^T[/math] .

Для [math]lambda_2=-1[/math] имеем

Отсюда [math]x_2^2=2x_1^2[/math] . Если [math]x_1^2=mu[/math] , то [math]x_2^2=2mu[/math] . В результате получаем [math]X^2= bigl^T= bigl^T[/math] , где [math]mu[/math] — произвольное действительное число.

Пример 2.2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы [math]A= begin2&-1&1\-1&2&-1\0&0&1end[/math] .

1. Запишем характеристическое уравнение (2.5):

2. Корни характеристического уравнения: [math]lambda_=1[/math] (кратный корень), [math]lambda_3=3[/math] — собственные значения матрицы.

3. Найдем собственные векторы.

Для [math]lambda_=1[/math] запишем систему [math](A-lambda_E)cdot X^=0colon[/math]

Поскольку [math]operatorname(A-lambda_E)=1[/math] , в системе имеется одно независимое уравнение

x_3^=3[/math] , получаем [math]x_1^=1[/math] и собственный вектор [math]X^1= begin1&1&0end^T[/math] .

x_3^=1[/math] , получаем [math]x_1^=-1[/math] и другой собственный вектор [math]X^2= begin-1&0&1end^T[/math] . Заметим, что оба собственных вектора линейно независимы.

Для собственного значения [math]lambda_3=3[/math] запишем систему [math](A-lambda_3E)cdot X^3=0colon[/math]

Поскольку [math]operatorname(A-lambda_3E)=2[/math] , то выбираем два уравнения:

x_1^3=-x_2^3[/math] . Полагая [math]x_2^3=1[/math] , получаем [math]x_1^3=-1[/math] и собственный вектор [math]X^3=begin-1&1&0 end^T[/math] .

Видео:А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицыСкачать

Метод итераций для нахождения собственных значений и векторов

Для решения частичной проблемы собственных значений и собственных векторов в практических расчетах часто используется метод итераций (степенной метод). На его основе можно определить приближенно собственные значения матрицы [math]A[/math] и спектральный радиус [math]rho(A)= max_bigl|lambda_i(A)bigr|[/math] .

Пусть матрица [math]A[/math] имеет [math]n[/math] линейно независимых собственных векторов [math]X^i,

i=1,ldots,n[/math] , и собственные значения матрицы [math]A[/math] таковы, что

Видео:Собственные значения и собственные векторы. ТемаСкачать

Алгоритм метода итераций

1. Выбрать произвольное начальное (нулевое) приближение собственного вектора [math]X^[/math] (второй индекс в скобках здесь и ниже указывает номер приближения, а первый индекс без скобок соответствует номеру собственного значения). Положить [math]k=0[/math] .

lambda_1^= frac<x_i^><x_i^>[/math] , где [math]i[/math] — любой номер [math]1leqslant ileqslant n[/math] , и положить [math]k=1[/math] .

4. Найти [math]lambda_1^= frac<x_i^><x_i^>[/math] , где [math]x_i^, x_i^[/math] — соответствующие координаты векторов [math]X^[/math] и [math]X^[/math] . При этом может быть использована любая координата с номером [math]i,

1leqslant ileqslant n[/math] .

5. Если [math]Delta= bigl|lambda_1^- lambda_1^bigr|leqslant varepsilon[/math] , процесс завершить и положить [math]lambda_1cong lambda_1^[/math] . Если varepsilon»>[math]Delta>varepsilon[/math] , положить [math]k=k+1[/math] и перейти к пункту 3.

1. Процесс последовательных приближений

сходится, т.е. при [math]xtoinfty[/math] вектор [math]X^[/math] стремится к собственному вектору [math]X^1[/math] . Действительно, разложим [math]X^[/math] по всем собственным векторам: [math]textstyle<X^= sumlimits_^ c_iX^i>[/math] . Так как, согласно (2.4), [math]AX^i= lambda_iX^i[/math] , то

При большом [math]k[/math] дроби [math]<left(fracright)!>^k, ldots, <left(fracright)!>^k[/math] малы и поэтому [math]A^kX^= c_1lambda_1^kX^1[/math] , то есть [math]X^to X^1[/math] при [math]ktoinfty[/math] . Одновременно [math]lambda_1= limlimits_ frac<x_^><x_^>[/math] .

2. Вместо применяемой в пункте 4 алгоритма формулы для [math]lambda_1^[/math] можно взять среднее арифметическое соответствующих отношений для разных координат.

3. Метод может использоваться и в случае, если наибольшее по модулю собственное значение матрицы [math]A[/math] является кратным, т.е.

4. При неудачном выборе начального приближения [math]X^[/math] предел отношения [math]frac<x_i^><x_i^>[/math] может не существовать. В этом случае следует задать другое начальное приближение.

5. Рассмотренный итерационный процесс для [math]lambda_1[/math] сходится линейно, с параметром [math]c=frac[/math] и может быть очень медленным. Для его ускорения используется алгоритм Эйткена.

6. Если [math]A=A^T[/math] (матрица [math]A[/math] симметрическая), то сходимость процесса при определении [math]rho(A)[/math] может быть ускорена.

7. Используя [math]lambda_1[/math] , можно определить следующее значение [math]lambda_2[/math] по формуле [math]lambda_2= frac<x_i^- lambda_1 x_i^><x_i^- lambda_1 x_i^>

(i=1,2,ldots,n)[/math] . Эта формула дает грубые значения для [math]lambda_2[/math] , так как значение [math]lambda_1[/math] является приближенным. Если модули всех собственных значений различны, то на основе последней формулы можно вычислять и остальные [math]lambda_j

8. После проведения нескольких итераций рекомендуется «гасить» растущие компоненты получающегося собственного вектора. Это осуществляется нормировкой вектора, например, по формуле [math]frac<X^><|X^|_1>[/math] .

Пример 2.3. Для матрицы [math]A=begin5&1&2\ 1&4&1\ 2&1&3 end[/math] найти спектральный радиус степенным методом с точностью [math]varepsilon=0,,1[/math] .

1. Выбирается начальное приближение собственного вектора [math]X^= begin 1&1&1 end^T[/math] . Положим [math]k=0[/math] .

5. Так как varepsilon»>[math]bigl|lambda_1^- lambda_1^bigr|= 0,!75> varepsilon[/math] , то процесс необходимо продолжить. Результаты вычислений удобно представить в виде табл. 10.10.

Точность по достигнута на четвертой итерации. Таким образом, в качестве приближенного значения [math]lambda_1[/math] берется 6,9559, а в качестве собственного вектора принимается [math]X^1= begin 2838& 1682& 1888end^T[/math] .

Так как собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя, то [math]X^1[/math] лучше пронормировать, т.е. поделить все его компоненты на величину нормы. Для рассматриваемого примера получим

Согласно замечаниям, в качестве собственного значения [math]lambda_1[/math] матрицы можно взять не только отношение

а также их среднее арифметическое [math]fracapprox 6,!8581[/math] .

Пример 2.4. Найти максимальное по модулю собственное значение матрицы [math]A=begin2&-1&1\ -1&2&-1\ 0&0&3 end[/math] и соответствующий собственный вектор.

1. Зададим начальное приближение [math]X^= begin1&-1&1 end^T[/math] и [math]varepsilon=0,!0001[/math] .

Выполним расчеты согласно методике (табл. 10.11).

В результате получено собственное значение [math]lambda_1cong 3,!00003[/math] и собственный вектор [math]X^1= begin 88573&-88573&1end^T[/math] или после нормировки

Видео:А.7.40 Метод Якоби поиска собственных векторов и значений симметричных матрицСкачать

Метод вращений для нахождения собственных значений

Метод используется для решения полной проблемы собственных значений симметрической матрицы и основан на преобразовании подобия исходной матрицы [math]Ainmathbb^[/math] с помощью ортогональной матрицы [math]H[/math] .

Напомним, что две матрицы [math]A[/math] и [math]A^[/math] называются подобными ( [math]Asim A^[/math] или [math]A^sim A[/math] ), если [math]A^=H^AH[/math] или [math]A=HA^H^[/math] , где [math]H[/math] — невырожденная матрица.

В методе вращений в качестве [math]H[/math] берется ортогональная матрица, такая, что [math]HH^=H^H=E[/math] , т.е. [math]H^=H^[/math] . В силу свойства ортогонального преобразования евклидова норма исходной матрицы [math]A[/math] не меняется. Для преобразованной матрицы [math]A^[/math] сохраняется ее след и собственные значения [math]lambda_icolon[/math]

[math]operatorname

A= sum_^a_= sum_^ lambda_i(A)= operatorname

A^.[/math]

При реализации метода вращений преобразование подобия применяется к исходной матрице [math]A[/math] многократно:

Формула (2.6) определяет итерационный процесс, где начальное приближение [math]A^=A[/math] . На k-й итерации для некоторого выбираемого при решении задачи недиагонального элемента [math]a_^,

ine j[/math] , определяется ортогональная матрица [math]H^[/math] , приводящая этот элемент [math]a_^[/math] (а также и [math]a_^[/math] ) к нулю. При этом на каждой итерации в качестве [math]a_^[/math] выбирается наибольший по модулю. Матрица [math]H^[/math] называемая матрицей вращения Якоби, зависит от угла [math]varphi^[/math] и имеет вид

В данной ортогональной матрице элементы на главной диагонали единичные, кроме [math]h_^= cosvarphi^[/math] и [math]h_^=cosvarphi^[/math] , а остальные элементы нулевые, за исключением [math]h_^=-sinvarphi^[/math] , [math]h_^=sinvarphi^[/math] ( [math]h_[/math] -элементы матрицы [math]H[/math] ).

Угол поворота [math]varphi^[/math] определяется по формуле

где [math]|2varphi^|leqslant frac,

i ( [math]a_[/math] выбирается в верхней треугольной наддиагональной части матрицы [math]A[/math] ).

В процессе итераций сумма квадратов всех недиагональных элементов [math]sigms(A^)[/math] при возрастании [math]k[/math] уменьшается, так что [math]sigms(A^) . Однако элементы [math]a_^[/math] приведенные к нулю на k-й итерации, на последующей итерации немного возрастают. При [math]ktoinfty[/math] получается монотонно убывающая ограниченная снизу нулем последовательность sigma(A^)> ldots> sigma(A^)>ldots»>[math]sigma(A^)> sigma(A^)> ldots> sigma(A^)>ldots[/math] . Поэтому [math]sigma(A^)to0[/math] при [math]ktoinfty[/math] . Это и означает сходимость метода. При этом [math]A^to Lambda= operatorname(lambda_1,ldots,lambda_n)[/math] .

Замечание. В двумерном пространстве с введенной в нем системой координат [math]Oxy[/math] с ортонормированным базисом [math]<vec,vec>[/math] матрица вращения легко получается из рис. 2.1, где система координат [math]Ox’y'[/math] повернута на угол [math]varphicolon[/math]

Таким образом, для компонент [math]vec,’,, vec,'[/math] будем иметь [math]bigl(vec,’,vec,’bigr)= bigl(vec,vecbigr)cdot! begin cos varphi&-sin varphi\ sin varphi& cos varphiend[/math] . Отсюда следует, что в двумерном пространстве матрица вращения имеет вид [math]H= begin cos varphi&-sin varphi\ sin varphi& cos varphiend[/math] . Отметим, что при [math]n=2[/math] для решения задачи требуется одна итерация.

Видео:Собственные значения и собственные векторыСкачать

Алгоритм метода вращений

1. Положить [math]k=0,

A^=A[/math] и задать 0″>[math]varepsilon>0[/math] .

2. Выделить в верхней треугольной наддиагональной части матрицы [math]A^[/math] максимальный по модулю элемент [math]a_^,

Если [math]|a_^|leqslant varepsilon[/math] для всех [math]ine j[/math] , процесс завершить. Собственные значения определяются по формуле [math]lambda_i(A^)=a_^,

Собственные векторы [math]X^i[/math] находятся как i-e столбцы матрицы, получающейся в результате перемножения:

Если varepsilon»>[math]bigl|a_^bigr|>varepsilon[/math] , процесс продолжается.

3. Найти угол поворота по формуле [math]varphi^= frac operatorname frac<2a_^><a_^-a_^>[/math] .

4. Составить матрицу вращения [math]H^[/math] .

5. Вычислить очередное приближение [math]A^= bigl(H^bigr)^T A^ H^[/math] .Положить [math]k=k+1[/math] и перейти к пункту 2.

1. Используя обозначение [math]overline

_k= frac<2a_^><a_^-a_^>[/math] , можно в пункте 3 алгоритма вычислять элементы матрицы вращения по формулам

2. Контроль правильности выполнения действий по каждому повороту осуществляется путем проверки сохранения следа преобразуемой матрицы.

3. При [math]n=2[/math] для решения задачи требуется одна итерация.

Пример 2.5. Для матрицы [math]A=begin 2&1\1&3 end[/math] методом вращений найти собственные значения и собственные векторы.

1. Положим [math]k=0,

2°. Выше главной диагонали имеется только один элемент [math]a_=a_=1[/math] .

3°. Находим угол поворота матрицы по формуле (2.7), используя в расчетах 11 цифр после запятой в соответствии с заданной точностью:

4°. Сформируем матрицу вращения:

5°. Выполним первую итерацию:

Очевидно, след матрицы с заданной точностью сохраняется, т.е. [math]sum_^a_^= sum_^a_^=5[/math] . Положим [math]k=1[/math] и перейдем к пункту 2.

2. Максимальный по модулю наддиагональный элемент [math]|a_|= 4,!04620781325cdot10^ . Для решения задачи (подчеркнем, что [math]n=2[/math] ) с принятой точностью потребовалась одна итерация, полученную матрицу можно считать диагональной. Найдены следующие собственные значения и собственные векторы:

Пример 2.6. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы [math]A=begin5&1&2\ 1&4&1\ 2&1&3 end[/math] .

1. Положим [math]k=0,

2°. Выделим максимальный по модулю элемент в наддиагональнои части: [math]a_^=2[/math] . Так как varepsilon=0,!001″>[math]a_=2> varepsilon=0,!001[/math] , то процесс продолжается.

3°. Находим угол поворота:

4°. Сформируем матрицу вращения: [math]H^= begin0,!85065&0&-0,!52573\ 0&1&0\ 0,!52573&0&0,!85065 end[/math] .

5°. Выполним первую итерацию: [math]A^= bigl(H^bigr)^T A^H^= begin 6,!236&1,!376&2,!33cdot10^\ 1,!376&4&0,!325\ 2,!33cdot10^&0,!325&1,!764 end[/math] . Положим [math]k=1[/math] и перейдем к пункту 2.

2(1). Максимальный по модулю наддиагональный элемент [math]a_^=1,!376[/math] . Так как varepsilon=0,!001″>[math]a_^> varepsilon=0,!001[/math] , процесс продолжается.

3(1). Найдем угол поворота:

4(1). Сформируем матрицу вращения: [math]H^= begin 0,!902937&-0,!429770&0\ 0,!429770&0,!902937&0\ 0&0&1 end[/math] .

5(1). Выполним вторую итерацию: [math]A^= bigl(H^bigr)^T A^H^= begin 6,!891& 2,!238cdot10^&0,!14\ 2,!238cdot10^& 3,!345&0,!293\ 0,!14&0,!293&1,!764 end[/math] . Положим [math]k=2[/math] и перейдем к пункту 2.

2(2). Максимальный по модулю наддиагональный элемент varepsilon=0,!001″>[math]a_^=0,!293> varepsilon=0,!001[/math] .

3(2). Найдем угол поворота:

4(2). Сформируем матрицу вращения [math]H^= begin1&0&0\ 0&0,!9842924& -0,!1765460\ 0& 0,!1765460& 0,!9842924end[/math] .

5(2). Выполним третью итерацию и положим [math]k=3[/math] и перейдем к пункту 2:

2(3). Максимальный по модулю наддиагональный элемент varepsilon»>[math]a_^= 0,!138>varepsilon[/math] .

3(3). Найдем угол поворота:

4(3). Сформируем матрицу вращения: [math]H^= begin 0,!999646&0&-0,!026611\ 0&1&0\ 0,!026611&0&0,!999646 end[/math] .

5(3). Выполним четвертую итерацию и положим [math]k=4[/math] и перейдем к пункту 2:

2(4). Так как varepsilon»>[math]a_^=0,!025>varepsilon[/math] , процесс повторяется

3(4). Найдем угол поворота

4(4). Сформируем матрицу вращения: [math]H^= begin 0,!9999744&-0,!0071483&0\ 0,!0071483&0,!9999744&0\ 0&0&1 end[/math] .

5(4). Выполним пятую итерацию и положим [math]k=5[/math] и перейдем к пункту 2:

2(5). Так как наибольший по модулю наддиагональный элемент удовлетворяет условию [math]bigl|-6,!649cdot10^bigr| , процесс завершается.

Собственные значения: [math]lambda_1cong a_^= 6,!895,,

lambda_3cong a_^=1,!707,,[/math] . Для нахождения собственных векторов вычислим

X^3=begin-0,!473\-0,!171\0,!864 end[/math] или после нормировки

Видео:Айгенвектора и айгензначения | Сущность Линейной Алгебры, глава 10Скачать

Собственные значения обратной матрицы.

Пусть

т.е. Лих- собственное значение и собственный вектор матрицы А.

Умножая обе части данного равенства на — А 1 , получим

Л

Следовательно, х — собственный вектор матрицы А

‘, а // = 1/Л — собственное значение матрицы А

Видео:Вычислительные методы алгебры 10. Степенной метод.Скачать

Обобщенная проблема собственных значений.

Пусть даны матрицы А и В , при этом В — невырожденная. Требуется найти ненулевой вектор х и число X, удовлетворяющие равенству

В этом случае Л их соответственно называются собственным числом и собственным вектором обобщенной проблемы (2.4.23).

Умножая на В ‘ обе части (2.4.23), получим

Таким образом, задачу (2.4.23) можно свести к определению собственных значений и собственных векторов матрицы А = В’А .

На практике в современных стандартных программных комплексах реализована непосредственно обобщенная проблема собственных значений. Для этих целей, например, используется так называемый QZ-алгоритм, представляющий собой устойчивое обобщение QR-алгоритма.

Видео:Численные методы. Лекция 11Скачать

Вычисление минимального собственного числа степенным методом.

Как уже отмечалось в пункте 2.4.5, собственные векторы матриц А и А

‘ совпадают, а собственные значения связаны соотношением

откуда

где Л_тт — минимальное собственное значение матрицы А ; ju_nm — максимальное собственное значение матрицы А

Таким образом, для определения минимального собственного числа матрицы А достаточно вычислить максимальное собственное число матрицы А

📸 Видео

7 4 Собственные векторы и собственные значенияСкачать

Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Линал 1.8 Собственные векторы и собственные числаСкачать

Собственные значения матрицыСкачать

Собственные векторы и собственные значенияСкачать

Собственные значения и собственные векторы. ПримерСкачать

Овчинников А. В. - Линейная алгебра - Собственные значения и собственные векторы линейного оператораСкачать

Численные методы. Лекция 12Скачать

Метод простой итерации Пример РешенияСкачать